Сухарев / Семинары_1_11

Если цилиндрические координаты той же точки есть (r0, '0, z0),мы можем воспользоваться правилом замены переменных в обобщенных функциях.Вспоминая,что якобиан перехода к цилиндрическим координатам есть просто r,находим

(r,', z ) = qδ(r − r0)δ(' − '0)δ(z − z0). r

Но это не единственно возможная форма записи.В самом деле,отношение δ(r − r0)/r можно упростить,заменив в знаменателе r на r0.Тогда тот же самый функционал примет вид

(r,', z ) = qδ(r − r0)δ(' − '0)δ(z − z0). r0

Но,конечно,функционал вида δ(r)/r по понятным,надеюсь,причинам упрощать не принято.Его так и оставляют в этой форме записи.

Полагаю,что с записью функции плотности заряда q,находящегося в точке со сферическими координатами (r0, 0, '0) вы какнибудь и сами справитесь.Ну,если вспомните якобиан перехода к сферическим координатам.Это вам в качестве упражнения.

Как записать функцию плотности заряда для точечного диполя? Предположим,что в точке x = 0 расположен точечный диполь с моментом p,направленным вдоль оси x (т.е.вектор дипольного момента сонаправлен с осью x).Наряду с этим рассмотрим конечный

ность заряда конечного диполя будет описываться функционаломx = qδ(x − x) −qδ(x).В самом деле,это же просто совокупность двух точечных зарядов.Ну а как для них плотность записать мы только что выяснили.

Поскольку '(x) обычная функция,то последняя дробь в пределе x ! 0 перейдет в производную '0(0).Значит,

lim ( x, ') = p'0(0) = p(δ,' 0) = −p(δ0, ') = (−pδ0, ').

x!0

11

Поскольку в пределе x ! 0 конечный диполь переходит в точечный,то плотность заряда точечного диполя(находящегося в точке x = 0 и имеющего положительный дипольный момент p)будет равна

(x) = −pδ0(x).

В многомерном случае тот же функционал принимает вид

= −p@δ(M, P ) = −(~p, rM δ(M, P )) .

@nM

Здесь ~nM единичный вектор,сонаправленный с вектором дипольного момента ~p,а сам диполь находится в точке P .В правой части равенства внешние круглые скобки обозначают скалярное произведение векторов.Ну а δ(M, P ) короткое обозначение многомерной дельта функции,которая получается путем прямого произведения одномерных дельта-функций.

Попробуем воспользоваться этой формулой.Пусть в точке z0 > 0 оси z расположен точечный дипольcмоментом ~p,направленным по оси z.Тогда координаты точки P (точки,где расположен диполь),есть (0, 0, z0).Координаты точки M (точки наблюдения,которая может находиться где угодно)выберем равными (x, y, z).Тогда многомерная дельта-функция представляется в виде δ(M, P ) = δ(x)δ(y)δ(z − z0).Градиент(в декартовых координатах)можно записать в виде

Тогда

rM δ(M, P ) = ~exδ0(x)δ(y)δ(z − z0) + ~eyδ(x)δ0(y)δ(z − z0) +

+ ~ezδ(x)δ(y)δ0(z − z0).

Вектор дипольного момента есть ~p = (0, 0, p) = p~e.Осталось вы-

z

числить скалярное произведение и не забыть про минус перед ним. Окончательно (x, y, z) = −pδ(x)δ(y)δ0(z − z0).

Несколько интереснее получать плотность заряда точечного диполя в криволинейных координатах.Здесь надо помнить,что в цилиндрических координатах(когда M = (r,', z ))

12

Многомерную дельта-функцию в этом случае тоже надо записывать в криволинейных координатах,не забывая про соответствующий якобиан.На первый взгляд это может показаться странным,но при вычислении градиента якобиан можно считать постоянной(то есть числом)и не дифференцировать(то есть ни в коем случае не дифференцировать,даже если очень хочется).Но если вспомнить, что δ(r − r0)/r = δ(r − r0)/r0,это становится совершенно понятно.Всего лишь одно из свойств дельта-функции.Разумеется,чтобы можно было сосчитать скалярное произведение,вектор дипольного

момента тоже надо записывать через единичные орты ~e , ~ e, ~ e или

r ' z

~e , ~ e, ~ e в цилиндрических или сферических координатах,соответ-

r '

ственно.

