Сухарев / Семинары_1_11

Таким образом,система телеграфных уравнений получена.

Как ставить граничные условия для системы телеграфных уравнений?Предположим,что в точке x0 имеется точечный потребитель, который представляет из себя последовательно соединенные э.д.с. E0(t),сопротивление R0,индуктивность L0 и емкость C0.Обратите внимание на появление индекса в обозначении перечисленных характеристик.Индекс указывает на то,что это характеристики именно потребителя,а не провода.Величины R и R0 даже по размерности не совпадают, R0 есть сопротивление,а R сопротивление,деленное на длину.

Согласно закону Ома для неоднородного участка цепи,

v(x0 − 0, t) − v(x0 + 0, t) + E0(t) =

Здесь Q0 начальный заряд конденсатора C0.Если начальный заряд конденсатора уже учтен в начальных условиях,в граничном условии его не пишут(иначе вы дважды учтете одно и тоже).

При постановке граничных условий не всегда можно обойтись одним лишь законом Ома.Так,при соединении в точке x0 двух проводов с разными характеристиками используется еще условие равенства токов

i(x0 − 0, t) = i(x0 + 0, t).

При постановке начальных условий иногда требуются условия (или правила)коммутации,которые являются следствиями закона сохранения энергии.Всего этих правил два:ток в индуктивном элементе не может меняться скачком,ну и напряжение на емкости не может меняться скачком.Другими словами,если при t = 0 вы подключаете катушку индуктивности L0 в точке x0 к проводу,по которому уже течет ток,то должно быть i(x0, 0 + 0) = i(x0, 0 − 0).При этом потенциал в той же самой точке вполне может иметь разрыв, т.е.в общем случае v(x0, 0 + 0) 6= v(x0, 0 − 0).Для конденсатора C0 все наоборот потенциал неразрывен, v(x0, 0 + 0) = v(x0, 0 − 0), ну а ток запросто может меняться скачком,т.е.в общем случае i(x0, 0 + 0) 6= i(x0, 0 − 0).При подключении резистора R0 и ток, и потенциал в точке x0 могут иметь разрывы.

При постановке задач для телеграфных уравнений приходится учитывать тот метод,которым вы впоследствии собираетесь решать

5

эти задачи.Если задача ставится на полупрямой 0 < x < +1,то обычно для ее решения используют преобразование Лапласа(т.е. операционное исчисление).В этом случае задача ставится для системы телеграфных уравнений,т.е.вы одновременно работаете с двумя неизвестными i(x, t) и v(x, t).Это самый простой тип задач,не требующий при постановке никаких дополнительных математических операций.

Если же вы ставите задачу на конечном отрезке 0 < x < l, то для ее решения чаще всего будет использоваться метод Фурье. Сложность метода Фурье при увеличении числа неизвестных функций возрастает просто катастрофически.Т.е.при удвоении числа неизвестных вам потребуется минимум раза в четыре больше времени на решение задачи методом Фурье.Поэтому при постановке задач на отрезке число неизвестных стремятся минимизировать.То есть ставят задачу или только для определения тока,или только для определения потенциала.

Здесь возникает проблема почти все выписанные нами равенства одновременно содержат и ток i(x, t),и потенциал v(x, t).Поэтому нужно произвести некоторые математические преобразования для того,чтобы во всех(уже новых,т.к.после преобразований)равенствах сохранилась лишь одна интересующая нас неизвестная.В качестве таких математических действий чаще всего используется операция дифференцирования.

Для вас упражнение используя только дифференцирование(ну и еще сложение с вычитанием),получить из системы телеграфных уравнений

vx + Ri + Lit = 0, ix + Gv + Cvt = 0

дифференциальное уравнение для тока

LCitt + (RC + GL)it + RGi = ixx

и для потенциала

LCvtt + (RC + GL)vt + RGv = vxx.

