Сухарев / Семинары_1_11

в пределах 0 < x < l,это ж дифференциальное уравнение.Тогда выходит,что

u00(x) = const u(x)

при всех 0 < x < l.То есть отношение u00(x)/u(x) вовсе не зависит от x.

Ну а теперь выберем какое-нибудь значение x = x из интервала (0, l) и подставим его в дифференциальное уравнение.А значение переменной t разморозим .Тогда правая часть дифференциального уравнения станет постоянной.Нетрудно догадаться,что это та же самая постоянная,что и прежде,ведь мы рассматриваем частный

случай x = x .

Поскольку теперь значение переменной t можно менять как угодно(лишь бы было 0 < t),то получается,что

при всех t > 0.Значит,вся эта конструкция на самом деле не зависит от переменной t.И равна прежней постоянной.

Обозначим эту постоянную символом −λ,тогда получается не одно,а сразу два равенства(по числу знаков равно )

Можно видеть,что выписанное двойное равенство распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения

u00(x) + λu(x) = 0, 0 < x < l,

T 00(t) + 2βT 0(t) + (β2 + a2λ)T (t) = 0, 0 < t,

из которых можно найти функциональный вид u(x) и T (t).Но это мы сделаем чуть позже,а пока зададимся следующим вопросом: нельзя ли еще добиться выполнения дополнительных условий задачи?А то пока i(x, t) = T (t)u(x) это всего лишь частное решение дифференциального уравнения,и только.

Подставим произведение i(x, t) = T (t)u(x) в граничные условия, тогда получится

i(0, t) = T (t)u(0) = 0, i(l, t) = T (t)u(l) = 0.

5

Если выбрать T (t) 0,то эти условия будут выполнены.Но тогда получится тривиальное частное решение i(x, t) 0,которое совершенно бесполезно при решении задачи о колебаниях.

Если же выбрать u(0) = 0 и u(l) = 0,то функция T (t) может оставаться какой угодно.А граничные условия будут выполнены. Но тогда для определения функции u(x) выходит задача

u00(x) + λu(x) = 0, 0 < x < l, u(0) = 0, u(l) = 0.

Вам эта задача хорошо знакома,это же простейшая из задач Штурма Лиувилля.Мы даже ее решение уже знаем

p p n

un(x) = sin λnx, λn = l , n = 1, 2, . . .

Ну хорошо,а можно ли той же самой подстановкой i(x, t) = T (t)u(x) добиться выполнения еще и начальных условий?Пробуем, получится

i(x, 0) = T (0)u(x) = I(x), it(x, 0) = T 0(0)u(x) = −EL0 δ(x − x0).

Здесь T (0) и T 0(0) это просто постоянные.Для наглядности два предыдущих равенства можно переписать в виде

E0

u(x) = T (0), u(x) = −LT 0(0)δ(x − x0).

Даже если забыть,что u(x) мы уже нашли(это синусы),формально получаются два уравнения относительно одной неизвестной. То есть у этой системы решений нет и не предвидится.В общем, с начальными условиями полный облом.Подстановка i(x, t) = T (t)u(x) позволяет добиться выполнения граничных условий задачи,но не удовлетворяет начальным условиям.

То есть для определения второго множителя T (t) из частного решения i(x, t) задачу поставить невозможно.Так устроен метод Фурье.Для одного множителя выходит задача на собственные значения,а для второго только обыкновенное дифференциальное уравнение.

Строго говоря,в некоторых задачах на метод Фурье задачу для функции T (t) поставить можно,но лишь при помощи искусственного приема.Так что лучше думать,что это никогда нельзя.

6

Поскольку при λ 6= λn задача Штурма Лиувилля имеет лишь тривиальные решения,уравнение для функции T (t) имеет смысл решать лишь при λ = λn.Просто иначе вы опять получите совершенно бесполезные тривиальные частные решения i(x, t) = 0.Поэтому сразу имеет смысл ввести индекс n у функции T (t).Тогда мы получим бесконечную цепочку дифференциальных уравнений

Tn00(t) + 2βTn0 (t) + (β2 + a2λn)Tn(t) = 0, 0 < t, n = 1, 2, . . . ,

и нам еще крупно повезло,что все эти уравнения выглядят одинаково.Общие решения всех этих уравнений имеют вид

p p

Tn(t) = e−βt An cos a λnt + Bn sin a λnt ,

где An и Bn произвольные постоянные.

Следовательно,мы нашли все возможные частные решения дифференциального уравнения в виде произведения T (t)u(x)

p p p in(x, t) = Tn(t)un(x) = e−βt An cos a λnt + Bn sin a λnt sin λnx,

удовлетворяющие граничным условиям задачи,но не удовлетворяющие начальным условиям.

