Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

3.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

K A B ... D .

Любой вектор A можно единственным образом разложить на сумму трех векторов, параллельным трем заданным векторам a, b, c, которые не являются компланарными между собой:

A a b c.

Слагаемые этого разложения называют компонентами, а скалярные множители – коэффициентами.

Скалярным произведением двух векторов A и B называют скаляр-

ную величину, определяемую соотношением:

A B A B cos ,

где A A , B B , – угол между векторами A и B , приведенными к общему началу.

Векторным произведением двух векторов A и B называют вектор

C A B A, B такой, что его длина равна A B sin , а направление

перпендикулярно как A , так и B , причем так, чтобы все три вектора A , B и C образовывали правую тройку. Тройка векторов A, B , C называется правой, если после совмещения начал всех трех векторов, с

конца вектора С кратчайший поворот от вектора A к вектору B происходит против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой.

Свойства произведений векторов:

A B		B A; A B B A;				A B		B A ;
	A B		A B;		A B C A B C ;
A B C A B C ;					A B C A B A C;
A	B	C	A B	A C; A B		0,	если	A B;
A	B	0,	если A	B;	A A	A2 ,	A A	0.

Двойное векторное произведение выполняют по формуле:

A B C B A C C A B .

Оно представляет собой новый вектор, компланарный векторам B и

C .

Смешанное векторное произведение A B C есть скаляр (число),

равный объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Это число берут со знаком «+», если вектора A, B, и С образуют правую тройку. В противоположном случае (левая тройка) надо взять знак « ».

Иногда используется запись в форме A B C ABC.

При перестановке двух множителей в смешанном произведении знак меняется на противоположный. Если производится круговая перестановка всех трех множителей, то знак результата при этом не меняется.

АВС BCA CAB ACB BAC CBA.

Иногда приходится вычислять более сложные произведения, например:

A B C D A C B D B C A D .

Если векторы заданы в прямоугольных декартовых координатах:

A Ax , Ay , Az ,

BBx , By , Bz ,

CCx , Cy , Cz ,

тогда:

		A B Ax Bx			Ay By	Az Bz ,
	i	j	k			Ax	Ay	Az
	i	j	k			Ax	Ay	Az
A B	Ax	Ay	Az	,	ABC	Bx	By	Bz	.
	Bx	By	Bz			Cx	Cy	Cz

3.ПРАКТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ

3.1.Примеры решения задач

1. Определить линии уровня плоского скалярного поля

U x, y 5 3x2 y2 .

Решение.

Линии уровня определяются уравнением вида:

5 3x2 y2 C ,

где C – произвольные постоянные. Данное уравнение можно записать в следующем виде:

y2 5

C ,

1 .

Таким образом, линии

уровня

–

это

эллипсы

полуосями

5 C . При этом множество точек

x, y

, определя-

ющих эти линии, таково, что 5 C 0 .

2. Определить

линии

уровня

плоского

скалярного поля

x, y

y2 .

Решение.

Линии уровня определяются уравнением вида:

C ,

где C – произвольные постоянные. Если C

0 , то линии уровня будут

равносторонними гиперболами с действительной осью Ох . Если C 0 , то линии уровня будут сопряженными с ними гиперболами с действи-

тельной осью Оy. При C 0 линиями уровня будут асимптоты всех указанных гипербол.

3. Найти производную поля U x, y, z x2 y2 xyz2 2xyz в точке M0 2, 3, 1 по направлению некоторого вектора a, который образует

с осями координат острые углы ,		,	.
с осями координат острые углы ,		,	.
	3	4
Решение.
Вычислим частные производные	функции,		описывающей поле
в точке M 0 :

	U	2xy2 yz2 2xy

	x
	x	M0
		M0

	dU	2x2 y xz2 2xz

	y
	y	M0
		M0

27 ,

30 ,

dU	2xyz 2xy	M0	24 .


z
	M0

Вычислим направляющие косинусы:

cos	cos		1	; cos	cos			1	.


