Сухарев / Семинары_1_11

Решить задачу

Взаимно однозначное соответствие между регулярными обобщенными функциями и кусочно-непрерывными обычными функциями позволяет при необходимости переходить от классической постановки задач математической физики к обобщенной.Ну и наоборот.То есть при помощи дельта-функции Дирака и ее производной можно переместить неоднородность из дополнительного условия в уравнение.Это бывает крайне полезно при решении задач,особенно если

4

вы знакомы с принципом Дюамеля.Да и если незнакомы,все равно полезно.

Рассмотрим сначала что-нибудь попроще,например,задачу Коши для одномерного уравнения теплопроводности

ut = a2uxx, −1 < x < +1, 0 < t u(x, 0) = '(x).

Предположим,что по какой-то причине эта постановка задачи вас не устраивает,и вы хотите сделать начальное условие однородным.Никаких проблем,определим новую(разрывную)функцию так:

Пусть v соответствующая регулярная обобщенная функция.Считаем обобщенную производную по времени:

vt = {vt} + [v(t)]t=0δ(t).

Классическая производная существует везде при t > 0 и,естественно,совпадает с ut.Поэтому {vt} = ut.

Скачок функции v(x, t) в нуле найти нетрудно,

[v]t=0 = v(x, 0 + 0) − v(x, 0) = u(x, 0 + 0) − 0 = u(x, 0) = '(x).

Здесь мы использовали непрерывность исходной функции u(x, t) при t = 0,т.е.то,что u(x, 0 + 0) = u(x, 0).

Таким образом,

vt = ut + '(x)δ(t).

Считаем теперь вторую обобщенную производную от v по x

vxx = {vxx} + [vx]x=x0 δ(x − x0) + [v]x=x0 δ0(x − x0).

Но по переменной x ни в одной точке разрывов не имеет ни сама функция v(x, t),ни ее производная vx(x, t).То есть все эти скачки я тут зря выписал,они равны нулю.И вообще будет {vxx} = uxx, а потому и vxx = uxx.

5

Осталось выразить ut = vt −'(x)δ(t) и подставить это выражение (и полученное чуть выше выражение для uxx)в исходную постановку задачи.Вместо дифференциального уравнения теперь,правда, выйдет равенство функционалов

vt − '(x)δ(t) = a2vxx.

Ну все,обобщенная постановка задачи готова:

vt = a2vxx + '(x)δ(t), −1 < x < +1, 0 < t, v(x, 0) = 0.

Начальное условие стало однородным,а неоднородность переехала

вдифференциальное уравнение.

Вреальности разные символы(т.е. u и v)для классической и обобщенной постановки задачи использовать не принято.Здесь я это делаю для наглядности.Взаимно однозначное соответствие регулярной обобщенной функции и соответствующей локально интегрируемой функции позволяет считать,что эти две постановки задачи суть одно и то же,т.е.писать

ut = a2uxx + '(x)δ(t), −1 < x < +1, 0 < t, u(x, 0) = 0.

Ну и потом,при решении задач(если кто-то еще помнит математическую физику)неоднородности всегда интегрируют.Значит,все эти дельта-функции исчезнут и вы получите совершенно одинаковый результат что для решения классической задачи,что для обобщенной.

Теперь рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения

utt = a2uxx, −1 < x < +1, 0 < t, u(x, 0) = '(x), ut(x, 0) = (x).

Цель прежняя загнать неоднородности в уравнение.Определяем новую разрывную функцию

Здесь мы принудительно вводим разрыв не только самой функции, но еще и ее первой производной.

6

Считаем вторую обобщенную производную

Обобщенная постановка задачи имеет вид

vtt = a2vxx + (x)δ(t) + '(x)δ0(t), −1 < x < +1, 0 < t, v(x, 0) = 0, vt(x, 0) = 0.

Совершенно аналогичным образом можно устранять и неоднородности граничных условий.Вот это по-настоящему полезно,особенно при решении задач методом Фурье.Для вас упражнение доказать,что классической постановке задачи

ut = a2uxx, 0 < x < +1, 0 < t, u(x, 0) = 0, u(0, t) = µ(t)

соответствует обобщенная постановка задачи

vt = a2vxx − a2µ(t)δ0(x), 0 < x < +1, 0 < t, v(x, 0) = 0, v(0, t) = 0.

Здесь надо помнить,что функцию v(x, t) мы вводим искусственно с одной лишь целью обнулить правую часть граничного условия.Обнулять производную vx(0, t) совершенно незачем,она нигде не фигурирует.Поэтому дополнительным требованием здесь будет vx(x, t) = ux(x, t) при всех x,в том числе и при x = 0.Следовательно,скачок производной по x будет равен нулю.

