Сухарев / Семинары_1_11

и решить соответствующую задачу Штурма Лиувилля и найти функцию v2(x, t) методом Фурье.

Недостаток описанного подхода заключается в необходимости угадывания функции v1(x, t),поскольку никакого алгоритма поиска этой функции не существует.Но мы-то с вами уже располагаем алгоритмом,позволяющим перебросить неоднородность граничных условий в уравнение.Вот давайте им и воспользуемся.

Пусть v˜(x, t) = v(x, t) и v˜x(x, t) = vx(x, t) при всех значениях x из диапазона 0 < x 6 l.Чтобы для новой функции v˜(x, t) левое граничное условие было однородным,потребуем

v˜x(0, t) − hv˜(0, t) = 0.

Тогда будет иметь место соотношение

[˜vx]x=0 − h [˜v]x=0 = −hE0e− t (t0 − t).

Используя связь обобщенной производной v˜xx и классической производной vxx(x, t),получаем обобщенную постановку задачи

v˜t = a2v˜xx − a2 [˜vx]x=0 δ(x) − a2 [˜v]x=0 δ0(x),

a2 = RC1 , 0 < x < l, 0 < t,

v˜(x, 0) = 0, v˜x(0, t) − hv˜(0, t) = 0, v˜(l, t) = 0, [˜vx]x=0 − h [˜v]x=0 = −hE0e− t (t0 − t).

Поскольку новая задача эквивалентна старой,в дальнейшем символтильда писать для краткости не будем.

Подстановка v(x, t) = T (t)u(x) в граничные условия позволяет разделить переменные,так что получаются два граничных условия на функцию u(x)

u0(0) − hu(0) = 0, u(l) = 0.

Однако теперь переменные не разделяются в дифференциальном уравнении из-за наличия неоднородности.

Напомню,что определение задачи Штурма Лиувилля вообще не содержит никаких неоднородностей.Значит,собственные функции этой задачи совершенно одинаковы как в случае однородного исходного уравнения в частных производных,так и в случае неоднородного уравнения.Поэтому временно(только при поиске собственных функций)про неоднородность дифференциального уравнения можно забыть.Т.е.делить переменные в уравнении vt = a2vxx.

2

В этом случае мы получим задачу Штурма Лиувилля в виде

u00(x) + λu(x) = 0, 0 < x < l, u0(0) − hu(0) = 0, u(l) = 0.

С этой задачей мы сталкивались,так что ее решение

вам должно быть уже известно.

Уравнение для функции T (t) при помощи обычного(простого) алгоритма разделения переменных получить невозможно,поскольку это уравнение должно включать в себя информацию о неоднородности дифференциального уравнения.Поэтому поиск этого уравнения мы оставим на потом,сразу же представив решение задачи в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма Лиувилля

X1

n=1

где функции un(x) нам уже известны,а коэффициенты ряда Tn(t) еще только предстоит найти.Про этот ряд еще часто(хоть и не вполне точно)говорят,что решение неоднородной задачи мы ищем в виде разложения по собственным функциям однородной задачи.

Подставим решение в виде ряда в неоднородное дифференциальное уравнение

Поскольку из уравнения Штурма следует u00n(x) = −λnun(x),два ряда можно объединить в один.Тогда получится

X1 #Tn0 (t) + a2λnTn(t)$ un(x) = −a2 [vx]x=0 δ(x) − a2 [v]x=0 δ0(x).

n=1

3

Чтобы избавиться от ряда в последнем равенстве,используем свойство ортогональности собственных функций задачи Штурма Лиувилля

Z l

un(x)um(x) dx = kunk2δnm.

0

Здесь я сразу учел,что в данной задаче весовая функция равна единице.

То есть умножаем обе части равенства на собственную функцию um(x) с фиксированным номером m,после чего интегрируем все по x в пределах от 0 до l.

Z l X1 #Tn0 (t) + a2λnTn(t)$ un(x)um(x) dx =

0 n=1

= Z l #−a2 [vx]x=0 δ(x) − a2 [v]x=0 δ0(x)$ um(x) dx.

0

Будем считать,что ряд можно интегрировать почленно,тогда интегрирование и суммирование можно переставить местами.Ну и функцию времени можно вынести из-под знака интеграла

Поскольку символ суммы исчез,можно для красоты заменить m на n.Поделив все на квадрат нормы собственной функции,мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение

4

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид

Tn(t) = Ane−a2λnt + T n(t),

где T n(t) какое-нибудь частное решение неоднородного дифференциального уравнения.Какое-нибудь,потому что таких частных решений существует бесконечно много.

Предположим(временно),что какое-нибудь T n(t) уже найдено (например,угадыванием,или методом вариации произвольной постоянной),т.е.эту функцию можно считать известной.Тогда решение задачи будет иметь вид

n=1

Избавляемся от ряда традиционным способом умножением всего равенства на собственную функцию um(x) с последующим интегрированием по x.Тогда получается

An + T n(0) un(x)um(x) dx =

=An + T n(0) un(x)um(x) dx =

Ряд исчез,можно заменить m на n.Поделив на квадрат нормы собственной функции задачи Штурма Лиувилля,получаем

An = −T n(0), n = 1, 2, . . .

Стало быть,ответ задачи имеет вид

X1

v(x, t) = T n(t) − T n(0)e−a2λnt un(x).

n=1

5

Однако частное решение T n(t) мы пока еще для этой задачи не нашли,так что ответ не совсем еще ответ.Как его искать?

