Сухарев / Семинары_1_11

Чтобы выписать ответ при t > t0 замечу,что в этом случае функция v1(x, t) превращается в нуль(из-за функции Хевисайда).Поэтому будет

В качестве упражнения можете попробовать решить следующие задачи: 2.316, 2.506и2.511.Задачи,впрочем,довольно сложные.Начинать же лучше с номера2.315.Это сильно упрощенная версия той задачи,которую мы только что решили.Отмечу,что ответ в задачнике соответствует классическому способу решения этой задачи (в виде суммы двух функций).Если же сразу переходить к обобщенной постановке задачи,ответы будет отличаться(как и в решенной нами задаче).Но только формально!Если разложить в ряд Фурье функцию v1(x, t),то ответы должны будут совпасть.

12

Семинар10

Начинаем работу с преобразованием Лапласа.На самом деле существует несколько интегральных преобразований,в которых фигурирует это имя.Более точно,мы будем заниматься только односторонним преобразованием Лапласа.Сначала приведу некоторые определения.

Оригиналом(или функцией-оригиналом) f(t) называют любую комплексную функцию действительного переменного,подчиняющуюся следующим трем условиям.

Во-первых, f(t) должна быть непрерывна вместе со своими производными достаточно высокого порядка всюду,кроме отдельных точек.В этих отдельных точках f(t) или ее производные могут иметь разрыв первого рода(т.е.разрыв конечной величины).На каждом конечном интервале оси t таких точек может быть лишь конечное число.

Во-вторых,при всех t < 0 должно быть f(t) = 0.

В-третьих, f(t) может возрастать не быстрее экспоненты.Более точно,существуют такие числа M > 0 и s0 > 0,что при всех t имеет место неравенство

! !

!f(t)! < Mes0t.

Число s0 называется показателем роста оригинала.

Первое и третье условие выполняются для подавляющего большинства функций,так что обычно их не проверяют.А вот второму условию подавляющее большинство функций не удовлетворяет.Используется второе условие потому,что в задачах математической физики решение ищут лишь при t > 0.А что там происходило при t < 0,никого не интересует.

То есть если взять,скажем, sin t,то эта функция не будет оригиналом из-за нарушения второго условия.Но это легко исправить путем умножения на функцию Хевисайда.То есть f(t) = (t) sin t вполне себе оригинал.

Для краткости записи функции-оригинала множитель (t) писать не принято.То есть мы будем писать f(t) = sin t,хотя под этим будет подразумеваться f(t) = (t) sin t.Про эту особенность надо помнить.

Изображением функции f(t) называют функцию F (p) комплекс-

1

ного переменного p = s + iσ,именно

Z +1

0

Изображение определено в полуплоскости комплексного переменного Re p > s0.В этой полуплоскости F (p) аналитическая функция.Впрочем,при помощи аналитического продолжения эту область обычно можно расширить.Так что предыдущее замечание не слишком актуально,и мы на такие детали впоследствии обращать внимания не будем.

Короткая запись фразы функция f(t) имеет своим изображением функцию F (p) выглядит следующим образом:

f(t) : F (p), либо F (p) : f(t).

В каждой точке непрерывности оригинал f(t) может быть записан в виде

f(t) = 1 Z a+i1 eptF (p) dp.

2 i a−i1

Интеграл этот берется вдоль любой прямой Re p = a > s0 и понимается в смысле главного значения.

К счастью,в абсолютном большинстве случаев восстановить оригинал по имеющемуся изображению можно и без этого интеграла. Уж очень неохота брать интеграл на комплексной плоскости,да еще и по прямой,параллельной мнимой оси.Хотя во многих случаях это не так уж и сложно,если вовремя вспомнить о лемме Жордана.

Найдем изображение функции Хевисайда,исходя из приведенного выше определения изображения.Согласно принятому соглашению,оригиналом будет f(t) = 1,то есть множитель (t) не пишем.

Можно видеть,что показателем роста оригинала в данном случае будет s0 = 0,то есть изображение F (p) = 1/p формально определено в полуплоскости Re p > 0 (если p < 0,то интеграл просто разойдется).Но функция 1/p является аналитической во всей комплексной

2

плоскости,за исключением точки p = 0 (в этой точке 1/p имеет простой полюс).Поэтому полученный нами результат F (p) = 1/p по совместительству будет аналитическим продолжением функции

Z +1

e−pt dt

0

на всю комплексную плоскость.Поэтому можно считать,что 1 : 1/p,даже и не вспоминая про только что обойденное нами ограничение Re p > 0.

Так же элементарно можно найти изображение функции ep0t. То есть формально при вычислении интеграла считаем,что p > Re p0 (т.к.в данном случае s0 = Re p0).Но как только интеграл будет вычислен,полученный результат будет аналитическим продолжением этого самого интеграла на всю комплексную плоскость(за исключением точки p0).Таким образом,

ep0t : p −1 p0 .

Приведу еще один элементарный результат: δ(t) : 1.

Для того,чтобы найти изображение для оригинала ta (Im a = 0), надо помнить определение гамма-функции Эйлера

причем результат верен лишь при a > −1 (из-за ограничения в определении гамма-функции Эйлера).

Напомню,что интегралы вероятностей определяются,как

erf x = p2 Z x e− 2 d , Erf x = p2 Z +1 e− 2 d , erf x+Erf x = 1.

