Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Математика» (2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

1.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

	(Q(x, y))			(P(x, y))
			−		dxdy = P(x, y)dx + Q(x, y)dy ,
		x		y
( D1 )						L1
		(Q(x, y))		(P(x, y))
			−		dxdy = P(x, y)dx + Q(x, y)dy .
		x		y
( D2 )						L2

Складывая эти равенства почленно, снова получим формулу (10.1) для всей области D , т.к. КРИ II, взятые по линии АВ в противоположных направлениях, в сумме дают нуль.

11. Физический смысл криволинейного интеграла II рода

	Рис. 7
Пусть материальная	точка под действием переменной силы
F (P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z))	перемещается вдоль кривой L 3 (Рис. 7).

Найдем работу силы F , затраченную на перемещение из точки А в точку В. Для этого разобьем дугу АВ произвольным образом на n элементарных дуг точками А = М0 , М1, М2...Мn = B . Вычислим приближенную работу на дуге Mi−1Mi , предполагая, что на ней сила постоянная, равная значению силы F в точке Ni (xi , yi , zi ) Mi−1Mi , т.е. F (Ni ) = F (P(Ni ),Q(Ni ), R(Ni )) и путь прямолинеен, для чего заменим дугу Mi−1Mi хордой Mi−1Mi = i ( xi , yi , zi ) . Тогда, как, известно,

работа силы F (Ni ) на пути i		равна скалярному произведению векторов F (Ni )
и i , т.е.
(F (Ni ), i ) = P(Ni ) xi + Q(Ni ) yi + R(Ni ) zi
Суммируя по всем значениям i
Суммируя по всем значениям i		(i =1, n) , получим величину
n	n
(F (Ni ),	i ) = (P(Ni ) xi + Q(Ni ) yi + R(Ni ) zi ) ,		(11.1)
i=1	i=1

которую можно считать как приближенное значение работы на всем пути от А до В. Предел этой суммы при λ → 0 примем за точное значение работы. Но, с другой стороны, предел этой суммы и есть КРИ II. Следовательно, работа силы F (P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)) определяется по формуле

А = P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz .	(11.2)
L
Если под действием силы F (P(x, y),Q(x, y)) точка перемещается по кривой
L 2 , то работа силы сводится к вычислению КРИ II вида
А = P(x, y)dx + Q(x, y)dy .	(11.3)
L

12. Примеры вычисления КРИ II

Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл yzdx + xzdy + xydz ,

		L

x = R cost
		t 0;2π .
где L – дуга винтовой линии, т.е. L : y = R sin t ,		t 0;2π .
	at
z =	at
z =	2π
	2π

Решение. Предварительно выполним промежуточные вычисления, учитывая определение дифференциала d ( f (x)) = f (x)dx ,

dx = d (R cost)

dy = d (R sin t)

dz = d (

)

2π

dx = −Rsin tdt

; dy = R cos tdt

;

и затем подставим полученные

dz =

2π

результаты в условие yzdx + xzdy + xydz =

2π (−R2 sin2 t)

dt +

R2 cos2 tdt +

cost sin tdt =

2π

2π (−t sin2 t + t cos2 t + cost sin t)dt =

2π (t cos 2t +

sin 2t)dt =

2π

Разобьем полученный интеграл на сумму двух интегралов:

a	2π	1	a	2π
	R2 t cos 2tdt +			R2 sin 2tdt .
2π		2	2π
	0			0

Первый из интегралов решаем методом интегрирования по частям, а второй с помощью замены переменной или поднесения под знак дифференциала. В итоге

	a		t			1	2π	1 a	2π
получаем		R2 (		sin 2t	02π −		sin 2tdt) +		R2 sin 2tdt = 0 .


	2π							2 2π
		2				2
		2				2	0		0
							0		0

Пример 6. Вычислить работу силы F ( y + x2 , 2x − y) вдоль дуги параболы y = 2x − x2 от точки A(1,1) до В(3,−3) .

Решение. Силу можно записать в таком виде F = ( y + x2 )i + (2x − y) j . Как известно, работу силы можно вычислить по формуле

А = (F,d ) = P(x, y,z)dx+Q(x, y,z)dy+R(x, y,z)dz

L L

Для плоского случая А = (F,d ) = P(x, y)dx+Q(x, y)dy .

L L

Тогда интеграл в координатной форме	имеет вид	А = ( y+x2 )dx+(2x−y)dy .
		L
Учитывая, что уравнение линии задано в явном виде		y = y(x) , т.е.	y = 2x − x2 ,
найдем dy = d(2x − x2 ) , dy = (2 − 2x)dx .	Для вычисления работы		подставим
уравнение линии и dy = (2 − 2x)dx в А = ( y+x2 )dx+(2x−y)dy .
L

		3
Получаем следующее выражение А = (2x−x2			+x2 )dx+(2x−(2x−x2 )(2−2x)dy =
		1
3	(2x+2x2 − 2x3 )dx = −	44
=		44
=		3
1		3
			( y2 , xy − y2 ) вдоль дуги параболы
	Пример 7. Вычислить работу силы F		( y2 , xy − y2 ) вдоль дуги параболы

y2 = 9x от точки O(0,0) до A(1,3) .