Для вас упражнение раздобыть задачник А.Ф.Горюнова Методы математической физики в примерах и задачах ,изданный в 2015году.Год издания важен,не перепутайте с предыдущим его за- дачником2008года.Во-первых,в последнем издании больше задач, а во-вторых,номера задач в этих изданиях не совпадают.Ну и когда раздобудете,сделайте задачи10.308–10.311.Это задачи из десятой главы про обобщенные функции.Имейте в виду,что в ответах много опечаток.Так что если ваш вариант несколько отличается от ответаэто еще не повод расстраиваться.А всего лишь повод перепроверить выкладки.Например,ответ в задаче10.311.2совершенно точно содержит опечатку.

Рассмотрим теперь кусочно-дифференцируемую функцию f(x),

непрерывной первой производной(потому что цифра1),а следующий за этим символом интервал (−1, x0) то множество точек,где эта производная непрерывна.Символ \ указывает на то,что условия слева и справа от этого символа должны выполняться одновременно.Разрыв первого рода это разрыв конечный,еще говорят,что в точке x0 функция f(x) испытывает скачок(как,например,функция Хевисайда в точке x = 0,если ее считать обычной функцией). Обозначим скачок функции в точке x0 символом [f]x=x0 ,т.е.пусть [f]x=x0 = f(x0 + 0) − f(x0 − 0) (значение функции справа от x0 бесконечно близко к этой точке минус значение функции слева от x0

13

бесконечно близко к этой точке).Таким образом,скачок функции в точке x0 есть просто число.

Пусть функция f(x) локально интегрируема,т.е.мы можем поставить ей в соответствие регулярную обобщенную функцию f.Вычислим производную f0 этой регулярной обобщенной функции,т.е. найдем правило,по которому функционал f0 действует на основную функцию '(x).Тогда

Z +1

(f0, ') = −(f,'0) = − f(x)'0(x) dx.

−1

Первое равенство получено по правилу вычисления обобщенной производной,а второе просто запись действия регулярной обобщенной функции на основную.

Поскольку функция f(x) имеет разрыв в точке x = x0,последний интеграл будет несобственным.Значит,

Далее, f0(x) кусочно-непрерывная и локально интегрируемая функция.Ей можно поставить в соответствие регулярную обобщенную функцию {f0}.Мы используем здесь фигурные скобки,чтобы отличать обобщенную производную обобщенной функции f0 (которая,

14

кстати,вовсе не обязана быть регулярной обобщенной функцией)от регулярной обобщенной функции {f0},порожденной самой обычной производной классической функции f0(x) в тех точках,где она существует.Тогда

Следовательно,

(f0, ') = ([f]x=x0 δ(x − x0), '(x)) + ({f0}, ') =

= ({f0} + [f]x=x0 δ(x − x0), '(x)).

Таким образом,мы пришли к следующему результату

f0 = {f0} + [f]x=x0 δ(x − x0).

Заметим,что это уже сингулярная обобщенная функция(из-за наличия дельта-функции во втором слагаемом правой части,первое же

слагаемое регулярная обобщенная функция).

Если считать,что f(x) C2(−1, x0)\C2(x0, +1),то можно получить и вторую обобщенную производную f00.Для вас упражнение

получить.То есть теперь мы считаем,что в точке x0 испытывает разрыв не только сама функция,но и ее первая производная.Скачок первой производной есть [f0]x=x0 = f0(x0 + 0) − f0(x0 − 0).

При вычислении обобщенных производных действуют те же формальные правила,что и при вычислении обычных производных(потому и используется название обобщенная производная,хотя на самом деле это совсем не производная,а результат интегрирования по частям).Поэтому

f00 = {f0}0 + [f]x=x0 δ0(x − x0).

Поскольку скачок функции есть число,его мы не дифференцируем.Иначе пришлось бы дифференцировать произведение(правда, по самому обычному правилу).

