Сухарев / Семинары_1_11

Семинар1

По всей вероятности,вам уже знакомо понятие дельта-функции Дирака(придуманной,кстати,вовсе не Дираком).Напомню,что обозначается она символом δ(x),а физическое ее определение имеет вид

Если f(x) какая угодно функция,имеющая определенное значение в точке x = 0,то

Z +1

f(x)δ(x) dx = f(0).

−1

Пределы интегрирования в этих интегралах вовсе не обязательно должны быть бесконечными.Чтобы интеграл от дельта-функции не был равен нулю,нужно лишь попадание точки x = 0 в интервал интегрирования.Причем эта точка может быть даже и одним из концов интервала интегрирования.Так,

Давайте посмотрим на определение дельта-функции Дирака с точки зрения классического математического анализа.Именно,рассмотрим самый первый из выписанных здесь интегралов от дельтафункции.

Поскольку дельта-функция разрывна,интеграл этот несобственный.Значит,по правилу вычисления несобственных интегра-

Предел каждого из интегралов в правой части равенства есть нуль. В самом деле,интервалы интегрирования [−1, −"] и [", +1] не содержат точки x = 0.Значит,с точки зрения классического анализа

Z +1

δ(x) dx = 0,

−1

1

если считать,что дельта-функция Дирака отлична от нуля лишь в точке x = 0.

То есть физическое определение дельта-функции Дирака оказывается несостоятельным с классической точки зрения,одна часть определения прямо противоречит другой.Если функция(какая угодно)отлична от нуля лишь в одной точке,интеграл от этой функции есть нуль.Если интеграл от некоторой функции не равен нулю,эта функция обязана быть отличной от нуля на некотором множестве точек(ненулевой меры,если вы знакомы с понятием интеграла Лебега и,собственно,меры множества),например,на каком-нибудь конечном отрезке.

Отсюда можно сделать довольно простой(однако забавный)вы- вод.Дельта-функция Дирака это вообще не функция.В классическом анализе объект с такими свойствами просто невозможен.

Следствие из этого вывода(тоже нескучное):интеграл от дельтафункции это вообще не интеграл.Просто потому,что интегрировать мы можем только функции.Невесть что интегрировать,увы, нельзя.

Если вы пишете дифференциальное уравнение,явно содержащее дельта-функцию,то это уже не дифференциальное уравнение.Ну и так далее.Короче говоря,полный бардак.

Несмотря на эти странности,физики давно(с конца девятнадцатого века)и успешно пользуются дельта-функцией при вычислениях. Плевать они хотели на математические затруднения,все же преотлично работает.Потому и математикам пришлось напрячь мозги и наконец выдумать что-нибудь годное в этой области.

Первая удачная попытка математиков разобраться в этом вопросе это изобретение понятия слабого предела(это было сделано на рубеже девятнадцатого и двадцатого веков).Можете погуглить,чем он отличается от обычного.Ну а полная ясность была внесена после работ Соболева в тридцатые годы двадцатого века.Тут,правда,случилась мировая война и всем стало как-то не до отвлеченных исследований.Так что вся эта теория пошла в народ лишь после выхода двухтомной монографии Лорана ШварцаTh´eorie des distributionsв 1950–1951годах.Соболев,кстати,после этого стал академиком АН

СССР.Ну а Шварц в1950году получил медаль Филдса.

То,что изобрели Соболев и Шварц,называется теперь теорией обобщенных функций(это у нас)или теорией распределений(это у них).Дельта-функция Дирака как раз и является самым ярким

2

примером обобщенной функции(или распределения).

Всилу того,что лекции несколько запаздывают по отношению

ксеминарам,придется мне выдать вам немного теории.Но учтите, что писать здесь я буду только самое необходимое.То есть то,что потребуется на практических занятиях.Так что определения будут не вполне строгими(а иногда и совсем нестрогими).За строгими определениями к лектору.Ведь надо же ему что-то вам рассказывать.Вдобавок этими(опускаемыми мной)нюансами можно помучить вас на экзамене.

Прежде всего обсудим физическую мотивацию обобщенных функций.Рассмотрим функцию распределения плотности какой-нибудь физической величины.Обычно,кстати,говорят просто плотность , так короче.Ну хотя бы обычную плотность,или,как еще говорят, массовую плотность(плотность массы) (x).Эта функция не имеет непосредственного физического смысла,ее нельзя измерить.В самом деле,как на практике строится эта функция?Берем объект,плотность которого нас интересует.Делим его на малые(но конечные) объемы,измеряем величину этих объемов и их массу.Затем делим одно на другое.После чего для получения непрерывной функции используем предельный переход,устремляя величину объемов к нулю. То есть после физических измерений приходится проделывать массу

чисто математических операций.Вот и выходит,что функция (x) по способу своего получения не имеет физического смысла.

Плотность (x) не имеет физического смысла и по способу использования.Физический смысл имеют лишь интегралы от произве-

дения плотности на какие-то другие функции

Z +1

( ,' ) = (x)'(x) dx.