Отсюда совершенно понятно,почему в собственных функциях можно множитель выбирать как угодно.Вот если бы мы оставили, скажем, Cn перед синусом,тогда бы получилось

p p p in(x, t) = e−βt An cos a λnt + Bn sin a λnt Cn sin λnx,

то есть все равно вышло бы две(а вовсе не три)произвольных постоянных AnCn и BnCn.Просто в этой записи больше букв,а смысла ровно столько же.Поэтому предыдущий вариант предпочтительнее.

Напоминаю,что к решению исходной задачи мы пока еще не пришли из-за проблемы с начальными условиями.И если рассматривать полученные частные решения уравнения по отдельности,проблема эта неразрешима.Поэтому Фурье предложил рассматривать всю совокупность частных решений сразу,то есть работать с суммой ряда

7

Каждый член этого ряда есть решение исходного дифференциального уравнения.Значит,в силу принципа суперпозиции для линейных уравнений и вся сумма целиком тоже будет решением того же самого уравнения.

Каждый член этого ряда удовлетворяет граничным условиям задачи.То есть попросту равен нулю в точках x = 0 и x = l. Но сумма нулей это же снова нуль.Так что и сумма ряда тоже будет удовлетворять тем же самым граничным условиям.

Для того,чтобы рассматриваемая сумма превратилась в решение исходной задачи,нужно,чтобы она удовлетворяла еще и начальным условиям.Возможно ли это,ведь каждый член ряда по отдельности начальным условиям не удовлетворяет?А подставим t = 0 и посмотрим.Тогда первое начальное условие превратится в равенство

X1 p

An sin λnx = I(x),

n=1

которое есть не что иное,как ряд Фурье для функции I(x) по синусам.С коэффициентами An.Можно ли разложить функцию I(x) в ряд Фурье?Да раз плюнуть.Все,что угодно можно разложить в ряд Фурье(особенно если не заморачиваться этими вашими равномерными сходимостями).

Второе начальное условие превратится в равенство

X1 (apλnBn − βAn) sin pλnx = −EL0 δ(x − x0).

n=1

То есть это разложение дельта-функции Дирака в ряд Фурье по синусам с коэффициентами apλnBn − βAn.

Таким образом,целое(то есть сумма целиком)приобретает свойства,которыми не обладают части этого целого(то есть отдельные члены ряда).Сумма ряда удовлетворяет начальным условиям задачи,а потому является решением этой задачи.

Итак,решение задачи представляется в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма Лиувилля

Осталось найти лишь коэффициенты этого ряда.

8

Выпишем еще раз первое начальное условие

X1 p

i(x, 0) = An sin λnx = I(x).

n=1

С точки зрения школьной математики ситуация неразрешима.Одно уравнение(потому что знак равно один)и бесконечно много неизвестных.

Собственные функции задачи Штурма Лиувилля обладают свойством ортогональности,т.е.

Z l

un(x)um(x) (x) dx = 0, n 6= m.

0

В интересующей нас задаче вес (x) равен единице,поэтому здесь его можно не писать.Но в общем случае без весовой функции ортогональности нет,помните об этом.Так что я вес пока оставлю,хоть он и единичный.

Если n = m,предыдущий интеграл становится квадратом нормы собственной функции.Для имеющейся у нас задачи Штурма Лиувилля квадрат нормы уже сосчитан,это l/2.Поэтому

Здесь δnm это дельта-символ Кронекера.Он равен единице,когда n = m,и нулю,если n 6= m.

Используем свойство ортогональности собственных функций.Но чтобы воспользоваться предыдущей формулой,ее сначала нужно как-нибудь организовать.Одна собственная функция уже в начальном условии есть.Значит,надо это условие умножить еще на одну собственную функцию,еще все надо умножить на вес(если его в сумме нет),после чего проинтегрировать все по x в пределах от нуля до l.

n=1

Обратите внимание,что в этом равенстве индексы n и m имеют принципиально разный смысл.Индекс n это счетчик,переменная в сумме.Это число пробегает в рамках суммы все значения от

9

единицы до бесконечности.То есть формально n не имеет никакого определенного значения в отрыве от суммы(это как локальная переменная в программировании).Примерно как какой-нибудь dx в определенном интеграле.Чему равен это dx?А хрен его знает,ничему он не равен.Так и здесь.

Индекс m это вполне определенное,фиксированное число.Например,семь.Да,это число может быть любым из перечня 1, 2, 3, . . .

Но фиксированным,в отличие от n.Число m имеет вполне определенное значение(как глобальная переменная в программировании).

Умножить сумму на un(x) невозможно.Именно потому,что n не имеет определенного значения.Поэтому,пока есть формула с суммой,не путайте n и m.Это принципиально разные вещи.