Некоторые затруднения может вызвать вычисление обобщенной производной от функционала {f0}.Но этот функционал регулярная обобщенная функция.Значит,для производной от него годится

15

только что полученная формула.Обозначив g = {f0},получаем g0 = {g0} + [g]x=x0 δ(x − x0) = {f00} + [f0]x=x0 δ(x − x0),

поэтому

f00 = {f00} + [f0]x=x0 δ(x − x0) + [f]x=x0 δ0(x − x0).

Аналогично можно получить и производные более высокого порядка,если только исходная функция f(x) будет нужное число раз дифференцируема при x 6= x0.

Если разрывов у функции несколько,для каждого из них придется писать свою дельта-функцию.

Рассмотрим несколько примеров на использование полученных формул.Пусть (x) функция Хевисайда.Этой функции можно поставить в соответствие функционал .Тогда,поскольку [ ]x=0 = 1, находим 0(x) = δ(x).

Всамом деле,

1, x > 0,

(x) =

0, x < 0.

Вточке x = 0 эту функцию можно доопределить как угодно(или вообще на это плюнуть).Все равно на величину скачка функции в точке x = 0 это доопределение никак не повлияет.Нам же,напомню, надо получить функционал,который вообще не является функцией точки.

Считаем классическую производную там где она существует,т.е. слева и справа от точки x = 0.Но это ж нуль,т.е. { 0} = 0.Вот и остается произведение скачка функции(то есть единицы)на дельтафункцию Дирака с(чуть не написал аргументом,и был бы в корне

неправ,ведь это ж не функция точки)особенностью в точке x0 = 0,

т.е. δ(x).

Сосчитаем теперь вторую обобщенную производную 00.Результат,впрочем,очевиден: 00(x) = δ0(x).

Рассмотрим произведение x (x) и сосчитаем первую обобщенную производную.Можете для наглядности построить график этой функции

x (x) =

0, x < 0, x, x > 0.

16

Скачок этой функции в нуле равен нулю,а классическая производная есть

Но это ж функция Хевисайда получилась,так что (x (x))0 = (x). Можно,кстати,обобщенное дифференцирование выполнять и без построения всяческих графиков(то есть без формулы со скачками и дельта-функциями).Надо просто использовать обычные правила дифференцирования произведения.Конечно,этот способ сработает лишь в том случае,если вы уже знаете производную каждого мно-

жителя.Пробуем:

(x (x))0 = (x)0 (x) + x 0(x) = (x) + xδ(x) = (x).

Обратите внимание,что здесь я воспользовался полученным ранее свойством дельта-функции и вдвое упростил результат.Если этого не сделать и сосчитать следующую производную,вы получите взрывающее мозг выражение 2δ(x) + xδ0(x).А вовсе не дельта-функцию Дирака.Но на самом деле это одно и то же(упражнение доказать).Такого рода ответы я впредь буду считать ошибкой(чтобы неповадно было).Это все равно,что всюду писать sin2 x + cos2 x вместо единицы.

Кстати говоря,использование сначала формулы дифференцирования кусочно-гладкой функции(то есть возня с графиками),а затем(отдельно)обычных правил дифференцирования(то есть чисто алгебраических операций) это хороший способ самопроверки.Обе этих технологии должны давать одинаковый результат.

Упражнение сделать задачи10.208, 10.211и10.218 (из задачника Горюнова).Если понравится,можете попробовать еще чегонибудь,например, 10.213, 10.214, 10.220.Но эти последние три номера существенно сложнее,так что делать их необязательно.

P.S.Все здесь написанное не стоит воспринимать как истину в последней инстанции.Набрать семнадцать страниц текста без опечаток почти нереальная задача.Так что подходите ко всему критически,используя могучие аналитические способности вашего мозга.Еще Леонард Эйлер писал,что ничто так не оживляет чтение математических текстов,как наличие в них ошибок и опечаток.

17

Семинар2

Рассмотрим задачу

u00 = aδ(x), −l < x < l, u(−l) = u(l) = 0.

На первый взгляд это обычная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения.Однако правая часть равенства содержит обобщенную функцию,значит это не дифференциальное уравнение в привычном нам смысле.В действительности это равенство функционалов:обобщенной производной u00 и aδ(x) на интервале −l < x < l.

