Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Математика (раздел элементы линейной и векторной алгебры)» для специальностей 1-69 01 01 «Архитектура» и 1-69 01 02 «Архитектура и дизайн»

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3. Найти 2A

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

1.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

	2	1	3	4
	0	5	4	2
A	0	5	4	2	при k 2 получаем определители
	1	1	1	3
	2	2	0	5
	2	2	0	5
							1	;	5	4	;	1	3	.
						2	1		5	4		1	3
						0	5		1	1		0	5

Рангом матрицы A (обозначается rA ) называется наивысший порядок порожденных ею определителей, отличных от нуля.

				1	2	0
				4	5	1
Пример. Найти ранг матрицы А				4	5	1	.
				2	3	0
				2	3	0
Решение. Минор 3-го порядка – это определитель
	2	0
1	2	0
4	5	1	7 0
2	3	0

rangA 3.

Элементарными преобразованиями матрицы называют следую-

щие:

1. Умножение произвольного ряда матрицы на число отличное от ну-

ля.

2.Прибавление к одному ряду матрицы другого параллельного ему ряда, умноженного на произвольное число.

3.Перестановка местами двух параллельных рядов.

Если матрица B получена из матрицы A элементарными преобразованиями, то пишут A B или A B . Известно, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Отсюда следует правило нахождения ранга матрицы:

При помощи элементарных преобразований приводят исходную матрицу к треугольной или трапециевидной форме; ранг такой преобразо-

ванной матрицы равен числу отличных от нуля строк.

4		2	3	0
	3	2	4	1
Пример. Найти ранг матрицы					.
	1	5	2	7
	1	10	3	15

		4		2	3	0
			3	2	4	1
Решение.			3	2	4	1
			1	5	2	7
			1	10	3	15
			1	10	3	15
	1	5		2	7		1
	0	5		1	8		0

	0	17		10	20		0
	0	22	11		28		0
	0	22	11		28		0
								1
								0
								0
								0
								0
								0

	1		5		2	7
	1		10		3	15
	1		10		3	15
	3		2		4	1
	4		2		3	0
	4		2		3	0
5 2					7	1 5		2	7
5		1			8		0 5	1	8
5		1			8		0 5	1	8
17		10		20			0 17	10	20
5		1			8		0 0	0	0
5		1			8		0 0	0	0
5		2		7
5		1		8
					. rangA 3 .
0		33	36
0		0		0
0		0		0

Замечание. Под элементами главной диагонали должны стоять нули.

Практическое занятие 1

Примеры для аудиторной работы:
1. Для матриц A	4	1	2	и B	1		1	2	найти а) A 2B ;
	3	1	0			4	0	1
	3	1	0			4	0	1

б) 3A B .

2. Найти матрицу, транспонированную к данной матрице A :

	1	4			1	2	4
	2	0	; б) A 3 1		2	0
а) A	2	0	; б) A 3 1	1 ; с) A	2	0	11 .
	3	1			5	1	7
	3	1			5	1	7

		1	2	1			1			2
4. Даны матрицы		1	2	1	;		2	;		1
4. Даны матрицы	A	1			;	B	2	;	C	1
		1	0	1			2			1
							2			1

ществуют ли следующие произведения: а) A B ; б) B A ; в) B C C A; е) A B C ? Найти возможные произведения матриц.

10 . Су-1 3

;г)C B ; д)

							1	0
5. Найти	A	2	и	3	, если		0	1
5. Найти	A		и	A	, если	A	0	1	.
							0	0
							0	0

		6. Найти ранги матриц: а) 1						0	; б) 1		3	; в) 1		2	1 ;
							1 3			2	6		3	6 3
2		3	1 2	4 2			3 1 3
	3	1 3 1			3	1 3 4		5
г)	3	1 3 1		; д)	3	1 3 4		5		.
	5	2	2 4		2	2	3 1	8
	5	2	2 4		2	2	3 1	8