Если удается угадать сразу это будет лучшим вариантом.Например,если бы Fn(t) было бы постоянной,то и частное решение было бы константой.Но в рассматриваемой задаче Fn(t) функция,причем совсем не простая.

Для поиска частного решения T n(t) можно использовать метод вариации произвольной постоянной,если вы помните,как это работает.

Но мне больше нравится другой подход.Заметим,что среди всех возможных частных решений T n(t) есть такое,которое минимизирует длину ответа исходной задачи.Именно,если T n(0) = 0,то экспонента в ответе исчезает,и он принимает вид

X1

n=1

Наличие дополнительного требования T n(0) = 0 позволяет утверждать,что вот это вот специальное частное решение на самом деле есть решение задачи Коши

Tn0 (t) + a2λnTn(t) = Fn(t), 0 < t, Tn(0) = 0.

Задачу Коши для неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и однородными начальными условиями можно решить на основе принципа Дюамеля.Этот принцип позволяет выразить решение задачи с неоднородным уравнением через интеграл от решения задачи с однородным уравнением,но специальным образом подобранными начальными данными.

Подробнее:пусть имеется задача Коши для неоднородного уравнения(с постоянными коэффициентами)с однородными начальными условиями

тогда ее решение представляется в виде интеграла типа свертки

Z t

V (t) = w(t − , ) d .

0

6

где χ постоянный параметр.Обратите внимание,что левая часть уравнения абсолютно такая же,что и для V .А неоднородным делают только одно(последнее)начальное условие.

То есть нашли решение w(γ,χ) задачи с однородным уравнением, затем сделали формальную замену γ ! t − , χ ! ,после чего проинтегрировали результат.

Посмотрим,как это работает на примере интересующей нас задачи.Ищем решение задачи Коши с неоднородным уравнением

Tn0 (t) + a2λnTn(t) = Fn(t), 0 < t,

Tn(0) = 0.

Согласно принципу Дюамеля,решение этой задачи(которое,напомню,мы обозначаем символом T n(t))представляется в виде

Z t

T n(t) = w(t − , ) d .

0

Функция wn(γ,χ) решение вспомогательной задачи

wn0 + a2λnwn = 0, 0 < γ , wn|γ=0 = Fn(χ).

Решаем вспомогательную задачу.В начальном условии Fn(χ) это просто постоянная,поэтому

wn(γ,χ) = Fn(χ)e−a2λnγ.

Делаем замену γ ! t − , χ ! и подставляем это в интеграл

Z t

T n(t) = Fn( )e−a2λn(t− ) d .

0

Чтобы вычислить интеграл,вспоминаем явный вид функции Fn(t)

7

Здесь Bn просто постоянная.Ее мы потом сосчитаем. Тогда

Z t

T n(t) = Bne− (t0 − )e−a2λn(t− ) d .

0

Если t < t0,то из-за того,что 0 < < t < t0,функция (t0 − ) будет равна единице на всем интервале интегрирования,т.е.

Z t

T n(t) = Bne− e−a2λn(t− ) d , t < t0.

0

Если t0 < t,то на интервале 0 < < t0 функция (t0 − ) будет равна единице.А на интервале t0 < < t нулю.Поэтому

Z t0

T n(t) = Bne− e−a2λn(t− ) d , t0 < t.

0

От функции Хевисайда избавились,можно интегрировать.В слу-

T n (t) = Bn te− t, t < t0, T n (t) = Bn t0e− t, t0 < t.

Этот результат может быть получен не только непосредственным интегрированием(хотя,по-моему,так проще).Его можно добыть из

8

При t > t0 получится

v(x, t) = Bn t0e− t sin p (la− x) +

Здесь pλn положительные корни трансцендентного уравнения

p tg pλnl = − hλn ,

а коэффициенты Bn и Bn определены формулами выше.Если отношение /a2 не совпадает ни с одним из собственных значений задачи Штурма Лиувилля,первое слагаемое(то,которое стоит отдельно от ряда)исчезнет из ответа.

Если использовать классический подход к решению этой задачи, т.е.искать решение в виде v(x, t) = v1(x, t) + v2(x, t),то простейшим выбором функции v1(x, t) будет

v1(x, t) = hE0e− t (t0 − t)1l +−hlx .

Тогда для поиска функции v2(x, t) получится следующая задача

9

Задача Штурма Лиувилля и ее решение будут совершенно теми же,что и раньше.Подстановка ряда

X1

n=1

в неоднородное дифференциальное уравнение для функции v2 даст формально то же самое

Tn0 (t) + a2λnTn(t) = Fn(t), 0 < t, n = 1, 2, . . . ,

но с другой неоднородностью

Интеграл здесь быстрее всего вычислить,основываясь на свойстве самосопряженности.

Решение задачи формально прежнее,

То есть даже если потребовать T n(0) = 0,то экспонента из ответа не исчезнет:

10

Для функции T n(t) выходит формально та же задача Коши

Tn0 (t) + a2λnTn(t) = Fn(t), 0 < t,

Tn(0) = 0.

Поэтому и решение имеет такой же вид

Z t

После подстановки явного вида Fn(t) получаем

T n(t) = Bn Z t e− e−a2λn(t− )# (t0 − ) + δ(t0 − )$ d .

11