Ну ладно,умножили,теперь добавляем вес и интегрируем

Интеграл от суммы равен сумме интегралов.Правда,для этого ряд должен сходиться равномерно,а каждый член ряда должен быть непрерывной функцией.Но это в классическом матанализе.Если мы имеем дело с обобщенными функциями,равномерной сходимости всюду гарантировать уже нельзя,но хоть какая-нибудь сходимость будет.То есть хоть в каком-нибудь смысле решение получится.Так что пусть математики доказывают свои теоремы,а мы просто возьмем и поменяем местами символы интеграла и суммы

Ну все,можно воспользоваться свойством ортогональности собственных функций,тогда

Почему так вышло,надеюсь,понятно.Сработал дельта-символ Кронекера.У него(в сумме)первый индекс пробегает по очереди все значения,в том числе и m.Но тогда все члены ряда с n 6= m превращаются в нуль.Ненулевым остается лишь одно слагаемое с n = m, поэтому значок суммы более не нужен.Сумма нулей это ж нуль, зачем его писать.

10

Квадрат нормы собственной функции нулю никогда не равен,так что на него можно разделить.Поэтому мы получаем выражение для коэффициента ряда Фурье в виде

Полученная формула символа суммы уже не содержит,так что можно(чисто для красоты)поменять в ней m на n.Т.к.суммы нет,то конкретное обозначение индекса роли не играет.А вот пока сумма была,такого переобозначения сделать было нельзя.Итак,

Давайте досчитаем этот коэффициент после,а пока воспользуемся вторым начальным условием

X1 (apλnBn − βAn)un(x) = −EL0 δ(x − x0).

n=1

Поступим с этим условием ровно тем же самым способом:умножим на собственную функцию um(x) и вес,после чего проинтегрируем.Получится

−E0 Z l δ(x − x0)um(x) (x) dx = (apλmBm − βAm)kum(x)k2. L 0

Отсюда находим(после переобозначения)

То есть для каждого числа n мы получили систему двух линейных алгебраических уравнений относительно двух неизвестных, An и Bn.Осталось взять интегралы и решить эту систему.

Начнем с первого уравнения,содержащего только An.Поскольку в задаче (x) = 1,больше для краткости его не пишем.Тогда

11

Вот совсем неохота этот интеграл считать.А и не надо!Вспомним про самосопряженность оператора задачи Штурма Лиувилля.А также про то,что I(0) = 0 и I(l) = 0.То есть функция I(x) относится к области определения оператора задачи Штурма Лиувилля. Поэтому можно реализовать алгоритм с прошлого семинара.Реализуем:

Интегралы в самом начале вычисления и в самом конце отличаются лишь множителем,так что полученное равенство позволяет найти величину интеграла,не вычисляя его.Тогда

Вспомним теперь про второе уравнение системы(с Bn).Из него находим

12

Теперь мы уже можем записать ответ задачи.Если я нигде не наврал,то

Но это всего лишь ток.А еще надо найти потенциал.Ставим задачу:

Ищем все возможные частные решения дифференциального уравнения в виде произведения v(x, t) = T (t)u(x).Здесь T (t) и u(x) новые функции,а вовсе не то,что мы нашли раньше.Просто разных букв не так уж и много,приходится все время использовать одни и те же.

Алгоритм прежний:подставляем произведение в уравнение,делим переменные,находим обыкновенные дифференциальные уравнения для u(x) и T (x).Затем подставляем произведение в граничные условия и находим условия на функцию u(x).В начальные условия произведение подставлять бессмысленно,все равно ничего путного не выйдет.

Для функции u(x) должна получиться следующая задача Штурма Лиувилля

u00(x) + λu(x) = 0, 0 < x < l, u0(0) = 0, u0(l) = 0.

Решение этой задачи нам уже известно,

Уравнение на функцию Tn(t) выйдет таким же,как и ранее,

Tn00(t) + 2βTn0 (t) + (β2 + a2λn)Tn(t) = 0, 0 < t, n = 1, 2, . . . ,

13

но лишь в случае λ > 0.При λ0 = 0 получится немного другое уравнение

T000(t) + 2βT00(t) + β2T0(t) = 0, 0 < t.

Поэтому при n = 1, 2, . . . будет

p p

Tn(t) = e−βt An cos a λnt + Bn sin a λnt ,

а при n = 0 получится

T0(t) = e−βt(A0 + B0t).

Составляем теперь ряд из всех найденных частных решений,это и будет решение исходной задачи

Для поиска коэффициентов ряда подставляем его по очереди в начальные условия.Из первого начального условия

В самом деле, A0 = A0 · 1,т.е. A0 = A0u0(x).А потому это отдельное слагаемое отлично запихивается под знак суммы.

Используем ортогональность собственных функций задачи Штурма Лиувилля(ровно так же,как и раньше,только теперь собственные функции другие),тогда

Формула годится для всех коэффициентов,но A0 все равно придется считать отдельно.Хотя бы потому,что квадрат нормы функции u0(x) отличается от всех прочих.А также потому,что использование свойства самосопряженности,как вы видели,включает деление

14