		2		1 2				13		4		8	1	2 3		3
		2		1 2		; б)		13		4		8	1	2 3		1	;
	Ответы. 1.а)					; б)							. 2.а)		; б)	1	;
		5 1 2						13			3 1		4	0 1
																1
	1 2 5	3 4			2				7
	2 0 1		2	3	2				7		; б) не существует; в) не существу-
в)	2 0 1	. 3.	2	3	2		. 4.а)		1		; б) не существует; в) не существу-
	4 11 7		2	2	3				1
	4 11 7		2	2	3

		4							13						0 0				1			0		0 0
ет; г)		3							13			A	2			0	0		0	3			0	0	0
ет; г)		3			; д) не существует; е)						. 5.	A				0	0		0	; A			0	0	0	.
		3							1							0 0			0				0	0 0
		3														0 0			0				0	0 0
6. а) r 2 ; б) r 1; в) r 2 ; г) r 3 ; д) r 3 .
Задание для самостоятельной работы
										1			1			3		2				1		4	2
1.										0			1			3		2						0	1		;
1.						Даны матрицы A				0	; B				5	1		0	; C		2			0	1		;
										2					5	1		0				1		1
										2												1		1	1
		2			3
									1 . Найти: а) AT
D	1				0	; F		1	1 . Найти: а) AT			A ;			A AT ;				F B D B ;
	0				1
	0				1			0	1
		1			1
		1			1
б) C BT F ;							B A F ; C A A ; в) D F 2 ; B C D .
2.				Проверить справедливость матричного равенства
A B			2		A2		2AB B2 для матриц A							1		1				2 0
A B					A2		2AB B2 для матриц A								0	2		и B			1		1	.
															0	2					1		1

3. Найти матрицу X из матричного уравнения		1
3. Найти матрицу X из матричного уравнения	X 2	0	.
		0

						2	4
					0	2	4
	2	3	1		1	4	5
	2	3	1		1	4	5
4. Найти ранг матриц: а) A	1	4	2	; б) B	3	1	7	.

	1	4	0		0	5	10
	1	4	0		0	5	10
					2	3	0
					2	3	0

	1	2			24	15
	0	0	;		6	4	; не суще-
Ответы: 1.а) 5 ;	0	0	;	не существует; б)	6	4	; не суще-
	2	4			6	0
	2	4			6	0

	6		7	5
	6		2	1		1 0
	0		2	1	; не существует. 2. Не выполняется. 3.	1 0	.4.
ствует;	0	; в)			; не существует. 2. Не выполняется. 3.		.4.
	1		1	1		0 0
	1		3	2
			3	2

а) rA 3; б) rB 2 .

Лекция 2. Понятие и вычисление определителей второго, третьего и более высоких порядков. Свойства определителей

§5. Определители и их свойства.

Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие число, вычисленное по определенному правилу и называемое определителем

или детерминантом: det A, |A|, .

Определитель 1-го порядка – число

a11

a11 .

Определитель 2-го порядка – число

а11

а12

= а а

а .

а21

а22

а11

а12

а13

Определитель 3-го порядка – число

а21

а22

а23

а11 а22 а33

а31

а32

а33

а21 а32 а13 а12 а23 а31 -( а13 а22 а31 а32 а23 а11 а12 а21 а33 ).

Пример. Вычислить определители 2-го и 3-го порядка:

; 2)

Решение.

1)			2		3 4 5 2 22 .
	3		2
	5		4
			3		1
		1	3		1

2)		2 0		4		=1 0 6 2 5	1	3 4 1	1 0	1 1 5	4	2 3 6	=
		1	5	6

= 54 .

Свойства определителей

10. Если в определителе какой-либо ряд состоит из нулей, то этот определитель равен нулю.

20. Определитель, имеющий два одинаковых параллельных ряда, равен нулю.

30. Определитель, имеющий два пропорциональных параллельных ряда, равен нулю.

2 3 4

Например, 4 6 8 2 6 3 4 2 4 3 81 (1 6 4 2 2 8 3 4 3)

1 2 3

0 .

40. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

50. Общий множитель любого ряда можно вынести за знак определителя.