0 x

Функцию erf x называют еще функцией ошибок,а дополнительный интеграл вероятностей Erf x erfc x дополнительной функцией ошибок.Ну а в просторечии эрф малый и эрф большой.

3

Найдем изображение для оригинала e−t2

Z +1

e−t2 : e−t2−pt dt.

0

Выделяем в показателе экспоненты полный квадрат,

−t2 − pt = − t + p 2 + p2 .

2 4

Тогда замена переменной интегрирования = t + p/2 позволяет свести интеграл к дополнительному интегралу вероятностей

Пусть f(t) : F (p), g(t) : G(p), и β комплексные постоянные. Найдем изображение для оригинала f(t) + βg(t)

f(t) + βg(t) : Z +1 % f(t) + βg(t)&e−pt dt =

Z +10 Z +1

= f(t)e−pt dt + β g(t)e−pt dt = F (p) + βG(p).

0 0

Полученная нами формула f(t)+βg(t) : F (p)+βG(p) называется свойством линейности.

Упражнение:найти изображения функций sin !t, cos !t, sh !t, ch !t.Должно получиться

Конечно,эти интегралы можно вычислить просто по определению. Но гораздо быстрее будет представить эти функции в виде суммы или разности экспонент,и воспользоваться свойством линейности.

Дополнительные упражнения: 3.76.6–8.

Пусть f(t) : F (p).Найти изображение для f( t) c > 0

4

Формула

f( t) : 1 F p , >0

называется теоремой подобия.

Пусть f(t) : F (p).Найти изображения оригиналов f0(t) и f(n)(t). Начнем с первой производной

Здесь под f(0) следует понимать правосторонний предел

f(0) = lim f(t).

t!0+0

Это замечание важно иметь в виду при работе с разрывными в t = 0 функциями.

Для производной порядка n

Здесь под значениями всех производных функции f(t) при t = 0 тоже надо понимать правосторонние пределы.

Полученные формулы показывают,к чему приводит дифференцирование оригинала.

Упражнение.Найти изображения функций f(t), f0(t), f00(t),где

Дополнительные упражнения: 3.78.1–3.

Пусть f(t) : F (p).Найти оригинал для F 0(p) и F (n)(p).

5

Поскольку

Z +1

0

то,дифференцируя этот интеграл по параметру p,получаем

Z +1

F 0(p) = − tf(t)e−pt dt.

0

Если же продифференцировать n раз,получится

Z +1

F (n)(p) = (−1)n tnf(t)e−pt dt.

0

Таким образом,дифференцирование изображения приводит к формулам

F 0(p) : −tf(t), F (n)(p) : (−1)ntnf(t).

Упражнение.Найти изображение функции

f(t) = t2 ebt.

2

Результат:

Дополнительные упражнения: 3.81.3–5.

Пусть f(t) : F (p).Найти изображение для интеграла

Z t

f(t) dt.

0

Заметим,что

Z t

g(t) = f(t) dt

0

является оригиналом,причем g(0) = 0.Поскольку f(t) = g0(t),то по правилу дифференцирования оригинала

f(t) = g0(t) : pG(p).

6

Но тогда выходит,что F (p) = pG(p),или G(p) = F (p)/p.Следовательно,интегрирование оригинала приводит к формуле

Пусть f(t) : F (p).Найти оригинал для изображения

Z +1

F (p) dp.

p

Подставим выражение для F (p) через интеграл от f(t) и поменяем порядок интегрирования

Получить дифференциальное уравнение для изображения U(p) функции u(t).

7

Результат:

U0(p) − pU(p) = −p12 .

Дополнительное упражнение: 3.89.

Ну и еще упражнения: 3.91.1–4.А если не лень,то и3.91.5–12.

8

Семинар11

Пусть f(t) : F (p).Найдем изображение для f(t − ),считая положительным числом.Здесь уместно вспомнить,что f(t − ) функция-оригинал,равная нулю при t − < 0.Можно даже явно выписать функцию Хевисайда,чтобы было проще соображать.Тогда

Z +1

f(t − ) : (t − )f(t − )e−pt dt = (y = t − ) =

Формула f(t − ) : e−p F (p) называется теоремой запаздывания. Пусть f(t) : F (p), p0 произвольное комплексное число.Най-

дем оригинал для F (p − p0)

Z +1 Z +1

F (p − p0) = f(t)e−(p−p0)t dt = ep0tf(t)e−pt dt : ep0tf(t).

0 0

Формула ep0tf(t) : F (p − p0) называется теоремой смещения. Пусть f(t) : F (p), g(t) : G(p).Найдем изображение для инте-

грала типа свертки

Z t Z t

f( )g(t − ) d = f(t − )g( ) d .

0 0

Пользуясь определением,получаем

Z t Z +1 Z t

f( )g(t − ) d : e−pt f( )g(t − ) d dt.

0 0 0

Внутренний интеграл берется по от нуля до t,затем внешний берется по t от нуля до бесконечности.На плоскости переменных (t, ) область интегрирования половина первого квадранта ниже биссектрисы = t.

Изменим порядок интегрирования.Тогда внутренний интеграл будет браться по t в пределах от до бесконечности,а внешний по от нуля до бесконечности.Тогда получится

Z +1 Z t Z +1 Z +1

e−pt f( )g(t − ) d dt = f( ) g(t − )e−pt dt d .

0 0 0

1