Займемся теперь постановкой задач.Рассмотрим изолированный провод,индуктивностью и утечкой в котором можно пренебречь. Такую линию еще называют кабелем.Пусть провод первоначально имел постоянный потенциал u0.В начальный момент времени левый

6

конец провода x = 0 заземляют,а правый конец x = l так и остается изолированным.

Сначала выпишем естественную постановку задачи(как если бы мы собирались решать ее при помощи преобразования Лапласа).Поскольку индуктивностью и утечкой в линии можно пренебречь,положим L = 0 и G = 0.Тогда телеграфные уравнения упрощаются и приобретают вид

vx + Ri = 0, ix + Cvt = 0, 0 < x < l, 0 < t.

Неравенства справа от дифференциальных уравнений указывают на область,в которой справедливы эти уравнения.Ее еще называют областью задания независимых переменных x и t,или же областью определения дифференциальных уравнений.

Выписанные уравнения содержат лишь одну производную по времени,это функция vt.Следовательно,необходимо задать лишь одно начальное условие для потенциала.Нетрудно догадаться,что оно будет иметь вид v(x, 0) = u0.Обратите внимание,что в аргументах функции явно указано лишь значение времени t = 0,значение же переменной x оставлено неопределенным.Это означает,что выписанное равенство справедливо при всех возможных значениях x,т.е. при всех 0 6 x 6 l.

Поскольку дифференциальные уравнения содержат две производных по координате, vx и ix,необходимо задавать два граничных условия.Эти условия задаются в точках x = 0 и x = l,т.е.на пространственных границах области изменения независимых переменных.Отсюда и название граничные условия.Еще их нередко называют краевыми условиями.

Поскольку в начальный момент времени левый конец провода заземляют,потенциал в этой точке становится равным потенциалу Земли,то есть нулю.И остается таким все время наблюдения.

Значит,левое граничное условие можно записать в виде v(0, t) = 0. Здесь опять использована та же техника записи,что и для начального условия.Явно указано лишь значение первого аргумента функции x = 0,второй же аргумент оставлен неопределенным.Это означает, что выписанное равенство справедливо при всех t > 0.

Конец x = l провода все время изолирован.Это означает,что ток через точку x = l всегда равен нулю(т.е.отсутствует).Поэтому второе граничное условие приобретает вид i(l, t) = 0.

Все дополнительные условия мы нашли,так что теперь можно

7

выписать постановку задачи полностью

Иногда удобнее считать,что начальное условие задается не при 0 6 x 6 l,а при 0 < x < l.Тогда приходится полагать,что граничные условия справедливы не при 0 < t,а при 0 6 t.Впрочем,на результате(т.е.на готовом решении задачи)это не отражается вообще никак.Ну а если начальные и граничные условия непрерывно примыкают друг к другу,то и вовсе все равно,что за неравенства (строгие или нестрогие)имеются в виду.

Поставим теперь ту же задачу,но для определения потенциала (т.е.ориентируясь на применение метода Фурье).Другими словами, эта новая постановка задачи вообще не должна содержать символ i и производные от тока ни в дифференциальных уравнениях,ни в дополнительных условиях.

Сначала исключим функцию i из телеграфных уравнений.В принципе,совсем недавно это уже должно было быть вами сделано(причем даже в более общем случае),так что можно просто воспользоваться готовым результатом.Остается лишь выбрать в дифференциальном уравнении для потенциала L = 0 и G = 0.Тогда получится

Если кто не в курсе,это дифференциальное уравнение называется уравнением теплопроводности и диффузии.Но,как видите,встречается оно и при описании электричества.Запись эта традиционная, включая и обозначение постоянной в виде a2.Именно в таком виде уравнение теплопроводности фигурирует в большинстве учебников по математической физике.

Для уравнения теплопроводности на отрезке нужно одно начальное и два граничных условия.Начальное и левое граничное условия у нас уже есть в готовом виде,это v(x, 0) = u0 и v(0, t) = 0.А правого пока нет.Точнее,есть,но для тока.Мы же ставим задачу для определения потенциала,так что ток не может входить ни в один элемент постановки задачи.

