Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Математика» (2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

1.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Подставляем в формулу

d= a2 (1 − cost)2 + a2 sin2 t dt = a (1 − 2cost + cos2 t + sin2 t dt =

=a (2 − 2cost)dt = 2a 2sin2 2t dt = 2a sin 2t dt .

2π

Далее вычисляем Ix

= 2a

(1 − cost) sin

− cost = 2sin

dt = 1

2π

4 t

= 8a

sin

dt = d (cos

) = −

sin

dt =

2π

2 t

2π

2 t

= −16a

(1 − cos

)

d (cos

) = −16a

− 2cos

+ cos

)d (cos

)

= −16a

(cos

−

cos

5 t

)

2π

256

Пример 3. Найти площадь забора, построенного на границе L квадрата

0 x 1 и

0 y 1, высота которого в точке (x, y) L равна z = x2 + y2 .

Решение. Стороны квадрата OABC можно описать следующими

уравнениями: АB:

x =1;

OC:

x = 0 ;

СB:

y =1,

OA:

y = 0 .

Учитывая

геометрический смысл КРИ I,

S = F (x, y)d , вычисляем КРИ I отдельно по

каждой стороне квадрата OABC.

Для стороны OA, соответствующая кривая имеет вид:

y = 0 и d

1+ y 2 (x)dx

(дифференциал длины дуги),

y (x) = 0 . Тогда d = dx и далее, воспользовавшись

формулой (2.11) имеем

	b
S = F (x, y)d = F (x, y(x)) 1 + y		2	(x)dx .
S = F (x, y)d = F (x, y(x)) 1 + y			(x)dx .
L	a

В нашем случае S = b (x2 + y2 )d .

Для стороны OA получим следующее выражение для площади:

SOA	= 1 (x2 + y2 )dx = OA : y = 0 = 1 x2dx =		1	.

	0	0	3

Для стороны СB получаем уравнение стороны, дифференциал длины дуги и выражение для площади соответственно:

			1					4
y =1, d = dx , S		=		(x2 +1)dx =	CB : y =1 =			4	.
y =1, d = dx , S	СВ	=		(x2 +1)dx =	CB : y =1 =				.
	СВ							3
			0					3
			0

Для стороны OС получим следующие выражения:					x = 0 и d = 1+ x 2 ( y)dy ,
тогда d = dy
SOС = 1 y2dy = OC : x = 0 =						1	.
SOС = 1 y2dy = OC : x = 0 =							.
0					3
0
Для стороны AB получим следующие выражения:					x =1, d = dy

			1			4
S		=		(1 + y2 )dy =	AB : x =1 =	4	.
S	AB	=		(1 + y2 )dy =	AB : x =1 =		.
	AB					3
			0			3
			0

Тогда S = SOA + SAB + SBC + SOC = 103 .

Пример 4. Найти массу дуги кривой x2 + y2 = a x , если линейная плотность ρ(x, y) = x2 + y2 .

Решение. Для вычисления массы дуги окружности x2 + y2 = a x запишем уравнение окружности в полярной системе координат, учитывая, что x = r cos φ ,

x = r cos φ .	Тогда уравнение окружности	x2 + y2 = a x будет				выглядеть
следующим	образом r2 cos2 φ + r2 sin2 φ = a r cosφ ,		r = a cos φ .	Дифференциал

длины дуги кривой вычисляем по формуле		d =	r2 (φ) + r 2 (φ)dφ .			При этом
			d = adφ		и	плотность
r (φ) = −asin φ . После подстановки получаем

ρ(x, y) = x2 + y2 в полярной система координат имеет вид ρ(x, y) = r .

Масса дуги вычисляется, как уже было указано выше, по формуле (4.1). Тогда подставляя все полученные промежуточные выражения, получим:

	π/2		π/2
M L = radφ = r = a cos φ =		a2 cos φdφ = a2 sin φ	π/2	= 2a2 .
		a2 cos φdφ = a2 sin φ	−π/2	= 2a2 .
			−π/2
L	−π/2

7. Определение криволинейного интеграла II рода

Зададим в пространстве 3	ориентированную гладкую кривую АВ и пусть в
каждой точке этой кривой	(x, y, z) AB определена вектор-функция

a(P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)) , где P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) - непрерывные функции на кривой АВ (Рис. 3).

Рис.3

Направление вектора a и его длина зависят от точки (x, y, z) , принадлежащей АВ. Разобьем кривую АВ произвольным способом точками А = М0 , М1, М2...Мn = B на n элементарных дуг Mi−1Mi ( i =1, n ). Обозначим векторы M i−1M i = i и λ = max i максимум их длин (i =1, n ). На каждой дуге возьмем произвольную точку Ni (ξi ,ηi ,ζi ) и найдем значение вектор-функции в этой точке a(Ni ) . Составим сумму скалярных произведений векторов a(Ni ) и

i ( xi , yi , zi )

n
(a(Ni ), i ) ,	(7.1)

i=1

которая называется n -ой интегральной суммой (и является скалярной величиной).