Конечно,внимательный читатель может заметить,что при x = 0 производная vx(x, t) вообще не существует.Так что на самом деле здесь под vx(0, t) следует понимать левосторонний предел vx(0−0, t). В самом деле,функция v(x, t) вводится искусственно.Нам ничто не мешает доопределить ее слева от точки x = 0 так,чтобы производная слева от этой точки совпадала с производной справа от этой точки.Ну,подобно функции

7

В этом случае разрыва производной нет,соответствующий скачок равен нулю,а именно это нам и нужно(и совершенно наплевать на то,что обычная производная в точке x = 0 на самом деле не существует).Конечно,при желании скачок производной можно и оставить,выбрав его равным любому конечному числу.Но тогда в дифференциальном уравнении появится лишнее слагаемое с дельтафункцией.А,стало быть,при решении задачи придется делать лишнюю работу по интегрированию этого никому не нужного слагаемого.

Упражнение доказать,что классической постановке задачи

ut = a2uxx, 0 < x < +1, 0 < t, u(x, 0) = 0, ux(0, t) = (t)

соответствует обобщенная постановка задачи

vt = a2vxx − a2 (t)δ(x), 0 < x < +1, 0 < t, v(x, 0) = 0, vx(0, t) = 0.

С граничным условием третьего рода все кажется уже не таким простым,но это лишь на первый взгляд.Здесь разрыв надо вводить уже и для самой функции,и для ее пространственной производной. При этом величину каждого скачка по отдельности мы определить не можем(неоткуда),только их линейную комбинацию из граничного условия третьего рода.Оказывается,что при решении задач(ну, если вы не допустите ошибок при интегрировании)эти скачки по отдельности нигде не проявляются,а появляются лишь в виде той самой линейной комбинации,которую мы можем определить.Так что бояться таких задач не следует.

Ну и еще упражнение доказать,что классической постановке задачи

ut = a2uxx, 0 < x < l, 0 < t,

[vx]x=0 − h[v]x=0 = −hµ(t).

8

Замечание для невнимательных:знак последнего слагаемого правой части дифференциального уравнения выписан верно,ошибки здесь нет.

9

Семинар3

Обобщенные функции с математической точки зрения штука, конечно,интересная.Но выдумали их вовсе не для того,чтобы было чем помучить студентов.А для решения физических задач.Дельтафункция Дирака использовалась уже Хевисайдом и Гамильтоном при разработке операционного исчисления.Хевисайд главным образом интересовался электричеством,так что основной целью операционного исчисления было дать сравнительно простой метод решения задач расчета электрических цепей.Это уже после стало понятно, что операционное исчисление(также известное под названием интегральное преобразование Лапласа ),прекрасно подходит и для решения многих других задач математической физики.

Но для того,чтобы задачу математической физики можно было решить,сначала ее нужно поставить.То есть из словесной формулировки добыть математическую модель,описываемую одними лишь символами,равенствами и прочей математической символикой.Так что в этот раз мы будем ставить задачи.И рассмотрим ту область математической физики,в которой без обобщенных функций обойтись крайне сложно.Именно,сегодня мы займемся электрическими колебаниями в проводе или,как еще говорят,в длинной линии.

Предположим,что линия(или провод)расположена вдоль оси x и обладает следующими постоянными характеристиками:сопротивлением R,емкостью C,коэффициентом утечки G и коэффициентом самоиндукции L.Будем считать,что все эти характеристики рассчитаны на единицу длины линии.Поэтому для того,чтобы получить сопротивление участка провода длины x,надо взять произведение R x.По той же самой причине величина R имеет размерность не сопротивления,а сопротивления,поделенного на длину.Подчеркну еще раз,что это характеристики именно провода(а не потребителя,подключенного к этому проводу).

Для описания течения электрического тока в линии мы будем использовать,во-первых,функцию i(x, t),т.е.силу тока в точке x в момент времени t.Во-вторых,нам потребуется функция v(x, t), дающая электрический потенциал точки x в момент времени t. В некоторых книгах вместо термина потенциал используется терминнапряжение ,имеющий то же значение.Это чуть менее удобно,поскольку напряжение означает разность потенциалов.Следовательно,помимо потенциала в точке x нам придется задавать потенциал

1

еще чего-нибудь,чтобы сосчитать эту разность.Обычно в качествечего-нибудь используется Земля(вот да,именно с большой буквы, ибо если насыпать горстку почвы на провод,то никакого заземления не произойдет),потенциал которой принимается равным нулю.Поэтому говоря напряжение ,подразумевают потенциал относительно Земли.