Как же быть?А просто надо как-то изгнать ток из граничного условия i(l, t) = 0.Это можно сделать при помощи одного из

8

телеграфных уравнений,весь вопрос в том,какое из них следует использовать.Ведь оба этих уравнения связывают между собой ток и потенциал(или их производные):

vx + Ri = 0, ix + Cvt = 0.

Обратите внимание,что равенство i(l, t) = 0 не алгебраическое, а функциональное.Справа в этом равенстве записана функция t. А вот от переменной x зависимости нет вообще.То есть если продифференцировать равенство i(l, t) = 0 по x,получится вовсе не ix(l, t) = 0, как иногда думают некоторые студенты.А 0 = 0.Это,конечно,абсолютно верное равенство,вот только совершенно бесполезное.Поэтому в рассматриваемом нами случае второе телеграфное уравнение использовать нельзя,даже если очень хочется.Оно просто не даст никакой информации.А первое зато можно и нужно.Из первого телеграфного уравнения немедленно следует,что vx(l, t) = 0.

Таким образом,постановка задачи для определения потенциала кабеля будет иметь вид

vt = a2vxx, a2 = RC1 , 0 < x < l, 0 < t, v(x, 0) = u0, v(0, t) = 0, vx(l, t) = 0.

Что-то пока никаких обобщенных функций не видно.Но оказывается,что поставить задачу определения тока без использования понятия обобщенных функций в этом случае попросту невозможно. Итак,ставим.Дифференциальное уравнение для тока будет иметь вид

Из дополнительных условий сразу годится лишь правое граничное условие i(l, t) = 0.Ну а из левого граничного условия v(0, t) = 0 придется изгнать потенциал при помощи одного из телеграфных уравнений.Поскольку это последнее равенство содержит только функцию переменной t,дифференцировать его по переменной x нельзя. Ну то есть на самом деле можно,но получится 0 = 0.Значит,первое телеграфное уравнение здесь не годится.Используем второе,поскольку оно содержит производную от v по t.Дифференцируя имеющееся левое граничное условие,находим vt(0, t) = 0.Следовательно, из второго телеграфного уравнения получается ix(0, t) = 0.

9

Найдем теперь начальное условие,т.е.начальный ток.В принципе,здесь и так кажется очевидным,что i(x, 0) = 0.Однако мы добудем это равенство из прежнего начального условия v(x, 0) = u0 при помощи телеграфных уравнений.Прежнее начальное условие содержит функцию координаты x,а от переменной t не зависит вовсе.Значит,дифференцировать его по t не имеет смысла.А потому второе телеграфное уравнение здесь бесполезно.Зато равенство v(x, 0) = u0 можно продифференцировать по x,тогда выйдет vx(x, 0) = 0.Если подставить эту производную в первое телеграфное уравнение,как раз(после сокращения на постоянную R)и получится i(x, 0) = 0.

Итак,мы получили следующую постановку задачи для определения тока в кабеле

i(x, 0) = 0, ix(0, t) = 0, i(l, t) = 0.

Но даже беглый взгляд на полученный результат позволяет понять, что здесь что-то не так.В самом деле,постановка задачи вовсе не содержит величину u0.Ну а если вы уже имели дело с задачами математической физики,то решение выписанной задачи можно предсказать прямо сразу,получится i(x, t) = 0.Ну то есть имеется явное несоответствие физической ситуации.

В чем же дело?А в том,что мы ушли от естественной постановки задачи(для системы телеграфных уравнений)при помощи математических операций.В частности,мы интенсивно использовали дифференцирование не только для вывода уравнения,но и для получения как начального,так и левого краевого условия.Между тем из естественной постановки задачи сразу видно,что левое краевое условие v(0, t) = 0 не будет непрерывно примыкать к начальному условию v(x, 0) = u0.То есть функция v(x, t) имеет конечный разрыв в окрестности точки x = 0, t = 0.Разрывные функции вообще нельзя дифференцировать в классическом смысле.Поэтому, вычисляя производную самым обычным образом,мы просто убили информацию об этом скачке потенциала.

