Тема 3.5 Символический метод

Лекция 15 Выражение основных характеристик электрических цепей

переменного тока комплексными числами

При расчете электрических цепей переменного тока обычно пользуются действующими значениями напряжений и токов. Поэтому комплексы этих величин записывают так, что модули их равны действующим значениям (подобно тому, как на векторных диаграммах длины векторов выражают действующие значения). Комплексы синусоидально изменяющихся величин принято отмечать точками над их буквенными обозначениями (например, комплекс напряжения Ủ, комплекс тока Ỉ). Комплексы величин, не зависящих от времени (например, сопротивлений, проводимостей), обозначаются большими буквами без точек.

Для примера рассмотрим эквивалентные схемы электрической цепи параллельного соединения катушки и конденсатора (рисунок 3.16, а, б).

Напряжение на зажимах цепи выражается уравнением

u = U_msin(ωt + ψ_u).

Этому напряжению соответствует вектор U в комплексной плоскости и комплексное число в показательной форме

Ủ = Ue ^jψu. (3.28)

Ток i₁ в катушке отстает от напряжения на угол φ₁ и его мгновенное значение

i₁ = I_1m sin (ωt + ψ_u – φ₁) = I_1m sin (ωt – ψ₁);

угол ψ₁ = ψ_u – φ₁ в рассматриваемом случае ψ₁ < 0.

Вектору тока I₁ соответствует комплексное число

Ỉ₁ = I₁е^–jψ1 = I₁ cos ψ₁ – j I₁sin ψ₁. (3.29)

Ток в конденсаторе опережает напряжение на угол φ₂. Вектору тока I₂ соответствуют уравнение

i₂ = I_2m sin (ωt + ψ_u – φ₂) = I_2m sin (ωt – ψ₂)

и комплекс

Ỉ₂ = I₂е ^jψ2 = I₂ cos ψ₂ + j I₂sin ψ₂, (3.30)

где ψ₂ = ψ_u – φ₂.

Согласно первому закону Кирхгофа, ток в неразветвленной части цепи складывается из токов в параллельных ветвях:

I = I₁ + I₂.

Для определения этого тока сложение векторов I₁ и I₂ можно заменить сложением комплексов:

Ỉ = Ỉ₁ + Ỉ₂; (3.31)

Ỉ = (I₁ cos ψ₁ – j I₁sin ψ₁) + (I₂ cos ψ₂ + j I₂sin ψ₂) =

= I cos ψ + j Isin ψ = Iе ^jψ. (3.32)

Следует обратить внимание на различие между действительной или мнимой частями комплекса, с одной стороны, и активной или реактивной составляющими вектора тока, с другой стороны.

Действительная и мнимая части комплекса тока равны проекциям вектора тока на оси комплексной плоскости (ось действительных и ось мнимых величин).

Активная и реактивная составляющие вектора тока в данном участке цепи равны его проекциям на взаимно перпендикулярные оси, одна из которых направлена вдоль вектора напряжения этого же участка цепи. Действительная и мнимая части комплекса тока равны соответственно активной и реактивной составляющим вектора тока только в том случае, если вектор напряжения направлен вдоль оси действительных чисел, т. е. комплекс напряжения выражается действительным числом.

На схеме рисунка 3.16, а каждый из элементов (катушка и конденсатор) представлен активным и реактивным сопротивлениями, соединенными последовательно, а на рисунке 3.16, г — векторная диаграмма, соответствующая этой схеме (треугольники напряжений обеих ветвей).

Вектор полного напряжения U равен сумме его активной и реактивной составляющих:

в первой ветви (катушка) U = U_1r + U_L;

во второй ветви (конденсатор) U = U_2r + U_С. (3.33)

Падение напряжения в активном сопротивлении по фазе совпадает с током, поэтому для определения вектора U_1r нужно длину вектора тока I₁ увеличить в r₁ раз, оставив то же направление, что в комплексной форме соответствует умножению комплекса тока Ỉ₁ на сопротивление r₁ и поворотный множитель е ^j0° = 1:

Ủ_1r = Ỉ₁ r₁ е ^j0° = Ỉ₁ r₁.

Аналогично для второй ветви

Ủ_2r = Ỉ₂ r₂ е ^j0° = Ỉ₂ r₂.

Отсюда следует, что активное сопротивление в комплексной форме выражается действительным положительным числом:

r = r е ^j0° = r. (3.34)

Падение напряжения в индуктивном сопротивлении опережает ток на 90°, поэтому для определения вектора U_L нужно длину вектора I₁ увеличить в x_L раз и повернуть его в положительном направлении на 90°, что в комплексной форме соответствует умножению комплекса тока Ỉ₁ на сопротивление x_L и поворотный множитель е ^j90° = j:

Ủ_L = Ỉ₁ x_L е ^j90° = Ỉ₁ jx_L.

Падение напряжения на ёмкости отстает от тока на 90°, поэтому для определения вектора U_С нужно длину вектора I₂ увеличить в x_С раз и повернуть его в отрицательном направлении на 90°, что в комплексной форме соответствует умножению комплекса тока Ỉ₂ на сопротивление x_С и поворотный множитель е ^–j90° = –j:

Ủ_С = Ỉ₂ x_С е ^–j90° = –Ỉ₂ jx_С.

Реактивные сопротивления в комплексной форме выражаются мнимыми числами, причем индуктивное сопротивление положительно, а ёмкостное сопротивление отрицательно:

X_L = x_L е ^j90° = jx_L;

X_С = x_С е ^–j90° = – jx_С. (3.35)

Полные падения напряжения в ветвях, равные в нашем случае напряжению на зажимах цепи, найдем на основании равенств (3.33), заменив в них векторы соответствующими комплексами:

Ủ = Ủ_1r + Ủ_L = Ỉ₁ r₁ + Ỉ₁ jx_L = Ỉ₁ (r₁ + jx_L) = Ỉ₁Z₁,

Ủ = Ủ_2r + Ủ_С = Ỉ₂ r₂ – Ỉ₂ jx_С = Ỉ₂ (r₂ – jx_С) = Ỉ₂Z₂.