	4	2				3	2

Чтобы найти cos , учтем, что сумма квадратов косинусов направляющих углов прямой в пространстве равна 1:

cos2 cos2 cos2 1,

откуда получаем, что cos2	1	. Теперь можно записать производную

по направлению:

U	U	cos	U	cos	U	cos	27	1	30	1	24	2		57 24 2	.

a	x		y		z		2		2			2	2

4. Для функции U				x, y, z		x2	y2		z2		определить производную в
точке M0 3, 3, 3		в направлении вектора S									i	2 j	3k .
Решение.
Вычислим направляющие косинусы вектора S :
cos	1			1	; cos		2			2		; cos			3			3	.
cos					; cos							; cos							.
12	22	32	14			12	22	32		14			12		22	32	14
Вычислим частные производные функции U												x, y, z		в точке M 0 :

2 y

2z M0 6.

Тогда производная по направлению равна:

U	6	1	6	2	6	3		36	.
S
		14		14		14	14

5. Вычислить модуль и направление вектора градиента скалярного

поля U x, y, z x2 y3			2z2 3xyz			в точке M0		2, 1, 1 .
Решение.
Вычислим частные производные:
	U	2x 3yz,		U	3y2	3xz,	U	4z 3xy .

	x			y			z
	x			y			z

Находим их значения в точке M 0 :

Теперь можно записать градиент в виде:

grad U 7i 9 j 7k .

Модуль градиента равен:

72 92

grad U M0

179.

6. Вычислить

угол

между

градиентами

функций

и V

в точке M 0 2,

Решение.

Вычислим частные производные для функции U

z :

3x,

6 y,

4z,

тогда:

grad U

3xi

6 yj

4zk

2 j

3k .

Вычислим частные производные для функции V

z :

2xyz,

x2 z,

x2 y,

тогда:

grad V 2xyzi x2 zj x2 yk	2 3			4	k .
		i	2 3 j
	3			3

Теперь можно вычислить угол между двумя векторами grad U и grad V :

																		2 3			i					4	k
										6i			2 j		2 3k			2 3				2 3 j				4
cos			grad U grad V							6i			2 j		2 3k			3				2 3 j			3
			grad U grad V															3							3

			grad U				grad V
																				4				16
														36		4	12			4		12		16
														36		4	12	3				12	9
																		3					9

											8		3
					8	3
								8	3					3
4	3	4		3
												3
						3										0.11.



				136				3	52			136

		52

					3
					3
Следовательно,								arccos 0.11					83, 7 .
7. Изотермы температуры													t C			имеют			вид				x2		y2 const .
Для изотермы, проходящей через точку M1																	3, 4 t					300 C,			а для изо-
термы, проходящей через точку													M 2		5, 1		t		350 C . Найти прибли-

женное значение grad t , считая, что линейные расстояния даны в миллиметрах.

Решение.

Видно, что изотермы представляют собой окружности с центром в начале координат. Радиус изотермы, проходящей через точку М1, равен:

		0 2		0 2
R1	3	0 2	4	0 2	25		5.

Радиус изотермы, проходящей через точку M 2 , равен:

0 2

26 .

Следовательно, приближенно:

grad t

505

мм

8. Вычислить дивергенцию векторного поля

A x, y, z

2x2 y 3xz2

6x2 yz i

2xy4

x2 yz z2

5xyz2 7xz 8 yz k

в точке

M 1, 2, 3 .

Решение.

Вычислим частные производные:

4xy

3z2 12xyz,

8xy3

x2 z,

10xyz

7x 8 y.

Тогда:

53;

67;

51,

откуда получаем:

div A	M 53 67	51	171.
			ln x2 y2 z2 .
9. Вычислить дивергенцию поля grad		,

Решение.

Определим вектор grad

k .

Найдем частные производные:

2 y

;

x x2

x2 y2 z2

В результате получаем:

grad

2xi

2 yj

2zk

x2 y2

Теперь:

div

grad

Вычислим частные производные:

2x2

2 y2

;

x x2

2 2

2 y

2x2

2 y2

2z2

;

y x2

2 2

2x2

2 y2

2z2

z x2

2 2

Складывая полученные выражения для производных, получим:

div grad	2			.

		x2 y2	z2
10. Вычислить ротор векторного поля A			xyi y3 zj x2 z2k .
	30

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]