Выход здесь заключается в использовании не обычного,а обобщенного дифференцирования.То есть надо трактовать i и v как регулярные обобщенные функции,порожденные кусочно-непрерывными локально интегрируемыми функциями i(x, t) и v(x, t).

10

Из естественной постановки задачи видно,что

Т.е.в точке t = 0 имеется скачок функции v(0, t),который равен [v(0, t)]t=0 = −u0.Следовательно,если брать производную по t в обобщенном смысле,получится

vt(0, t) = −u0δ(t).

Поэтому из второго телеграфного уравнения выйдет не ix(0, t) = 0,

а

ix(0, t) = Cu0δ(t).

Таким образом мы не теряем информации о скачке потенциала, ну а корректная постановка задачи будет иметь вид

i(x, 0) = 0, ix(0, t) = Cu0δ(t), i(l, t) = 0.

Те из вас,кто знаком с методом Фурье,могут заметить неудобную деталь в полученной постановке задачи неоднородность левого граничного условия.Но вы уже знаете,как при помощи обобщенных функций перебросить эту неоднородность в дифференциальное уравнение(которое после этой операции следует трактовать как равенство функционалов).В результате этой операции обобщенная постановка задачи примет вид

Не любите работать с неоднородными уравнениями в рамках метода Фурье?Фигня вопрос,наличие дельта-функции δ(t) в этой неоднородности позволяет затолкать ее в начальное условие.Вы вполне с этим можете справиться,тогда выйдет

11

Последний результат(то есть неоднородное начальное условие) может быть получен и другим путем.Давайте считать,что v(0, t) = 0 при t > 0,ну а v(x, 0) = u0 только при x > 0.Т.е.фактически выходит

v(x, 0) =

0, x = 0, u0, x > 0.

Тогда скачок функции v(x, 0) есть [v(x, 0)]x=0 = u0.Ну а обобщенная производная выйдет равной

vx(x, 0) = u0δ(x).

Значит,из первого телеграфного уравнения получится

i(x, 0) = −uR0 δ(x),

т.е.именно тот результат,к которому мы пришли выше.Разумеется, если вы учли скачок потенциала в начальном условии,в граничном условии его уже не надо учитывать(и даже нельзя,ибо так вы удвоите скачок потенциала по сравнению с реальной ситуацией). Т.е.обобщенная производная от v(0, t) = 0 будет равна в этом случае vt(0, t) = 0 (совпадет с обычной),что приведет к граничному условию ix(0, t) = 0.Ну то есть все как в последней постановке задачи. Новая задача.В начальный момент времени левый конец незаряженного провода заземляют через э.д.с. E(t),а правый через сопротивление R0.Поставить задачу,если сопротивлением и утечкой электричества в проводе можно пренебречь.Такой провод называ-

ется линией без потерь.

Сначала естественная постановка задачи.Поскольку сопротивлением провода можно пренебречь,кладем R = 0.Ну а отсутствие утечки означает G = 0.Значит,телеграфные уравнения приобретают вид

vx + Lit = 0, ix + Cvt = 0, 0 < x < l, 0 < t.

Производных по времени здесь уже две штуки,это vt и it.Значит, необходимо два начальных условия.Надо задать начальное распределение потенциала и начальный ток.

Раз провод незаряжен,то будет v(x, 0) = 0.Но тогда в начальный момент времени и ток будет отсутствовать,т.е. i(x, 0) = 0.

12

Оба граничных условия добываем из закона Ома для неоднородного участка цепи(ну,из той страшной формулы с интегралом).Рассмотрим сначала левое граничное условие,т.е.будем считать x0 = 0.Точка слева от x0,т.е. x0 − 0, это Земля.Поэтому

v(x0 −0, t) = v(0 −0, t) = 0.Точка справа от x0,т.е. x0 + 0, это самая левая точка провода,т.е. v(x0 + 0, t) = v(0 + 0, t) = v(0, t).Э.д.с. в точке x = 0 задана.А вот ни сопротивления,ни индуктивности,

ни емкости в точке x = 0 нет.Значит,вся правая часть закона Ома превращается в нуль.То есть от закона Ома остается

−v(0, t) + E(t) = 0, или v(0, t) = E(t).