Поскольку неизвестных функций вышло две,для их описания потребуется два дифференциальных уравнения.Одно из этих дифференциальных уравнений мы добудем из закона Ома,а второе из закона сохранения заряда.Напомню,что для применимости закона Ома необходимо выполнение условия квазистационарности тока. Ток должен медленно меняться во времени и пространстве,в противном случае даже понятие потенциала ввести корректно не удается.Поэтому мы будем рассматривать столь малый участок линии

x,чтобы для него условие квазистационарности выполнялось гарантированно.Но,как это бывает в случае удачных математических моделей,при решении задач про условие квазистационарности тока можно не вспоминать.Вполне приемлемые результаты получаются и для используемых в технике переменных токов,недаром то,что мы намерены получить,называется системой телеграфных уравнений.

Запишем закон Ома для участка провода,заключенного между координатами x и x+ x.Разность потенциалов(или,что то же,падение напряжения)на этом участке плюс э.д.с. (электродвижущая сила),действующая на этом участке,есть произведение сопротивления на ток,протекающий через этот участок.Произведение сопротивления на ток это не вполне точный термин,в действительности используется интеграл

Z x+ x

Ri( , t) d ,

x

который превратится в произведение лишь после использования теоремы о среднем значении.Но мы пока ее использовать не будем.

Будем считать,что никаких сторонних э.д.с.на рассматриваемом участке нет,т.е.все электродвижущие силы есть следствие явления самоиндукции.Поскольку коэффициент самоиндукции предполагается постоянным,э.д.с.самоиндукции имеет вид(см.курс общей физики)

Zx+ x

−Lit( , t) d .

x

2

Ну а разность потенциалов,это

Z x+ x

v(x, t) − v(x + x, t) = − v ( , t) d .

x

Здесь мы использовали формулу Ньютона Лейбница.Конечно, производная vx(x, t) должна быть непрерывной всюду на рассматриваемом участке,иначе формула Ньютона Лейбница не сработает.

Можно видеть,что все три составные части закона Ома получились в виде однотипных интегралов.Поэтому вполне логично перенести разность потенциалов и э.д.с.в правую часть равенства,собрав все слагаемые под одним интегралом.Получится

Z x+ x " #

v ( , t) + Ri( , t) + Lit( , t) d = 0.

x

А вот теперь уже применим теорему о среднем значении,тогда

" #

vx(x , t) + Ri(x , t) + Lit(x , t) x = 0, x 2 [x, x + x].

Разумеется,для этого подынтегральная функция должна быть непрерывна всюду на рассматриваемом участке.

На x можно разделить(это пусть и малая,но пока вполне конечная величина).А потом рассмотреть предел x ! 0.Тогда x ! x и мы получаем дифференциальное уравнение

vx(x, t) + Ri(x, t) + Lit(x, t) = 0.

Запишем теперь закон сохранения заряда для того же самого участка провода.За время t на этот участок через точку x ток приносит заряд

Z t+ t

i(x, ) d .

t

Ну а через точку x + x ток заряд с участка уносит,так что перед соответствующим интегралом придется написать знак минус :

Z t+ t

− i(x + x, ) d .

t

Таким образом,приращение электрического заряда на участке x за время t (за счет тока)имеет вид

Z t+ t Z t+ t Z t+ t Z x+ x

i(x, ) d − i(x+ x, ) d = − i ( , ) d d .

t t t x

3

Это опять сработала формула Ньютона Лейбница.

На что тратится полученный заряд?Во-первых,заряд будет стекать с провода за счет несовершенства изоляции.Будем считать,что потери электричества пропорциональны потенциалу,тогда эти потери на участке x за время t описываются интегралом

Z t+ t Z x+ x

Gv( , ) d d .

t x

Во-вторых,полученный за счет тока заряд тратится на,собственно,заряд провода как емкости(конденсатора).Приращение заряда конденсатора дается выражением

Z x+ x Z x+ x

Cv( , t + t) d − Cv( , t) d =

x x Z t+ t Z x+ x

= Cv ( , ) d d .

t x

Т.е.заряд(как произведение емкости на потенциал)после(в момент времени t + t)минус заряд до(в момент времени t).Итого

Z t+ t Z x+ x

− i ( , ) d d =

t Zx t+ t Z x+ x Z t+ t Z x+ x

Gv( , ) d d + Cv ( , ) d d .

t x t x

Все интегралы вышли однотипными,так что можно перенести все члены равенства в правую часть и объединить под одним интегралом

i ( , ) + Gv( , ) + Cv ( , ) d d = 0.

t x

Считая подынтегральную функцию непрерывной,применяем теорему о среднем значении

x ! x, t ! t и мы приходим к дифференциальному уравнению ix(x, t) + Gv(x, t) + Cvt(x, t) = 0.

4