Комплекс полного сопротивления первой ветви (катушки)

Z₁ = r₁ + jx_L = Ủ / Ỉ₁ = Ue ^jψu./ (I₁е^–jψ1) = ze ^jφ1. (3.36)

Комплекс полного сопротивления второй ветви (конденсатора)

Z₂ = r₂ – jx_C = Ủ / Ỉ₂ = Ue ^jψu./ (I₂е^–jψ2) = ze^–jφ2. (3.37)

Таким образом, модуль полного сопротивления участка цепи с по­следовательным соединением элементов равен отношению модулей напряжения и тока этого участка:

z = U / I.

Фазовый угол равен разности начальных фаз напряжения и тока:

φ = ψ_u – ψ_i.

Полное сопротивление участка цепи в комплексной форме выражается комплексным числом, действительная часть которого равна активному сопротивлению, мнимая часть равна реактивному сопротивлению этого участка.

Лекция 16 Основные уравнения электрических цепей в комплексной форме

Представление векторов напряжений и токов комплексами, выражение сопротивлений и проводимостей комплексными числами, а также замена операций с векторами алгебраическими действиями с комплексными числами позволяют значительно упростить расчет сложных цепей переменного тока. Кроме того, применение комплексных чисел обеспечивает единство методов расчета электрических цепей постоянного и переменного тока. Это значит, что все методы расчета и вытекающие из них соотношения для цепей постоянного тока можно применить и для цепей переменного тока, если величины выражены в комплексной форме. В этом состоит практический смысл применения комплексных чисел для решения задач электротехники.

Законы Кирхгофа

Согласно первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма комплексов токов в электрическом узле равна нулю:

∑Ỉ = 0. (3.38)

Для составления уравнения в символической форме по первому закону Кирхгофа нужно выбрать условно положительные направления токов. В уравнении (3.38) ток записывается со знаком «плюс», если он направлен к узлу.

Согласно второму закону Кирхгофа, в контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексов э.д.с. источников равна алгебраической сумме комплексов падений напряжения:

∑Ė = ∑Ỉ Z. (3.39)

Для схемы рисунка 3.17

Ė₁ – Ė₂ = Ỉr₁ + Ỉjx_L + Ỉ(– jx_C) + Ỉr2.

На примере цепи смешанного соединения сопротивлений (рисунок 3.18) рассмотрим расчет методом преобразования и упрощения схемы.

Параллельно соединенные ветви, имеющие полные сопротивления

Z₂ = r₂ +jx₂;

Z₃ = r₃ – jx₃,

заменяются одной ветвью с эквивалентным сопротивлением

Z_АБ = Z₂ Z₃ / (Z₂+Z₃).

Сопротивление в неразветвленной части цепи Z₁ = r₁ +jx₁ соединено последовательно с сопротивлением Z_АБ. Общее сопротивление цепи

Z = Z₁+ Z_АБ.

Ток в неразветвленной части цепи

Ỉ₁ = Ủ / Z.

Напряжения на участках цепи

Ủ₁ = Ỉ₁Z₁, Ủ_АБ = Ỉ₁Z_АБ.

Токи в параллельных ветвях

Ỉ₂ = Ủ_АБ / Z₂, Ỉ₃ = Ủ_АБ / Z₃.

Метод узлового напряжения.

Расчет схемы с двумя узлами может быть осуществлен определением узлового напряжения по формуле

Ủ_АБ = ∑ĖY / ∑Y (3.40)

В числителе ее записывается алгебраическая сумма произведений комплекса э. д. с. и комплекса проводимости всех ветвей, а в знаменателе — сумма комплексов проводимостей ветвей.

Комплекс тока определяется по формуле

Ỉ_n = (Ė_n – Ủ_AB)Y_n. (3.41)

Правило выбора знаков э. д. с. в формулах (3.39) — (3.41) такое же, как и в цепи постоянного тока, с той лишь разницей, что условно положительные направления э. д. с. выбираются при расчете, а в цепи постоянного тока направления э. д. с. обычно заданы.

Метод эквивалентного генератора.

Порядок расчета по методу эквивалентного генератора, установленный для цепей постоянного тока, пригоден и для цепей переменного тока, если э. д. с, токи и сопротивления их выражены в комплексной форме.

Ток Ỉ_x в исследуемой ветви определяется из уравнения

Ỉ_x = Ė_э / (Z_э + Z_х)

где Ė_э — комплекс эквивалентной э. д. с, равный комплексу напряжения холостого хода активного двухполюсника при отключении исследуемой ветви;

Z_э — комплекс сопротивления пассивного двухполюсника относительно точек присоединения исследуемой ветви (комплекс внутреннего сопротивления эквивалентного генератора);

Z_x — комплекс сопротивления исследуемой ветви.

Вопросы для самоконтроля:

1 Докажите, что синусоидально изменяющиеся величины (токи, напряжения и др.) можно выражать комплексными числами.

2 Если ток задан в комплексной форме, как определить его мгновенное значение для любого момента времени?

3 Напишите в комплексной форме выражения для активного, индуктивного и емкостного сопротивлений.

4 Напишите выражения для сопротивлений и проводимостей следующих цепей: а) r, x_L при последовательном соединении; б) r, x_C при последовательном соединении; в) r, x_L, x_C при последовательном соединении.

Рекомендуемая литература:

1 Иванов И. И. Электротехника и основы электроники