7 Электрические цепи с несинусоидальными напряжениями и токами

Тема 7.1 Несинусоидальные напряжения, токи и их выражение

Лекция 28 Ряды Фурье. Коэффициенты ряда Фурье

В электрической цепи с линейными элементами несинусоидальный ток возникает, если в ней действует несинусоидальное напряжение (э. д. с).

Несинусоидальный ток и напряжение на отдельных участках цепи появляются и при синусоидальном напряжении источника, когда в цепи имеются элементы с нелинейной вольт-амперной характеристикой.

Ток в катушке с ферромагнитным сердечником получается несинусоидальным вследствие нелинейной зависимости между магнитным потоком и намагничивающим током.

Несинусоидальные периодические функции, так же как и синусоидальные, наглядно изображаются в виде графиков. Для расчетов требуются аналитические выражения несинусоидальных функций.

Аналитическое выражение несинусоидальной периодической функции осуществляется с помощью теоремы Фурье, согласно которой любая периодическая функция у (ωt) может быть представлена в виде суммы ряда составляющих, из которых одна составляющая постоянная, а другие являются синусоидальными функциями с кратными частотами (гармониками):

у= А₀ + А₁ sin(ωt + ψ₁) + А₂ sin (2ωt + ψ₂) +

+ А₃ sin (3ωt + ψ₃) + ... + А_k sin (kωt + ψ_k), (7.1)

где А₀ — постоянная составляющая;

А₁, А₂, А₃, A_k — амплитуды гармонических составляющих;

ψ₁, ψ₂, ψ₃, ψ_k, — начальные фазы гармоник.

Первая гармоническая составляющая имеет период, равный периоду несинусоидальной кривой у (ωt). Она называется первой или основной гармоникой.

Все другие гармонические составляющие имеют частоты, в целое число раз большие частоты первой гармоники. Эти гармоники называют высшими. На рисунке 7.1, а, б, в показаны несинусоидальные э. д. с, содержащие две синусоидальные составляющие — первую и третью — при различной величине начальной фазы третьей гармоники:

а) е = е₁ + е₃ = Е_1m sinωt + E_3msin3ωt;

б) e = e₁ + e₃ = Е_1m sinωt + E_3msin(3ωt – 180°);

в) e = e₁ + e₃ = Е_1m sinωt + E_3msin(3ωt – ψ₃).

Выражение (7.1) можно преобразовать, применив тригонометрическую формулу синуса суммы двух углов:

A_k sin (kωt + ψ_k) = A_k sin kωt cos ψ_k + A_k cos kωt sin ψ_k.

Обозначив постоянные величины

A_k cos ψ_k = B_k, A_k sin ψ_k = C_k,

получим

A_k sin (kωt + ψ_k) = B_k sin kωt + C_k cos kωt.

Применяя подобную запись ко всем гармоническим составляющим, несинусоидальную функцию можно выразить так:

y = A₀ + B₁ sin ωt + B₂ sin 2ωt + В₃ sin 3ωt + … +B_k sin kωt +

+ С₁ cos ωt + C₂ cos 2ωt + C₃ cos 3 ωt + ... + C_k cos kωt. (7.2)

Особенность такой записи состоит в том, что гармоники составляют ряд синусов и ряд косинусов с нулевыми начальными фазами.

Коэффициенты ряда Фурье

Обратный переход от ряда (7.2) к ряду (7.1) нетрудно сделать, определив

tg ψ_k = C_k / B_k. (7.3)

При определении угла ψ_k нужно учитывать порознь знаки C_k и B_k, так как от них зависит величина угла. Например, при положительных C_k и B_k их отношение положительно, а угол лежит в первой четверти, при отрицательных C_k и B_k их отношение тоже положительно, но угол находится в третьей четверти.

При построении синусоид по оси абсцисс нужно откладывать начальную фазу k-й гармоники, пересчитав её на масштаб основной гармоники, т. е. вместо ψ_k отложить ψ_k / k.

Это следует из того, что градуировка оси абсцисс дается в масштабе первой гармоники, поэтому на отрезке ωt = 2π укладывается k полных циклов, k-й гармоники.

Коэффициенты А₀, В_k, C_k ряда (7.2) определяются при помощи следующих формул:

(7.4)

(7.5)

(7.6)

Если закон изменения ординат несинусоидальной кривой можно выразить в виде уравнения, то выражения (7.4) — (7.6) позволяют в большинстве случаев выполнить аналитически разложение её в тригонометрический ряд вида (7.2) и далее, если нужно, перейти к ряду (7.1). Постоянная составляющая, как видно из формулы (7.4), является средним значением функции за её период.

Таким образом, постоянная составляющая в тригонометрическом ряду отсутствует, если среднее за период значение функции равно нулю.

Лекция 29 Графо-аналитический метод определения коэффициентов ряда Фурье

Коэффициенты ряда (7.2) можно определить графо-аналитическим методом, который даёт приближенные значения коэффициентов, но зато является более общим, так как не требует аналитического выражения разлагаемой в ряд функции.

Периодическая кривая вычерчивается на графике (рисунок 7.2). На протяжении отрезка, соответствующего периоду, на равных расстояниях ∆ωt друг от друга проводятся ординаты кривой.

Коэффициент А₀ — постоянная составляющая — определяется приближенным выражением

(7.7)

где ∑у — алгебраическая сумма всех ординат, взятая за период;

т — число ординат.

Выражение (7.7) следует из основного (7.4):

так как

∆ωt = 2π/m.

Результат определения А₀ тем точнее, чем меньше будет взят интервал ∆ωt между ординатами.

Аналогично определяются коэффициенты B_k и C_k на основании выражений (7.5) и (7.6):

(7.8)

(7.9)

Вопросы для самоконтроля:

1. Назовите причины возникновения несинусоидальных токов и напряжений в электрических цепях.

2. Напишите общие выражения несинусоидальной функции в виде тригоно­метрических рядов.

3. Что такое постоянная составляющая несинусоидального тока, напряжения?

4. Как аналитически определяется постоянная составляющая?

5. Какая гармоническая составляющая несинусоидальной функции называется основной?

6. Напишите формулы для определения коэффициентов тригонометрического ряда.

Рекомендуемая литература:

1 Евдокимов Ф. Е. Теоретические основы электротехники, с. 393 – 397.