Для решения этой задачи можно уйти от понятия функционала,сформулировав все на языке обыкновенных дифференциальных уравнений.Пусть u(x) дважды непрерывно дифференцируемая функция всюду,кроме точки x = 0.Если u регулярная обобщенная функция,которую мы ставим в соответствие локально интегрируемой функции u(x),то по уже известной нам формуле вычисления второй обобщенной производной

u00 = {u00(x)} + [u(x)]x=0δ0(x) + [u0(x)]x=0δ(x).

Подставим это в дифференциальное уравнение(кавычки использую потому,что это на самом деле равенство функционалов).Тогда

{u00(x)} + [u(x)]x=0δ0(x) + [u0(x)]x=0δ(x) = aδ(x).

Регулярная и сингулярная обобщенные функции не могут быть получены одна из другой при помощи лишь алгебраических операций или умножения на обычную функцию.Поэтому здесь имеется аналогия с понятием линейно независимых функций.В полученном равенстве слева есть регулярная обобщенная функция {u00(x)},справа регулярных обобщенных функций нет вообще.Следовательно, {u00} = 0 всюду,где существует классическая вторая производная u00(x).Не существует она лишь в точке x = 0,поэтому фактически мы получили два одинаковых дифференциальных уравнения,заданных на интервалах −l < x < 0 и 0 < x < l.Если ввести обозначение

1

то эти дифференциальные уравнения примут вид

u001 = 0, −l < x < 0, u002 = 0, 0 < x < l.

Две разных функции u1(x) и u2(x) здесь введены исключительно для удобства.Просто чтобы подчеркнуть,что они задаются на разных интервалах(т.е.имеют различные области определения).В принципе,можно такое обозначение не вводить(в задачнике Горюнова оно обычно не вводится),но тогда соображать несколько труднее.

Функционалы δ(x) и δ0(x) также линейно независимы между собой(кавычки пишу потому,что для обобщенных функций такого термина нет,однако мне он нравится).Справа в равенстве нет производной от дельта-функции.Следовательно, [u(x)]x=0δ0(x) = 0 на всем интервале −l < x < l. Но δ0(x) 6= 0 на этом интервале.Значит,

должно быть [u(x)]x=0 = 0.

Только что мы нашли величину скачка функции u(x) в точке x = 0.Поскольку скачок есть значение функции справа от места разрыва минус значение функции слева от места разрыва,то

u2(0) − u1(0) = 0.

Здесь под u2(0) мы подразумеваем правосторонний предел

u2(0) = lim u2(") = u(0 + 0),

"!0

а под u1(0) левосторонний предел

u1(0) = lim u1(−") = u(0 − 0).

"!0

Ну а обычная дельта-функция есть в равенстве и справа,и слева.

Т.е.получается [u0(x)]x=0δ(x) = aδ(x),откуда [u0(x)]x=0 = a. Итак,нашли еще и величину скачка производной в точке x = 0,

именно

u02(0) − u01(0) = a.

Здесь под u02(0) и u01(0) понимаются правосторонний и левосторонний пределы,соответственно.

Условия u(−l) = 0 и u(l) = 0 теперь можно переписать в виде u1(−l) = 0 и u2(l) = 0,так что мы получили задачу для связки обыкновенных дифференциальных уравнений(уже без всяких кавычек и

2

функционалов)

u001 = 0, −l < x < 0, u002 = 0, 0 < x < l,

u1(−l) = 0, u2(l) = 0, u2(0) − u1(0) = 0, u02(0) − u01(0) = a.

Ну а такие задачи вы уже должны уметь решать.Упражнение доделать.Ответ должен получиться таким:

То есть мы нашли локально интегрируемую функцию u(x),которая однозначно определяет регулярную обобщенную функцию u из исходной задачи.

К сожалению,подобных задач я в задачниках не встречал(может,плохо искал),поэтому упражнения вам на дом выпишу прямо здесь.Учтите,в ответах запросто могут быть опечатки.Так что проверяйте полученный результат,я могу и ошибаться.

Решить задачу

3