				4		6		18		2	3	9		2	3	9
Например,				3		15		9	2	3	15	9	2 3	1	5	3
				1 1			3			1 1		3		1 1		3
		3	3
	2	3	3
2 3 3	1	5	1		360.
	1	1	3

60. Определитель не изменится, если к элементам любого его ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ему ряда, умноженные на любое число.

		2	3		1	2	3
	1	2	3		1	2	3
Например,	2	1	0	4 . С другой стороны ,	2	1	0		(умно-
	3	0	1		3	0	1
							1		2		3
							1		2		3
жим первую строку на –2 и сложим со второй строкой) =							0		5		6
							3		0		1
										2	3
								1		2	3
(умножим первую строку на 3 и сложим со третьей строкой)								0	5		6
								0		6	8
									1	2	3
									1	2	3
(умножим третью строку на 1 и сложим со второй строкой)									0	1	2
									0	6	8

		2	3
	1	2	3
(умножим вторую строку на -6 и сложим с третьей)=	0	1	2	4 .
	0	0	4

70. Определитель не меняется при транспонировании.

80. Определитель произведения матриц равен произведению определителей.

Пример. Вычислить определитель, пользуясь свойствами:

		278			153	127			8	28	38	48
									8	28	38	48
									4	14	19	24
1)		277			152	126	; 2)		4	14	19	24	.
		2			2	2			2	4	6	8
		2			2	2			1	3	5	7
		Решение.							1	3	5	7
		Решение.
				153		127		278		153	127
	278			153		127		278		153	127
1)	277			152		126		1		1	1	0 .
		2			2	2		2		2	2
			28		38	48		0	0	0	0
	8		28		38	48		0	0	0	0
2)	4		14		19	24		4	14 19		24	0 .
	2			4	6	8		2	4	6	8
	1			3	5	7		1	3	5	7

Определители третьего и более высокого порядка можно вычислить с помощью следующей теоремы.

Теорема о разложении определителя по элементам ряда. Опреде-

литель равен сумме произведений элементов какого-либо ряда на их алгебраические дополнения:

											n							n
									n aik Aik akj Akj .
											k 1							k 1
	Рассмотрим определитель 3-го порядка и разложим его по элементам
								a11	a12		a13
								a11	a12		a13
первой строки:								a21	a22		a23	a11 A11						a12 A12 a13					A13
								a31	a32		a33
				a23			a21		a23				a21			a22
a		a22		a23	a		a21		a23	a			a21			a22		a a a a a a
11		a		a		12	a		a		13		a			a		11		22		33	11			23		32
			32	33			31		33				31			32
	a12 a21 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a13 a22 a31 a11 a22 a33
	a13 a21 a32 a12 a23 a31 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33																												.
												2			4	7
											1	2			4	7
	Пример. Вычислить 4										0	3			0	2	.
											2	4			3	2
											6	3			1	1
	Решение. Разложим определитель по элементам 2-ой строки:
									4 0 А21 3 А22 0 А23 2 А24
											4	7							1	2		4
										1	4	7							1	2		4
						3 1 4				2	3		2	2 1 6					2	4		3		207.
										6	1	1							6	3		1
	Практическое занятие 2
	Примеры для аудиторной работы:
	1.		Вычислить определители 2-го порядка: а)																			3		; б)			3	1		.
	1.		Вычислить определители 2-го порядка: а)																		2	3		; б)			3	1		.
																					4	0					2	5
																						0		1
																					2	0		1
	2.		Вычислить определители 3-го порядка: а)																		3	2	4		;
																					0	1		1

		3		2		1
		3		2		1
б)		1			4	2				.
		1			2	1
																												0		5			3
																											1	0		5			3
			3.		Вычислить определители 4-го порядка: а)																						0	1		3			0		;
																											2	0		9			5
																											0	1		0			2
		1		1	3				4
		1		1	3				4
б)		2		3	7				9		.
		3		5	13			15
		4		9	16			29
			4.																										3			2
			4.		Вычислить обратную матрицу A 1 , если а) A																								4		3		;
																													4		3
					2	4										1	2	3					2	7	3
					2	4										2 5		7					3	9 4
б) A									; в) A							2 5		7	; г) A				3	9 4		.
				1		3										3	7	9					1	5	3
																3	7	9					1	5	3
			5.		Решить матричные уравнения а) A X B ; б) X A B , где
			1		2 3									1		1		0

