Тема 7.2 Действующее значение несинусоидального тока и мощность цепи

Лекция 30 Действующее значение несинусоидального тока. Мощность в электрической цепи при несинусоидальном токе

При расчете электрических цепей с несинусоидальными токами и напряжениями определяют величины токов, напряжений и мощности.

При этом применяют понятие о действующих значениях несинусоидальных токов и напряжений.

Действующее значение синусоидального переменного тока численно равно такому постоянному току, при котором выделяется столько же тепла, сколько его выделяется при переменном токе в одном и том же резисторе за одинаковое время, равное одному периоду Т. Аналогично определяется действующее значение переменного несинусоидального тока.

При этом нужно учесть, что несинусоидальный ток складывается из постоянной составляющей и ряда синусоидальных гармоник:

i = I₀ + i₁ + i₂ + i₃ + … =

= I₀ + I_1msin(ωt + ψ₁)+ I_2msin(2ωt + ψ₂)+ I_3msin(3ωt + ψ₃)+… (7.10)

Общее количество тепла, которое выделяется при несинусоидальном токе в некотором элементе цепи с сопротивлением R в течение одного периода Т, будет равно сумме количеств тепла от всех его составляющих. В данном случае предполагается, что сопротивление R не зависит от частоты, т. е. поверхностный эффект не учитывается

Q = Q₀ + ∑ Q_k (7.11)

где Q — тепло, выделяемое за один период Т при несинусоидальном токе, действующее значение которого равно I: Q = I²RT;

Q₀ — тепло, выделяемое за то же время при токе, равном постоянной составляющей: Q₀ = I₀²RT.

За время периода T_k при токе, равном k-й составляющей, выделяется тепло

где I_k — действующее значение тока k-й гармоники.

За время, равное периоду основной гармоники, выделится в k раз больше тепла:

Q_k=kQ'_k = I_k²RkT_k = I_k²RT.

После подстановки в (7.11) получим

I²RT = I₀²RT + I₁²RT + I₂²RT +...+ I_k²RT (7.12)

или

I² = I₀² + I₁² + I₂² +...+ I_k².

Отсюда следует, что действующее значение несинусоидального тока является средней квадратичной из постоянной составляющей и действующих значений синусоидальных составляющих этого тока:

. (7.13)

Аналогичное выражение можно получить и для действующего значения несинусоидального напряжения:

(7.14)

Действующие значения несинусоидальных токов и напряжений измеряются электроизмерительными приборами тепловой, электромагнитной и электродинамической систем.

Несинусоидальные периодические кривые характеризуются коэффициентами амплитуды, формы и искажения.

Коэффициент искажения равен отношению действующих значений основной гармоники и всей функции:

k_и = А₁ / А. (7.15)

Для синусоиды k_и = 1. Для треугольной формы кривой k_и ≈ 0,99, а для прямоугольной формы k_и ≈ 0,9.

Выражение (7.12) даёт основание для определения активной (средней за период Т) мощности в цепи при несинусоидальном токе.

Слагаемые в правой части этого выражения определяют энергию, соответствующую каждой составляющей тока и выделяемую в цепи за время Т.

После сокращения на Т получим уравнение активных мощностей:

I²R = I₀²R + I₁²R + I₂²R +...+ I_k²R (7.16)

или

P = P₀ + P₁ + P₂ + ... + P_k. (7.17)

Активная мощность в цепи несинусоидального тока равна сумме активных мощностей, соответствующих постоянной составляющей и отдельным гармоникам. Этот вывод распространяется на любые цепи (линейные и нелинейные), так как формулу (7.17) можно получить из общего определения активной мощности как среднего значения мощности за период:

(7.18)

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое действующее значение переменного синусоидального тока?

2. На основе определения действующего значения синусоидального тока сформулируйте определение действующего значения несинусоидального тока.

3. Докажите, что действующее значение несинусоидального тока (напряже­ния) является средней квадратичной из постоянной составляющей и действующих значений синусоидальных составляющих.

4. Что называется коэффициентом формы, коэффициентом амплитуды, коэф­фициентом искажения несинусоидальной кривой?

Рекомендуемая литература:

1 Евдокимов Ф. Е. Теоретические основы электротехники, с. 403 – 405.