Тема 8.2 Включение реактивных элементов на постоянное напряжение

Лекция 32 Включение катушки индуктивности на постоянное напряжение

После включения катушки к источнику постоянного напряжения ток в цепи (рисунок 8.1) увеличивается, но не мгновенно.

Закон изменения тока в катушке после замыкания рубильника в схеме (рисунок 8.1) можно выяснить, используя уравнение (8.1) в преобразованном виде:

di/dt = (U – и_r) / L. (8.5)

В первый момент переходного периода ток в цепи с r и L равен нулю (i₀=0).

Поэтому независимо от величины сопротивления r скорость изменения тока в начальный момент переходного периода выражается отношением величин напряжения к индуктивности:

(di/dt)₀=U/L. (8.6)

После включения цепи ток начинает увеличиваться по линейному закону с наибольшей в данных условиях скоростью.

Но так происходит лишь в начальный момент переходного периода. Как только в цепи появился ток, одновременно возникло падение напряжения ir (8.1), а индуктивное напряжение соответственно уменьшилось. Уменьшение индуктивного напряжения вызовет снижение скорости изменения тока.

Рассматриваемый переходный процесс в катушке (при постоянных значениях U, r, L) отличается тем, что с увеличением тока уменьшается скорость его изменения. По этой причине график тока (кривая i на рисунке 8.3) с течением времени всё более отклоняется от прямой i_L, которая соответствует начальной скорости переходного процесса. Прямая i_L является касательной к кривой переходного тока i реальной цепи, а наклон её к оси абсцисс характеризует наибольшую скорость изменения тока, возможную при заданных условиях. Теоретически переходный процесс продолжается бесконечно долго, а ток в цепи асимптотически стремится к установившемуся значению I = U/r, но не может его достичь за конечное время.

Если предположить, что при наличии в цепи сопротивления r ток изменялся бы по линейному закону с наибольшей скоростью (прямая i_L), то величины, равной установившемуся значению I, он достиг бы за наименьшее время t = τ. Этот промежуток времени называется постоянной времени.

Постоянную времени можно определить графически (рисунок 8.3). Для этого нужно провести касательную 0а к кривой тока в начале координат; точку а пересечения касательной с асимптотой спроектировать на ось времени. Отрезком 0а' в масштабе времени определяется постоянная времени τ.

Такую же длину имеет отрезок а'b', который можно получить, если провести касательную к кривой тока в точке a₁, найти точку b пересечения касательной с асимптотой и спроектировать точки а₁ и b на ось времени.

Из рисунка 8.3 можно получить аналитическое выражение для определения постоянной времени. Прямая 0а представляет собой график изменения тока (i_L) в идеальной катушке. Это следует из уравнения (8.5) при r=0

di/dt=U/L; di=(U/L)dt.

Отсюда

i=(U/L)t.

По графику i_L(t) при t = τ i = I. Так как U = Ir, то постоянная времени

τ=L / r. (8.7)

Уравнение кривой переходного тока в катушке после замыкания рубильника в схеме (рисунок 8.1) можно получить, используя уравнение (8.1) в таком виде:

di / (U / r – i) = (r / L) dt

В результате интегрирования обеих частей этого дифференциального уравнения получим:

ln((i – U/r) / K₂) = –rt/L

(постоянная интегрирования взята в форме ln K₂ для упрощения окончательного выражения переходного тока). После потенцирования имеем

i – U/r= K₂e^–rt/L.

Постоянная интегрирования K₂ определяется из начальных условий: согласно первому закону коммутации в начальный момент переходного периода ток в цепи равен нулю, так как он был равен нулю в последний момент до включения рубильника. Подставив в последнее равенство t = 0 и i = 0, найдем

K₂ = –U/r.

Определив K₂ из начальных условий, получим окончательное уравнение для переходного тока:

i=U/r(1–e^–rt/L)=I(1–e^–t/τ). (8.8)

Уравнению (8.8) соответствует график переходного тока (кривая i на рисунке 8.3). Переходный процесс продолжается бесконечно долго, согласно уравнению (8.8) ток принимает установившееся значение при t = ∞. В практике переходный период считается законченным по истечении времени, равном (4—5)τ, когда значение тока отличается от установившегося примерно на 1%.

Переходный ток можно рассматривать как алгебраическую сумму двух составляющих:

i = I – I e^–t/τ = i_пр + i_св

Первая составляющая представляет собой ток, установившийся в цепи по окончании переходного процесса (прямая i_пр на рисунке 8.3).

i_пр = I =U/r. (8.9)

Этот ток определяется непрерывным действием постоянного напряжения U в переходном и установившемся режимах. Он называется принужденным током.

Вторая составляющая возникает в начале переходного процесса и постепенно затухает до нуля, после чего переходный процесс считается законченным (кривая i_св на рисунке 8.3). Эта составляющая переходного тока называется свободным током. Он изменяется по закону

i_св = I e^–t/τ (8.10)

График переходного тока (рисунок 8.3) можно получить сложением графиков принужденного и свободного токов.

Одновременно с увеличением тока происходит процесс постепенного изменения (в данном случае накопления) энергии W_м = Li²/2 в магнитном поле.

Переходный процесс при включении цепи с r и L на постоянное напряжение U характеризуют три показателя: установившийся ток, начальная скорость изменения тока, постоянная времени цепи:

I =U/r, (di/dt)₀=U/L, τ=L/r.

Используя эти выражения, можно проследить влияние величины напряжения источника и параметров цепи на переходный процесс (рисунки 8.4 – 8.6).

На рисунке 8.4 графики установившегося тока проведены на разном уровне, а касательные к кривой тока наклонены к оси времени под разными углами. При этом значение постоянной времени не изменилось (τ₁ = τ₂).

При изменении сопротивления r в цепи изменяются установившийся ток и постоянная времени. Начальная скорость изменения тока от сопротивления r не зависит. На рисунке 8.5 проведены две асимптоты (I₁ и I₂) и одна общая касательная к графикам переходного тока в начале координат (di₁/dt)₀=(di₂/dt)₀.

Р исунок 8.5 – Графики переходного Рисунок 8.6 – Графики переходного тока

тока при различных сопротивлениях при различных индуктивностях цепи.

цепи.

Изменение индуктивности не сказывается на величине установившегося тока, но начальная скорость изменения тока и постоянная времени изменяются. Поэтому на рисунке 8.6 проведены одна (общая) асимптота и две касательные в начале координат к графикам переходного тока. Касательные пересекают асимптоту в двух точках и отмечают величины постоянных времени τ₁ и τ₂, соответствующих двум значениям индуктивности цепи.

В данном случае переходные токи стремятся к одинаковой установившейся величине с разной скоростью, поэтому продолжительность переходного процесса неодинакова.

Вопросы для самоконтроля:

1. Выведите зависимость тока от времени в переходный период после подключения цепи r, L к источнику постоянного напряжения.

2. Что такое постоянная времени электрической цепи? Как она определяется для цепи с активным сопротивлением и катушкой?

3. В чём состоит физическая сущность установившихся и свободных токов и напряжений?

4. Почему разложение переходного тока на установившийся и свободный токи можно применить только для линейной цепи?

Рекомендуемая литература:

1 Евдокимов Ф. Е. Теоретические основы электротехники, с. 455 – 460.