A			1		1 4			,				B			0 1			1 .
				2	4	5									1	0		1
				2	4	5									1	0		1
			6.		Определить при каких существует матрица, обратная данной
	1					4
	1		1			9
	1		1			9	.
	0			1		5
	0			1		5
			Ответы: 1. а)12 ; б) 17 .															2. а)	7 ; б) 0 .3. а)1; б)17									. 4. а)			1			3		2	;
																																		4		3
																															17
																															17
				3		4							4			3		1				7		6 1
			1	3		4															1
б)								;				в)		3 0				1	; г)			5 3 1						.
б)								;				в)		3 0				1	; г)		3	5 3 1						.
			2	1		2								1 1							3		6	3		3
														1 1				1					6	3		3
			6 13							3					14			3 6
				2	4				0							1		1	0			не существует.
5. а)				2	4				0				; б)			1		1	0	. 6.		не существует.
				1	2											9		2 4
				1	2					1						9		2 4

		Задание для самостоятельной работы
																									2	1
																							1		2	1
		1.	Вычислить							определители				3-го и	4-го		порядков:						3		1	5	;
																							4		2	5
		1	5		1			2		1	1	8
	2	1	5		1			2		1	1	8
	3	2	1		2	;		1		3	6	9	.
	1 2 3 4					;		0 2 2 5					.
	1	1	5		1			1		4	6	0
																	3	7				2			0	1
		2.	Найти				матрицу, обратную							данной:			3	7				0			1	0		;
		2.	Найти				матрицу, обратную							данной:		а)			;		б)	0			1	0		;
																10		21				0			0	3
																						0			0	3
		1	3		4
		3	5		6
в).		3	5		6		.
		2	2		10
		2	2		10
														1 2			3		1		1			0
															1	1	4			0	1
		3. Решить матричные уравнения: а) X													1	1	4			0	1		1 ;
															2	4	5			1	0			1
															2	4	5			1	0			1
	1		2						1	7
б).				X							2X .
	1		3						3	5

Лекция 3. Невырожденные системы линейных уравнений и их решение матричным методом, методом Гаусса и по формулам Крамера

§6. Системы линейных уравнений.

Линейной системой

m уравнений с n неизвестными x1, x2 ,..., xn

называется система вида

а11 x1

a12 x2

... a1n xn

a22 x2

... a2n xn

а21 x1

(1)

...........................................

x a

... a

где aij , bi , i 1, m,

j 1, n – некоторые числа.

				a11			a1n
Матрица			A					называется основной матрицей си-
Матрица			A					называется основной матрицей си-


				am1		amn
стемы (1),
		a11			a1nb1
матрица A							называется расширенной матрицей. Обо-
матрица A							называется расширенной матрицей. Обо-


		am1			amnbm
				x1

значим через			X	x2	– матрицу-столбец из неизвестных системы (1),


				xn
b1

B b2	– матрицу-столбец из свободных членов системы (1).


bm

Тогда в матричном виде систему (1) можно записать следующим об-

разом

A X B .

Решением системы (1) называется такая совокупность чисел с1,с2 ,...,сn , при подстановке которых вместо соответствующих x1, x2 ,..., xn

в систему, получаем верное тождество.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; в противном случае – несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение. Система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.

Пример. Записать систему линейных уравнений в матричном виде:

3x1 4x2 x3 8				x1		8	3 4			1
	x3 1
7x1	x3 1			X x2	, B	1	, A	7	0	1	A X B .
x x		2	x 4	x		4		1	1	1
1		2	3	3

Ответ на вопрос о совместности системы (1) дает следующая теорема.

Теорема Кронекера-Капелли

Для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]