Сухарев / Семинары_1_11

Интеграл в левой части равенства равен нулю по свойству самосопряженности оператора L,разность же λ − µ нулю не равна. Значит,должно быть

Z l

u(x)v(x) dx = 0.

0

Это свойство называют свойством ортогональности собственных функций.

Если рассматривать более общую задачу Штурма Лиувилля (когда (x) 6= 1),тогда свойство ортогональности собственных функций принимает вид

Z b

u(x)v(x) (x) dx = 0,

a

т.е.интеграл(с весом)от произведения собственных функций,соответствующих различным собственным значениям,равен нулю.

Итак,еще даже не приступив к решению задачи Штурма Лиувилля,мы много чего уже знаем о свойствах ее решений.Вычислим еще интеграл

Z l Z l

L[u]u dx = λ u2 dx = λkuk2,

0 0

предполагая u(x) собственной функцией.Интегрируя по частям,находим

Поскольку квадрат нормы собственной функции величина всегда положительная,на нее можно разделить.Тогда для любого собственного значения получается выражение

λ = k 1k2 Z l(u0)2 dx > 0. u 0

6

Этот результат справедлив и для всех прочих задач Штурма Лиувилля,т.е.собственные значения задачи Штурма Лиувилля всегда неотрицательны.А вот для задач,отличных от задачи Штурма Лиувилля,это в общем случае не так.То есть возможно появление отрицательных собственных значений.

Хватит свойств,ищем уже решение.Отрицательных λ точно нет, значит остаются две возможности: λ = 0 и λ > 0.

Проверяем возможность λ = 0.Тогда уравнение Штурма упрощается до

u00 = 0.

Его общим решением будет u(x) = Ax+B,где A и B произвольные постоянные.Подставляем общее решение в левое граничное условие:

u(0) = B = 0.

Постоянную B нашли,т.е.пока u(x) = Ax.Подставим это в правое граничное условие,тогда

u(l) = Al = 0.

Поскольку l 6= 0,то должно быть A = 0.Значит,вышло u(x) = 0, т.е.тривиальное решение.

Тривиальное решение не может быть собственной функцией.Следовательно,в данном случае λ = 0 не может быть собственным значением задачи Штурма Лиувилля.

Осталось выяснить,что будет в случае λ > 0.Тогда уравнение Штурма имеет вид

u00 + λu = 0.

Это обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.Значит,его частные решения надо искать в виде экспонент eγx.Подставив эту экспоненту в уравнение Штурма, находим

γ2eγx + λeγx = 0,

откуда γ = ±p−λ.

Следовательно,общим решением уравнения Штурма будет

pp

u(x) = C1e −λx + C2e− −λx,

7

где C1 и C2 произвольные постоянные.

Хреновое какое-то вышло решение.Комплекснозначное потому что,ведь при λ > 0 будет p−λ = ipλ.

Но если вспомнить формулу Эйлера ei = cos + i sin ,то это же общее решение можно переписать в виде

pp

u(x) = A cos λx + B sin λx,

спрятав мнимые единицы в постоянные A и B.Все равно мы эти константы пока не знаем.Так все выглядит несколько симпатичнее.

Подставляем найденное решение в левое граничное условие,то-

гда

u(0) = A = 0.

То есть пока осталось u(x) = B sin pλx.Подставим это в правое граничное условие:

p

u(l) = B sin λl = 0.

Если взять B = 0,опять выйдет тривиальное решение.Но можно потребовать

p

sin λl = 0.

Это равенство будет выполнено,если выбрать pλ = n/l,где n любое целое число.Но n = 0 не годится,мы же уже рассмотрели случай λ = 0.Вариант n < 0 выбрать можно,но обычно из двух ветвей многозначной функции px выбирают ту,для которой корень из положительного числа есть число положительное.А не отрицательное.Впрочем,это дело вкуса.

Тогда выходит,что n = 1, 2, 3, . . . Собственные значения принято нумеровать тем же индексом n,тогда

Таким образом,мы нашли бесконечно много собственных значений задачи.Замечу,что и в любой задаче Штурма Лиувилля получается бесконечно много собственных значений.

Решения,то есть собственные функции,отвечающие этим собственным значениям:

p nx

un(x) = Bn sin λnx = Bn sin l , n = 1, 2, . . .

8

Постоянные Bn определить не удалось не хватает данных.То есть при указанных собственных значениях задача Штурма Лиувилля имеет бесконечно много решений.Правда,все они линейно зависимы между собой.Поэтому часто говорят,что собственные функции определены с точностью до произвольного постоянного множителя.Число Bn и есть этот множитель.

При записи ответа оставлять произвольные количества не принято.Поэтому коэффициент Bn выбирают равным чему-нибудь конкретному.Можно взять,например, Bn = 1/n.Или Bn = 1/100500. Но почему то обычно выбирают Bn = 1 для всех n (хоть это совершенно и не обязательно).

Итак,ответом решенной нами задачи Штурма Лиувилля будет

Сосчитаем еще квадрат нормы собственной функции un(x)

Если у вас математической физики не было,решите еще задачу Штурма Лиувилля

u00(x) + λu(x) = 0, 0 < x < l, u0(0) = 0, u0(l) = 0.

Ответом здесь будет

Обратите внимание,что здесь λ = 0 будет собственным значением(в отличие от предыдущей задачи).Если об этом забыть,задача решена не будет.