Предел интегральной суммы (7.1) при λ → 0 ( n → ), если он существует, конечен и не зависит от способа разбиения кривой АВ на элементарные дуги

Mi−1Mi	и	от	выбора точек	Ni Mi−1Mi , называется криволинейным
интегралом II рода (в векторной форме) и его обозначают (a, d					) или (a, d ).
				AB	L
Следовательно, по определению
				n
			(a,d ) = limλ→0 (a(Ni ), i ) ,		(7.2)
			L	i=1
где d	- вектор, имеющий направление касательного вектора τ и длину, равную
длине дуги d		(рис.2).
Записав скалярное произведение векторов a(P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)) и
d (dx,dy,dz ) через координаты, получим
		(a,d ) = P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz .			(7.3)
		L	L

Правую часть (7.3) называют криволинейным интегралом II рода в координатной форме или криволинейным интегралом по координатам.

Замечание.

1. Если кривая L замкнутая, то криволинейный интеграл II рода записывают в виде (a,d ) .

2. Если ориентированная гладкая кривая L задана в пространстве 2 (на плоскости), то криволинейный интеграл II рода имеет вид:

(a,d	) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy	(7.4)
L	L

8. Вычисление криволинейного интеграла II рода

Пусть

(a,d ) = P(x, y,z)dx+Q(x, y,z)dy+R(x, y,z)dz

(8.1)

L L

- криволинейный интеграл второго рода.

Касательный вектор к кривой L , заданной уравнением (1.1) или (1.2), имеет

координаты τ = (x (t), y (t), z (t)) . Нормируя его,

получим единичный вектор τ0

касательной τ

x 2+ y 2+ z 2

t t

Зная, что d =

x 2+ y 2+ z 2 dt ,

dx = x'( t )dt , dy = y'( t )dt , dz = z'( t )dt , получим

(a, d ) = (a, τ0 )d

= (P(x, y, z)x (t) + Q(x, y, z) y (t) + R(x, y, z)z (t))dt .

(8.2)

Для вычисления КРИ II рассмотрим следующие случаи:

x = x(t)

= y(t)

1. Пусть кривая L : y

задана параметрическими уравнениями,

= z(t)

t t1; t2 Тогда вычисляем dx = x (t)dt,

dy = y (t)dt,

dz = z (t)dt и подставляем

результат в (8.1). Затем интегрируем по переменной t .

Из формулы (8.2) видно, что для вычисления КРИ II надо свести его к КРИ I, вычисление которого сводится к вычислению определенного интеграла. Тогда запишем:

(a, d	) = (a, τ0 )d	= P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =	(8.3)
L	L	L

=t2 (P(x(t), y(t),z(t))x (t)+Q(x(t), y(t),z(t)) y (t)+R(x(t), y(t),z(t))z (t))dt . t1

	2. Если уравнение кривой L 2 задано в виде	y = y(x) ,	x a;b , то
КРИ II, будет преобразован следующим образом		с учетом	того, что
dy = d(y(x)) , т.е. dy = y (x)dx :
P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy = b P(x, y(x))dx + Q(x, y(x)) y (x)dx =
L	a
	= b (P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) y (x))dx .		(8.4)
	a

	3. Если уравнение кривой L 2 задано в виде x = x( y) ,	y c;d , то
КРИ	II, будет преобразован следующим образом с учетом	того, что
dx = d(x( y)) , т.е. dx = x ( y)dy :
P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy = d P(x( y), y)x ( y)dy + Q(x( y), y)dy =
L	c
	= d (P(x( y), y)x ( y) + Q(x( y), y))dy .	(8.5)
	c

9. Связь криволинейных интегралов I и II рода

Рис. 4

Используя единичный вектор, направленный по касательной к кривой L в точке N в направлении ориентации L (Рис. 4), установим связь криволинейных

интегралов I и II рода по кривой L . Вектор d

= τ0 (N )d , где d

- дифференциал

длины

дуги, определяемый

по

формуле d

x 2+ y 2+ z 2 dt ,

если L 3 и

d =

x 2+ y 2dt

если L

2 .

Тогда

элемент

(a, d )

под

криволинейным

интегралом II рода (8.1) запишется в виде (a, τ0 )d

где (a, τ0 ) - функция,

определенная на L . Обозначим ее f (x, y, z) = (a, τ0 ),

- дифференциал длины

дуги. Таким образом,

(a,d ) = (a, τ0 )d

= f (x, y, z)d

(9.1)

где слева стоит интеграл II рода, а справа – равный ему интеграл I рода.

