Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Математика

i

j

k

rot

A

.

x

y

z

xy y3 z x2 z2

Расписывая определитель, получаем:

x2 z2

y3 z

xy

x2 z2

y3 z

xy

rot A

i

j

k

y

z

z

x

x

y

y3i 2x2 y2 j xk .

11. Вычислить ротор вектора линейной скорости тела V ,

вращаю-

щегося по круговой орбите радиуса r

с постоянной угловой скоростью

xi

y j

z k .

Связь V ,

и r определяется соотношением:

V

r ,

i

j

k

V

x

y

z

z y y z i x z z x j y x x y k Vxi Vy j Vz k ,

x

y

z

где Vx z

y

y

z ,

Vy

x z

z x , Vz

y

x

x y .

Теперь можно вычислить rot V :

i

j

k

rot V

y x

x

y

x

z z

x

i

x

y

z

y

z

z y

y z

x z

z x

y x

x y

z y

y z

y x

x y

j

x

z

z x

z y

y z

k

z

x

x

y

2 xi

2 y j

2 z k 2 .

12. Определить,

является

ли

векторное

поле

A 4xy

12x2 z

i

2x2

3z3

j 4x3

9 yz2

k

потенциальным и,

i

j

k

rot A

x

y

z

4xy 12x2 z 2x2

3z3

4x3

9 yz2

4x3

9 yz2

2x2

3z3

4xy 12x2 z

4x3

9 yz2

i

j

y

z

z

x

2x2 3z3

4xy 12x2 z

9z2

9z2 i

12x2 12x2 j

k

4x 4x k 0

x

y

Следовательно, векторное поле A является потенциальным.

Потенциал

этого поля связан с компонентами вектора A следую-

щими соотношениями:

x

Ax ,

y

Ay ,

z

Az .

Тогда:

4xy 12x2 z dx f y, z

2x

2 y 4x3 z f y, z ,

1

1

2x2

3z3 dy f2 x, z

2x2 y 3yz3

f2 x, z ,

4x3

9 yz2 dz f3 x, y

4x3 z 3yz3

f3 x, y .

Таким образом, потенциал

равен:

2x2 y 3yz3

4x3 z C.

13. Показать, что для любого скалярного поля

выполняется ра-

венство rot grad

0 .

Решение.

Известно, что grad

i

j

k , тогда:

x

y

z

33

i

j

k

rot

grad

x

y

z

x

y

z

i

j

k 0.

y

z

z

y

z

x

x

z

x

y

y

x

Так как жидкость несжимаема, то ее плотность

постоянна. Ис-

div V div grad

.

34.

Как определяют оператор Гамильтона (оператор

)?

35.

Запишите градиент, дивергенцию и ротор, используя оператор

.

36.

Опишите порядок действия оператора

на

произведение

1.

Определить

линии

уровня

плоского

скалярного

поля

U

x, y

x

, проходящих через точку M 1, 1 .

x2

y2

Ответ: x2

y2

0 – пара пересекающихся прямых.

2.

Определить

линию

уровня

плоского

скалярного

поля

U

x, y

xy .

Ответ:

y

C

– гипербола.

x

3.

Определить векторные линии векторного поля

A xi

zj

yk .

Найти линию, проходящую через точку M 0, 0, 1 .

Ответ:

x

at

C1,

y

C2 sin t, z

C2 cos t.

Для точки M 0, 0, 1 C1

0,

C2 1 (винтовая линия).

4.

Определить

векторные

линии

векторного

поля

grad U ,

при U

x

y2

z3.

C 3

Ответ: y

z ,

x C

2

y.

1

5.

Определить

векторные

линии

векторного

поля

A x, y

3xi

9zk .

Ответ: x

C z3

;

y

C

.

1

2

37

6.

Вычислить производную скалярного поля

U

x2 y2

в точке

z

M1 1, 1, 1

по направлениям к точке M 2 3, 2, 3 .

Ответ:

2

.

3

7.

Вычислить

производную

плоского

скалярного

поля

U

x, y

3x4

xy

y3

в точке M 1, 2

в направлении, составляющем

с осью x угол 45 .

Ответ:

21

.

2

8.

Вычислить

производную

плоского

скалярного

поля

U

x, y

5x2

3x

y2

xy в точке M1

2, 1

в направлении, идущем от

этой точки к точке M 2

5, 5 .

Ответ:

24

.

5

9.

Вычислить

производную скалярного

поля U

x3

y2

z4

в точке M

1, 2, 1

в направлении вектора A

i

j

k .

Ответ:

5

.

3

10.

Вычислить

градиент

скалярного

поля

U

x2

y2

z2

в точке M 1,

1,

1 .

Ответ: grad U

1

i j

k .

3

38

11.

Вычислить

угол

между

градиентами

скалярного

поля

U x, y, z

x2 yz

xy2 z xyz2 в точках M1 1, 0, 1

и M2 1, 1, 0 .

Ответ:

.

2

12.

Определить скорость и направление наиболее быстрого роста

функции U

x, y, z

x sin z

y cos x

z cos x в начале координат.

Ответ: Наиболее быстрый рост

происходит

со скоростью

grad U

2 в направлении, составляющем угол

с осями y и

z .

4

13.

Вычислить

дивергенцию

векторного

поля

A x, y. z

xz2

y i

y2 x

z j

zx2

zy k

в точке M

1, 2,

3 .

Ответ: 16.

Вычислить grad r2

14.

где r

x2

y2

z2 .

Ответ: 2r .

1

15.

Вычислить grad

, где r

x2

y2

z2 .

r

r

Ответ:

.

r3

16.

Вычислить div r , где r

xi

yj

zk .

Ответ: 3.

17.

Вычислить

дивергенцию

векторного

поля

A x, y, z

grad

x2

y2

z2 .

19.

Вычислить

дивергенцию

трехмерного

векторного

поля

r

A

x,

y, z

f

r

, где r

xi

yj

zk ;

f

r

– произвольная ска-

r

лярная функция.

Ответ:

2 f

r

f

r

.

r

20.

Вычислить ротор векторного поля A

x, y, z

xyi yzj zxk .

Ответ:

yi

zj

xk .

21.

Вычислить

ротор

векторного

поля

A

xyzi

x y

z

j

x2

y2 z2 k

в точке M 1, 1, 2 .

Ответ:

3i

3 j

k .

22.

Векторное поле

A

формируется силой,

обратно пропорцио-