Решение. Силу записываем в таком виде F = y2 i + (xy − y2 ) j . Далее по формуле:

А = (F,d ) = P(x, y)dx+Q(x, y)dy

L L

получаем А = y2dx+(xy −y2 )dy . Учитывая, что уравнение линии задано в явном

виде x = x( y) ,

, находим x =

и dx =

2 y

, а затем подставляем его в

0;3

интеграл.

A = y

ydy + (

y − y

)dy = (

− y

)dy = −

Пример 8. Найти работу силы F (xy, x + y) при перемещении

материальной точки по ломаной, проходящей через точки

A(0,1), В(1,1), С(1,2)

Решение. Запишем формулу для вычисления работы по

ломаной АВС А = xy dx + (x + y)dy =

АВС

xydx + (x + y)dy = xydx + (x + y)dy .

АВ

ВС

Прежде чем приступить к непосредственному вычислению работы необходимо записать уравнение линии АВС, которая является ломаной т.е. состоит из двух частей АВС : AB BC . Запишем уравнение прямой на плоскости, проходящей

через две точки, воспользовавшись формулой	x − x1	=	y − y1	. Таким образом

	x2 − x1		y2 − y1

получим уравнение прямых AB : y =1, dy = d(1) = (1)'dx = 0dx = 0, . BC : x =1, dx = d(1) = 0dx = 0. Подставим промежуточные вычисления в интеграл:

A = xdx + (1+ y)dy = 01 x d x + 12 (1 + y)dy =

+ ( y +

)

= 3.

АВ

ВС

Пример 9. Используя формулу Грина, вычислить КРИ II.

(1− x2 ) ydx + x(1+ y2 )dy , где L - окружность x2 + y2 = R2 .

Решение.

Преобразуем

этот

интеграл по формуле Грина. Так

как

) y ,

Q(x, y) = x(1+ y

)

(P(x, y))

(1− x2 ) y)

= (1

− x

) ,

P(x, y) = (1− x

(Q(x, y))

= (x(1+ y2 ))

= (1+ y2 ) , то по формуле (10.1) запишем

(1− x2 ) ydx + x(1+ y2 )dy = (1 +y2 −1 + x2 )dxdy = (y2 + x2 )dxdy .

Область D ограничена окружностью L:

x2 + y2 = R2 . Для вычисления двойного

x = r cos φ

интеграла перейдем к полярным координатам

y = r sin φ , при этом φ 0;2π .

I = r

Двойной интеграл преобразуем следующим образом:

2 π

(y2 + x2 )dxdy = dφ r3dr = dφ

2π R4

2π

2πR4

πR4

dφ =

(φ

) =

Замечание. С помощью формулы Грина можно получить следующие формулы для вычисления площади плоской области D , ограниченной

				2
замкнутым контуром,	L : SD =		xdy	или . SD =	1		x dy − y dx .
		L				L

Пример 10. С помощью криволинейного интеграла второго рода

	x = R(2cost − cos 2t)
вычислите площадь, ограниченную кардиоидой:	L	.
	y = R(2sin t − sin 2t)

Решение. Для вычисления площади можно воспользоваться формулой

SD =		xdy .	Вычислим		dx = R(2sint − 2sin 2t)dt , dy = R(2cost − 2cos2t)dt .

	L
Подставим в формулу и получим такой интеграл для вычисления площади
			2π
SD =		xdy =		R(2cost − cos 2t)R(2cost − 2cos 2t)dt =

=R2 2π (4cos2 t − 6cos3 t + 6sin2 t cost + 2(cos2t− sin2 t)dt =

		1	2π	2π	2π	1	2π
= R2	4			(1 + cos 2t)dt − 6	(1 − sin2 t)d sin t + 6 sin2 td sin t + 2			(1 + cos 4t)dt	=
= R2	4	2		(1 + cos 2t)dt − 6	(1 − sin2 t)d sin t + 6 sin2 td sin t + 2	2		(1 + cos 4t)dt	=
			0	0	0		0

= R2 2 2π + 2π = 6πR2

13. Независимость КРИ II от пути интегрирования

	В области D , где определена вектор-функция
	a(N ) , возьмем две произвольные точки А и В.
	Соединим их различными линиями, например,
	AnB D и BmA D (Рис. 8). Вычислим КРИ II по
	этим линиям, вообще говоря, получаем различные
	значения, т.е. значение интеграла зависит от пути
	интегрирования. Если же значение интеграла равны
Рис. 8	между собой для любых линий, соединяющих точки

А и В, то говорят, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Значение такого интеграла определяется заданием начальной точки А и конечной точки В. Рассмотрим условия, при которых КРИ II не зависит от пути интегрирования.