Рассмотрим задачку посложнее

u00(x) + λu(x) = 0, 0 < x < l,

u(0) = 0, u0(l) + hu(l) = 0, h = const > 0.

Проверка случая λ = 0 приводит лишь к тривиальному решению. Значит,рассматриваем только вариант λ > 0.

9

Уравнение Штурма такое же,как и в предыдущей задаче.Поэтому и общее его решение будет таким же,

pp

u(x) = A cos λx + B sin λx.

Из левого граничного условия выходит A = 0.Ну а из правого

получается

p p p

λB cos λl + hB sin λl = 0.

Как и прежде,случай B = 0 совершенно неинтересен(приводит к тривиальному решению),так что собственные значения получаются корнями трансцендентного уравнения

p tg pλl = − hλ.

Если нарисовать графики функций y = tg pλl и y = −pλl/(lh), считая произведение pλl независимой переменной(см.рис. 1),то можно увидеть бесконечное число точек пересечения этих кривых в области pλl > 0.Эти точки пересечения как раз и соответствуют собственным значениям решаемой задачи.Найти величину собственных значений можно лишь приближенно.Очень грубо по графику, ну а с любой наперед заданной точностью каким-нибудь итерационным методом.

Мы и в этом случае будем нумеровать собственные значения индексом n.Причем здесь можно выбирать n,начиная с любого целого числа.Просто потому что в уравнении для определения собственных значений n никак не фигурирует.Но все же обычно считают,что

n = 1, 2, . . .

Итак,в этом случае ответ задачи на собственные значения имеет

Найдем теперь квадрат нормы собственной функции

10

Оставлять в таком виде квадрат нормы не принято,от тригонометрических функций надо избавиться при помощи уравнения на собственные значения.Напомню,что имеют место следующие тригонометрические равенства

Проблема в том,что в рассматриваемом случае аргументом синуса и косинуса является произведение pλnl,которое неограниченно возрастает с ростом n.А при | | > /2 в указанных выше равенствах может появляться знак минус перед дробями.Поэтому в нашем случае будет

где числа An и Bn надо еще найти.Впрочем,это либо1,либо −1. Восстановить An и Bn можно при помощи графика.Здесь,кстати, результат существенно зависит от способа нумерации собственных

значений.Т.е.если вы выбрали n = 1, 2, . . .,то получится одно,а, скажем,в случае выбора n = 0, 1, 2, . . . уже другое выражение.

A2 = 1.Если нарисовать побольше ветвей тангенса,то можно заметить,что у An знаки будут чередоваться.Записать это можно в виде

An = (−1)n.

Аналогично определяем и Bn,построив график косинуса(см.рис.

Подставим эти выражения в квадрат нормы собственной функ-

11

Вот теперь квадрат нормы можно считать найденным. Все,ликбез окончен.Теперь как-нибудь сами.На самом деле

несколько следующих задач можно и не делать,но если сделаетеэто будет хорошая практика по задачам на собственные значения.

Решить задачу

u00 + λu = 0, 0 < x < l,

u(0) = 0, u0(l) − hu(l) = 0, h = const > 0.

Эта задача не является задачей Штурма Лиувилля(не тот знак в правом граничном условии).Однако самосопряженность имеется, что можно проверить при помощи интегрирования по частям.Но вот утверждать,что все λ > 0,здесь уже нельзя.То есть надо проверять не только случай λ = 0,но и случай λ < 0.

При λ < 0 общее решение уравнения Штурма прежнее,

pp

u(x) = C1e −λx + C2e− −λx.

Вот только показатели экспонент вполне себе действительные.Поэтому удобнее его переписать в виде

12

На всякий случай(чтобы вам не рыться в интернетах)укажу еще формулы

Замечу,что выражение для собственной функции можно свернуть в косинус разности(ну,если вспомнить тригонометрию).Но если сразу же сделать замену переменной y = l − x,этот косинус выйдет сам собой:

В первом варианте ответа собственная функция отличается множителем(я использовал возможность выбора этого множителя так,чтобы в собственной функции не было дробей).Поэтому выражение для квадрата нормы вышло другим.

Решить задачу

|u(0)| < +1, u0(l) = 0.

Замечу,что заменой u(x) = v(x)/x уравнение сводится к уже вам известному: v00 + λv = 0.Это тоже не задача Штурма Лиувилля (из-за левого граничного условия).Однако оператор задачи будет самосопряженным.

13

Ну а теперь то,ради чего весь этот семинар и задумывался.Решим задачу

u00(x) + λu(x) = 0, 0 < x < l,

u0(0) + hλu(0) = 0, h = const > 0, u0(l) = 0.

Что-то совсем уж вопиющее.Собственное значение вылезло в граничном условии.Тем не менее оператор задачи будет самосопряженным,так что попробуем ее порешать.Самосопряженность приводит к действительности λ,но как обстоят дела со знаками собственных значений?

Сосчитаем интеграл от произведения −u00 на u,учитывая,что

То есть отрицательных собственных значений точно нет.Проверяем случай λ = 0,тогда задача вырождается:

u00 = 0, 0 < x < l, u0(0) = 0, u0(l) = 0.

Есть нетривиальное решение u = const.Но,пользуясь свободой выбора множителя в определении собственной функции,можно взять

u = 1.

15