Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Математика

1.4. ГРАДИЕНТ

Будем рассматривать скалярную функцию U (x, y, z) в некоторой

области пространства. Считаем, что данная функция непрерывна и дифференцируема. Градиентом функции U (x, y, z) называют вектор,

проекции которого на оси координат представляют собой частные про-

Точку, в которой grad U обращается в нуль, называют особой точ-

кой для скалярного поля U (x, y, z) . Если grad U в какой-либо точке

отличен от нуля, то такую точку называют неособой (обыкновенной). Укажем некоторые свойства оператора градиента.

Если для некоторого скалярного поля определен вектор grad U, то

где S0 – единичный вектор в направлении вектора S .

Модуль градиента скалярного поля равняется максимальному значению производной по направлению в данной точке и направлен в сторону наибольшего возрастания поля.

Производная по направлению вектора, касательного к поверхности уровня, равна нулю.

Приведем некоторые соотношения, связанные с вычислением градиента:

11

grad C 0, C const; grad (U V ) grad U grad V ,

где U , V – дифференцируемые скалярные функции;

grad f (U ) f (U ) grad U ,

где f – дифференцируемая функция.

12

1.5. ДИВЕРГЕНЦИЯ

Пусть в некотором пространстве задано векторное поле А . Выделим в этом пространстве некоторый объем, ограниченный замкнутой поверхностью. Векторное поле наглядно характеризуется силовыми линиями (линиями тока). Если поток вектора через замкнутую поверхность больше нуля, то имеет место источник поля. Если поток вектора меньше нуля, то имеет место сток поля.

В общем случае источники векторного поля могут располагаться в отдельных точках пространства, быть распределенными по линиям или поверхностям пространства, но наиболее простой является ситуация, когда источники векторного поля распределены во всем пространстве. В этом случае можно ввести понятие не только средней плотности ис-

точника, но и плотности источника в любой точке пространства. Эта плотность источников называется дивергенцией (расхождением) век-

торного поля А .

Для дивергенции векторного поля используется обозначение div A и сама по себе она образует скалярное поле, так как определена при за-

данном векторе А во всех точках пространства, в которых определено векторное поле. Если дивергенция больше нуля, то говорят об источнике поля. Если же дивергенция меньше нуля, то это указывает на наличие стока поля. В тех случаях, когда дивергенция равна нулю, это может означать, что или число источников равно числу стоков, или что источники и стоки отсутствуют. В этом случае поле называют соленоидальным или трубчатым.

Пусть вектор A в декартовых координатах задан своими компонентами: A A( Ax , Ay , Az ) , тогда:

Приведем некоторые соотношения, связанные с вычислением дивергенции:

div C 0,

13

где и – скалярное поле.

1.6. РОТОР

Рассмотрим векторное поле A( Ax , Ay , Az ) в некоторой области про-

странства. Ротором (вихрем) поля A называют вектор, определяемый соотношением:

Частные производные в формуле (2.5) вычисляются в точке рассматриваемого пространства M (x, y, z) . Ясно, что поскольку вектор

rot A в каждой точке пространства принимает значения, вообще гово-

ря, отличные от значений вектора A , то ротор векторного поля позволяет определить в пространстве новое векторное поле. С физической

точка зрения rot A численно равен объемной производной поля A , взятой с обратным знаком. Линии тока поля являются вихревыми ли-

ниями поля A .

Вычисление ротора можно символически записать в виде:

14

x y z Ax Ay Az

Если для некоторого векторного поля A имеет место соотношение rot A 0 , то такое поле называют безвихревым. Любое потенциальное векторное поле (то есть такое поле, которое определяется градиентом скалярного поля A grad u ) всегда является безвихревым. Обратное

утверждение тоже верно: если некоторое векторное поле является безвихревым, то оно потенциально.

Приведем некоторые соотношения, связанные с вычислением рото-

ра:

rot c 0

где c – постоянный вектор;

rot r 0 ,

где r x i y j z k ;

rot(c A) c rotA ,

где c const ;

где u – скалярное поле;

rot ( A B) (B grad) A ( A grad )B A div B B div A .

15

1.7. ОПЕРАТОРЫ ГАМИЛЬТОНА И ЛАПЛАСА

Рассмотренные выше дифференциальные операторы удобно представлять при помощи оператора Гамильтона. Использование этого оператора позволяет делать вычисления более компактными и наглядными.

Оператор Гамильтона (его еще называют набла-оператором или

-оператором) записывают в виде:

ным. Если этот оператор действует на какое-либо произведение, то сначала надо учитывать его дифференциальные свойства, и только после этого векторные.

каждой из них (при этом над функцией ставят метку в виде знака ), а затем результаты складывают. Полученные произведения записывают по правилам векторной алгебры так, чтобы после оператора стояла

только функция с меткой . В окончательном результате эту метку опускают.

Рассмотрим некоторые примеры:

F1F2 F3 F1 F2 F3 F1 F2 F3 F1 F2 F3 . (2.11)

17

Вычислим дивергенцию от векторного произведения двух векторных полей:

Ротор от векторного произведения дух векторных полей записывают в виде:

Градиент скалярного произведения двух полей имеет вид:

Парные комбинации операторов градиента, дивергенции и ротора называют операциями второго порядка:

18

ется при решении многих научных и технических задач и называется уравнением Лапласа. Решение уравнения Лапласа называют гармонической функцией. Если правая часть уравнения (2.16) отлична от нуля, то такое уравнение называют уравнением Пуассона.

19

1.8.ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Для работы с полевыми дифференциальными операторами нам понадобятся некоторые сведения из векторного анализа. Приведем их кратко в виде справочного материала.

Суммой нескольких векторов A, B, C, ..., E называют вектор,

представляющий собой замыкающую ломаной линии, составленной из складываемых векторов. Если складываются два вектора A и B , то их суммой является вектор C A B , представляющий собой большую диагональ параллелограмма, построенного на векторах A и B .

Разностью двух векторов A и B называют сумму векторов A и B

. Графически она представляет собой меньшую диагональ параллелограмма, построенного на векторах A и B .