Методические указания к расчету индивидуального домашнего задания № 5.

Методы расчета переходных процессов подробно изложены в [1,2].

Допустим, что четырехзначный номер задания соответствует следующей схеме из списка на рис.1 и ее параметрам из таблицы №1 (рис.3). Необходимо определить напряжение переходного процесса .

L	R	J	α
Гн	Ом	А	град
0.5	30	4	60

а) Расчёт переходного процесса в цепи первого порядка классическим методом при постоянном источнике j(t)=J.

1. Запишем выражение для напряжения переходного процесса в цепи первого порядка: .

2. Определяем ННУ: , поскольку до коммутации ключ К был замкнут.

3. Для определения ЗНУ в момент времени при разомкнутом ключе К рисуем схему, в которой заменяем индуктивность на источник тока с величиной (рис.4).

4. С учетом того, что , получим

5. Принужденная составляющая соответствует значению напряжения в установившемся режиме после окончания переходного процесса, когда для постоянного тока J сопротивление индуктивности равно нулю.

6. Корень характеристического уравнения определим из схемы на рис.5, которая получается путем замены на . Ветвь с источником тока, имеющем бесконечно большое сопротивление убирается, а оставшаяся схема размыкается в любом месте. Относительно точек разрыва определяется сопротивление , из которого определяют корень характеристического сопротивления.

, отсюда

7. Постоянную интегрирования А в выражении для свободной составляющей найдем из начальных условий. При получим , отсюда

8. Записываем окончательный результат:

,

где - постоянная времени переходного процесса.

Для расчета переходного процесса операторным методом составляется операторная схема замещения для цепи после коммутации, которая содержит изображения элементов обычной схемы. Метод основан на представлении интегралов и производных по времени алгебраическими функциями. Основы метода подробно изложены в [1,2], там же можно найти примеры прямого и обратного преобразований большинства используемых функций.

Изображения основных элементов цепи в операторной форме приведены в табл. №2.

Таблица №2

Элемент	Операторное изобра-жение элемента	Взаимосвязь напряжений и токов
		Резистор: Емкость:
		Индуктивность:
		Источник ЭДС: Определяется видом функции. Для , . Аналогично для источника тока.

На рис.6 показана операторная схема замещения исследуемой цепи после коммутации.

По закону Ома , так как , то по правилу разброса , окончательно получим:

.

По теореме разложения:

1. , отсюда 1/с;

2. ;

3. 

Построим график на интервале 0 < t < 4, где  = 0.011 с.

График напряжения переходного процесса, построенный с помощью программы Mathcad, показан на рис.7.

Рис.7. График напряжения переходного процесса

б) Интеграл Дюамеля применяют для расчёта тока или напряжения в ветвях схемы с нулевыми начальными условиями при действии единственного источника ЭДС или тока произвольной формы.

Наиболее распространённая форма записи:

,

Где: – ток или напряжение, – начальное значение входного воздействия, h(t) – переходная характеристика,

– переходная характеристика с учетом запаздывания,

– переменная интегрирования (время запаздывания), – производная от входного воздействия – ЭДС или тока источника.

Переходная характеристика – это реакция линейной пассивной цепи в виде тока или напряжения переходного процесса на воздействие единичной функции, т. е. на подключение ее к источнику постоянного напряжения или постоянного тока единичной величины или при нулевых начальных условиях , . Переходная характеристика определяется классическим или операторным методом.

Порядок расчёта переходных процессов методом интеграла Дюамеля:

1. Классическим или операторным методом находят переходную характеристику .

2. Определяют запаздывающую переходную характеристику путем замены на .

3. Вычисляют производную по времени от входного воздействия – напряжения (тока) источника.

4. Записывают интеграл Дюамеля с момента времени t = 0 до заданного t. При этом учитывают возможные скачки напряжения (тока) в начале и конце каждого интервала изменения входного сигнала.

Расчет переходного процесса в цепи первого порядка методом интеграла Дюамеля при воздействии прямоугольного импульса тока (рис.2.а) длительностью t₁ = 3.

1. Переходная характеристика h(t). Поскольку ранее переходный процесс рассматривался при включении источника постоянного тока , а полученное выходное напряжение равнялось B, то при включении источника тока величиной 1 А получим переходную характеристику:

.

2. Запаздывающая переходная характеристика:

3. Для интервала времени , интеграл Дюамеля запишется

,

поскольку , поэтому

где - постоянная времени переходного процесса,

4. Для интервала времени получим

,

где - значение тока после скачка в момент времени ;

- переходная характеристика, учитывающая время запаздывания скачка источника тока.

Окончательно получим:

График этой функции, построенный с помощью программы Mathcad, представлен на рис.8.

Рис.8. График напряжения переходного процесса

Расчет переходного процесса в цепи первого порядка методом интеграла Дюамеля при воздействии импульса тока сложной формы (рис.2.б) длительностью t₁ = 3.

1. Запишем график тока J(t) в интервале , который является отрезком прямой, ограниченной точками (0, J(0)) и (t₁, 0). Уравнение прямой, проходящей через эти точки

2. , где

3. Определим производную тока

4. Переходная характеристика , запаздывающая переходная характеристика

5. Записываем интеграл Дюамеля для интервала

6. Записываем интеграл Дюамеля для интервала t > t₁.

При t > t₁ J(t) = 0, поэтому U(t) не будет содержать дополнительных

составляющих, а в интеграле меняется верхний предел t на t₁.

График U(t) для данного случая приведен на рис.9.

Рис.9. График напряжения переходного процесса

в) Расчет переходного процесса в цепи первого порядка классическим методом при гармоническом источнике: на интервале времени .

1. Определяем угловую частоту из условия ;

;

2. Запишем выражение для напряжения переходного процесса в цепи первого порядка: ;

3. Определяем ННУ: , поскольку до коммутации ;

4. Для определения ЗНУ в момент времени рисуем схему, в которой заменяем индуктивность на источник тока с величиной , определяем также (рис.10)

С учетом того, что , получим ;

5. Расчет принужденной составляющей ведем с помощью комплексной схемы замещения цепи после коммутации для амплитудных значений (рис.11)

По правилу разброса:

.

Тогда

Мгновенное значение напряжения

В момент времени получим

6. Корень характеристического уравнения такой же, как и для схемы,

изображенной на рис.19: , постоянная времени

7. Постоянную интегрирования А в выражении для свободной составляющей найдем из начальных условий. При получим: , отсюда

9. Записываем окончательный результат:

Период синусоиды .

График напряжения переходного процесса представлен на рис.12.

Рис.12. График напряжения переходного процесса