Теорема. Для того, чтобы интеграл

А = P(x, y)dx + Q(x, y)dy	(13.1)
L
в некоторой области D не зависел от пути интегрирования,	необходимо и

достаточно, чтобы вычисленный по любому замкнутому контуру, лежащему в области D , он был равен нулю.

Доказательство. Необходимость. Нужно доказать, что ... = ... , где

AnB AmB

AnB и AmB - произвольные кривые, соединяющие точки А и В в области D (Рис. 8). Вычислим интеграл по замкнутому контуру AnBmA D . По свойству интегралов запишем

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = P(x, y)dx + Q(x, y)dy + P(x, y)dx + Q(x, y)dy =

AnBmA AnB BmA

= P(x, y)dx + Q(x, y)dy − P(x, y)dx + Q(x, y)dy .

AnB BmA

Так как по условию P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 , то отсюда следует

AnBmA

	P(x, y)dx + Q(x, y)dy = P(x, y)dx + Q(x, y)dy ,	т.е. при выполнении этого
AnB	AmB
условия КРИ II не зависит от пути интегрирования.
	Достаточность. Легко доказывается повторением этих рассуждений в
обратном порядке.
	Теорема. Для того, чтобы КРИ II P(x, y)dx + Q(x, y)dy не зависел от пути
	L
интегрирования в односвязной области D , где		функции P(x, y) и Q(x, y)

непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках этой области выполнялось условие

(Q(x, y))	=	(P(x, y)) .	(13.2)
x		y

Доказательство. Необходимость. Пусть КРИ II (13.1) не зависит от пути интегрирования. Тогда по теореме 1 интеграл по любому замкнутому контуру в области D равен нулю. Покажем, что в этом случае будет выполняться условие (13.2). Используем метод от противного. Допустим, что условие (13.2) не

выполняется в некоторой точке (x , y ) D , т.е.							(Q(x0 , y0 ))		(P(x0 , y0 )) .
выполняется в некоторой точке (x , y ) D , т.е.									(P(x0 , y0 )) .
					0	0	x			y
							x			y
Пусть	(Q(x0 , y0 ))		(P(x0 , y0 ))		. Введем функцию
Пусть			(P(x0 , y0 ))		. Введем функцию
		x		y
F( x, y) =		(Q( x, y))		− (P(x, y)) ,	которая непрерывна в			точке		(x , y ), т.к.
F( x, y) =				− (P(x, y)) ,	которая непрерывна в			точке		(x , y ), т.к.
		x		y						0	0
		x		y
частные производные непрерывны во всей области D ,								причем		F (x0 , y0 ) 0.

Следовательно, существует такая окрестность Dδ (x0 , y0 ) точки (x0 , y0 ), для всех точек которой, включая и контур Lδ , функция F(x, y) 0 (Рис. 9). Тогда по формуле Грина для области Dδ имеем

Рис. 9

P(x, y)dx + Q(x,

Lδ

ограничивающий

F (x, y)dxdy 0,

Dδ


y)dy =		Q	− P dxdy	=		F (x, y)dxdy , где		L	-	контур,
		x	y					δ
	D	x	y		D
	δ
область		Dδ . Так как			F(x, y) 0 ,		(x, y) Dδ			Lδ , то
поэтому		P(x, y)dx + Q(x, y)dy 0 .					Это	противоречит
		Lδ

условию независимости КРИ II в области D от пути интегрирования. Следовательно, наше предположение неверно и условие (13.2) выполняется в каждой точке области D .

Достаточность. Пусть в области D выполняется условие (13.2). Рассмотрим в этой области замкнутый контур L , ограничивающий область D , и воспользуемся формулой Грина

P(x, y)dx + Q(x, y)dy =			(Q(x, y))	−	(P(x, y))
						dxdy .
			x		y	dxdy .
L1		( D1 )	x		y
В двойном интеграле подынтегральное выражение равно нулю в силу
(13.2). Следовательно,	P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 . Отсюда					на основании
	L1

теоремы 1 заключаем, что КРИ II не зависит от пути интегрирования.

Замечание:

1. Если КРИ II не зависит от пути интегрирования, а определяется только заданием начальной точки A и конечной точки B, то такой интеграл обозначают

AB P( x, y)dx +Q(x, y)dy .

2. Если область D не является односвязной, то выполнение в ней указанных условий не влечет за собой равенство нулю КРИ II по любому замкнутому контуру, лежащему в области D .

Пример 11. Вычислить (4xy + 5y3 )dx + (2x2 +15xy2 )dy от точки А(0,0) до

В(1,1) по линиям:

1.L – отрезок прямой y = x ;

2.L – дуга параболы y2 = x ;

3.L – дуга кубической параболы y = x3 .

Решение.

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]