Теперь найдем второе граничное условие.Пусть x0 = l.Тогда точка слева от x0,т.е. x0 − 0 это самая правая точка прово-

да.Поэтому v(x0 − 0, t) = v(l − 0, t) = v(l, t).Справа от точки x0 находится Земля с равным нулю потенциалом.Следовательно,

v(x0 + 0, t) = v(l + 0, t) = 0.Никакой э.д.с.в точке x = l нет,так что в законе Ома соответствующее слагаемое исчезает.Катушки индук-

тивности и конденсатора в точке x = l тоже не имеется.Поэтому в правой части закона Ома соответствующих слагаемых тоже писать не нужно.Зато есть сопротивление R0,так что закон Ома в этом случае приобретает вид

v(l, t) = R0i(l, t).

Ну все,можно уже выписать естественную постановку задачи целиком

vx + Lit = 0, ix + Cvt = 0, 0 < x < l, 0 < t,

i(x, 0) = 0, v(x, 0) = 0, v(0, t) = E(t), v(l, t) = R0i(l, t).

Ставим теперь задачу для потенциала.Дифференциальное уравнение будет иметь вид

Для тех,кто не слушал курс математической физики укажу,что этоволновое уравнение.

При постановке задач для волнового уравнения на отрезке требуется два начальных условия и два граничных.Начальные условия всегда имеют один и тот же вид:

v(x, 0) = что-то там, vt(x, 0) = что-то там еще.

13

Первое начальное условие у нас уже есть,это v(x, 0) = 0. Ну а второе начальное условие можно получить из второго телеграфного уравнения,продифференцировав по x начальное условие i(x, 0) = 0.

Левое граничное условие у нас уже тоже есть в готовом виде.А чтобы получить правое,надо из равенства v(l, t) = R0i(l, t) изгнать ток при помощи первого телеграфного уравнения.

Таким образом,получается

vtt = a2vxx, a2 = LC1 , 0 < x < l, 0 < t,

v(x, 0) = 0, vt(x, 0) = 0, v(0, t) = E(t), R0vx(l, t) + Lvt(l, t) = 0.

Поставим теперь задачу для определения тока в линии.Для этого сразу же заметим,что в общем случае E(0) 6= 0,т.е.в окрестности точки x = 0, t = 0 имеется конечный разрыв функции v(x, t). Ну то есть совершенно все так же,как и в предыдущей задаче.Значит, если учесть скачок потенциала в граничном условии,получится

i(x, 0) = 0, it(x, 0) = 0, ix(0, t) = −CE0(t) − CE(0)δ(t), ix(l, t) + CR0it(l, t) = 0.

Здесь сумма E0(t)+E(0)δ(t) это результат вычисления обобщенной производной E0.Поскольку э.д.с.включается только при t = 0,мы формально считаем,что E(t) = 0 при t < 0.Тогда скачок этой функции при t = 0 есть E(0).

Кстати,то же самое в задачнике Горюнова нередко обозначается просто E0(t),но он понимает под этим обобщенную производную. Мне кажется,что обозначение E0(t) все таки лучше оставить для самой обычной производной.Ну а если надо записать обобщенную производную,то и писать ее следует в явном виде,т.е.как

E(0)δ(t).

Можно учесть скачок потенциала не в граничном,а в начальном условии.Тогда постановка задачи примет вид

itt = a2ixx, a2 = LC1 , 0 < x < l, 0 < t,

i(x, 0) = 0, it(x, 0) = EL(0)δ(x), ix(0, t) = −CE0(t), ix(l, t) + CR0it(l, t) = 0.

14