Криволинейный интеграл II рода (по координатам) обладает теми же свойствами, что и криволинейный интеграл I рода (по длине дуги). Однако, если криволинейный интеграл I рода не зависит от ориентации кривой L , то криволинейный интеграл II рода зависит от ориентации L и меняет знак при изменении ориентации:

(a,d

) = − (a,d )

(9.2)

L−

L+

Действительно, (a,d

) = (a, τ0 )d

= f (x, y, z)d ,

(a,d ) =

(a, τ0

= −

(a, τ0 )d

= −

(a,d ) , где

τ0

−

- единичный вектор

−

L−

касательной к кривой L− .

10. Формула Грина

Часто встречаются случаи, когда КРИ II вычисляется по замкнутому

контуру L

2 , т.е. интеграл вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy . Замкнутый контур L

будем считать положительно ориентированным, если при движении по нему область D , ограниченная этим контуром, остается слева (рис.5).

Движение в противоположном направлении называется отрицательным.

Для вычисления КРИ II по замкнутому контуру (замкнутой кривой) применяют формулу Грина, которая связывает КРИ II с ДИ (двойным интегралом) по области D , ограниченной этим контуром L , где на замкнутом контуре L берется положительное направление.

Теорема. Если функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны со своими частными

производными	(P(x, y))	,	(Q(x, y))	в замкнутой области D
	y		x
место формула Грина

P(x, y)dx + Q(x, y)dy =		(Q(x, y))	−	(P(x, y))
					dxdy ,
		x		y
L	( D)

где контур L - положительно ориентированный контур.

L , то имеет

(10.1)

Доказательство:

Рис. 5

На плоскости xOy рассмотрим правильную область D , ограниченную контуром L , пересекающуюся прямыми, параллельными осям координат, не

более чем в двух точках (Рис. 5). Преобразуем (P(x, y)) dxdy . Интегрируя

( D)

сначала по y, потом по x, получим

(P(x, y))

y2 ( x)

(P(x, y))

dxdy

= dx

dy ,

( D)

a y1 ( x)

где

y = y1(x)

уравнение линии

ACB ,

y = y2 (x) -

уравнение

линии

ADB ,

x a;b . Выполним внутреннее интегрирование,

помня, что функция P(x, y)

является первообразной для

(P(x, y))

и учитывая свойство определенного

интеграла b

f (x)dx = −a

f (x)dx .

y2 ( x)

(P(x, y))

y2 ( x)

dy = dx(P(x, y))

(P(x, y2 (x)) − P(x, y1 (x)))dx =

y1 ( x)

P(x, y2 (x))dx −

P(x, y1(x))dx =

P(x, y2 (x))dx +

P(x, y1(x))dx .

Интеграл

P(x, y2 (x))dx

есть

интеграл

по

кривой

ADB,

т.е.

P(x, y2 (x))dx

P(x, y)dx , а

P(x, y1 (x))dx =

P(x, y)dx .

ADB

BCA

Тогда сумма их равна КРИ по замкнутому контуру L− .

P(x, y2

(x)) d x

P(x, y1(x))dx =

P(x, y)dx +

P(x, y)dx =

ADB

BCA

= P(x, y)dx = − P(x, y)dx .

L−

Следовательно,

(P(x, y)) dxdy =

− P(x, y)dx .

(10.2)

( D)

(Q(x, y))

( y ) (Q(x, y))

x2 ( y )

dx = dy (Q(x, y))

Аналогично и

dxdy

x1 ( y )

( D)

x1 ( y )

= d (Q(x2 ( y), y) − Q(x1( y), y))dy = d Q(x2 ( y), y)dy + c Q(x1( y), y) dy =

Q(x2

( y), y)dy +

Q(x1( y), y) dy =

Q(x, y)dy ,

(10.3)

CBD

DAC

где уравнение линии CAD - x = x1( y) , уравнение линии CBD -

x = x2 ( y) , y c;d .

Вычитая почленно из равенства (7.3) равенство

	(Q(x, y))	−	(P(x, y))
				dxdy =
	x		y
( D)					L

(7.2), получим формулу Грина.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy .

Замечание: Формула Грина справедлива для всякой замкнутой области, которую можно разбить на конечное число правильных замкнутых областей.

Рис. 6

Пусть область D имеет вид (Рис. 6). Разобьем ее прямой АВ на две правильные области D1 и D2 . Применяя формулу Грина (10.1) к каждой области,

получим:

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]