−1

Здесь ( ,' ) всего лишь обозначение числа,получающегося в результате вычисления определенного интеграла.Не путайте его со скалярным произведением.Так,если '(x) = 1,то ( ,' ) будет массой объекта,если '(x) квадрат расстояния до некоторой точки,то ( ,' ) будет моментом инерции относительно этой точки,если '(x)скорость,то ( ,' ) будет импульсом и так далее.

Получается,что если для определенного набора функций '(x) известны числа ( ,' ),то вообще отпадает необходимость описывать(x) как функцию точки.Ведь в этом случае известно правило,по которому каждой функции из определенного класса ставится в соответствие число ( ,' ),т.е.плотность можно трактовать не как

3

функцию,а как функционал.А именно эти числа нас в конечном счете и интересуют,сама же функция (x) выступает лишь в качестве вспомогательного инструмента.Плотность ,понимаемая как функционал,является примером того,что в современной математической физике называется обобщенной функцией.

Замечу,что обобщенные функции можно вводить и не как функционалы.А,например,как предельные элементы слабо сходящихся функциональных последовательностей(см.,например,учебник Арсенина Методы математической физики ).Но в математической физике с функционалами работать поудобнее.Во всяком случае не нужно на каждом шаге пределы последовательностей вычислять.

При построении теории обобщенных функций необходимо выбрать какой-нибудь конкретный вид функционала.При этом из физических соображений удобно взять за основу функционал вида

Z +1

( ,' ) = (x)'(x) dx.

−1

Это удобство особенно ярко проявляется в математической физике. В самом деле,ведь при решении задач постоянно приходится вычислять определенные интегралы от произведения каких-то величин. Вспомните,скажем,метод Фурье или метод функции Грина.

Кстати,пусть вас не смущает одномерность интеграла.Можно запилить и многомерные обобщенные функции,но начинать проще

содного пространственного измерения(надеюсь,в этом курсе мы одним измерением и ограничимся).Ну и с бесконечными пределами тоже работать проще.Все равно мы будем считать,что функции '(x) равны нулю вне некоторого отрезка,так что в действительности (в конкретных физических задачах)интегралы будут вычисляться

сконечными пределами.Ну,почти всегда.

Вообще,под обобщенной функцией обычно понимается любой линейный непрерывный функционал,определенный на множестве основных функций.При этом функционал обозначается символом , а результат его действия на основную функцию символом ( ,' ).Под основными функциями обычно понимают любые бесконечно дифференцируемые функции,отличные от нуля лишь на конечном интервале.То есть на бесконечности эти функции гарантированно равны нулю,как я и писал раньше.Отмечу еще раз,что это нестрогие определения.Кое-чего здесь не хватает,но прямо сразу взрывать вам мозг не хочется.Это работа лектора.

4

Вообще говоря,такой выбор основных функций(т.е.области определения функционала)не является единственным.Для решения конкретных задач основные функции можно выбирать и по-другому. Например,для использования дельта-функции Дирака можно и не требовать бесконечной дифференцируемости основных функций.

Линейность функционала означает,что для любых двух действительных чисел 1, 2 и для любых двух основных функций '1(x)

и'2(x) имеет место равенство ( , 1'1 + 2'2) = 1( ,' 1)+ 2( ,' 2). Непрерывность функционала означает,что если существует пре-

дел последовательности основных функций limn!1 'n(x) = '(x),то существует и предел limn!1( ,' n) = ( ,' ).

Для приведенного выше интеграла эти свойства очевидны.Однако не все обобщенные функции можно представить в виде определенного интеграла.Поэтому обобщенные функции делятся на два вида.

Регулярными обобщенными функциями называются функционалы,представимые в виде интеграла

Z +1

( ,' ) = (x)'(x) dx,

−1

где ядро интеграла (x) есть локально интегрируемая функция(т.е. функция,интегрируемая на любом конечном промежутке).В силу определения основных функций реально этот интеграл вычисляется в конечных пределах,поэтому локальной интегрируемости вполне достаточно.

Сингулярными обобщенными функциями называются все остальные обобщенные функции.Примером является дельта-функция Дирака.Как мы видели ранее,нельзя подобрать классическую функцию δ(x) так,чтобы

Z +1

δ(x)'(x) dx = '(0).

−1

Т.е.определить дельта-функцию Дирака с использованием риманова интеграла(да и любого другого интеграла,например интеграла Лебега)нельзя.Фактически дельта-функция Дирака определяется как функционал δ,действующий по правилу (δ,' ) = '(0).Т.е.дельтафункция это правило,по которому каждой основной функции ставится в соответствие ее значение в точке x = 0.Интеграл,написанный перед этим,является всего лишь привычным обозначением

5

этого правила,но вовсе не интегралом в обычном нашем понимании. Таким образом достигается единообразие обозначений.

Регулярные обобщенные функции исключительно удобны тем, что между ними и локально интегрируемыми функциями имеется взаимно однозначное соответствие.С одной,правда,оговоркой:соответствие однозначно с точностью до значений локально интегрируемой функции на конечном множестве точек.Например,локально интегрируемые функции

эквивалентны одной и той же регулярной обобщенной функции,поскольку

Эквивалентность локально интегрируемых функций и регулярных обобщенных функций позволяет особенно не задумываться,с чем же именно мы работаем при решении конкретных задач.Достаточно помнить правила обращения с этими объектами,а результат решения задачи математической физики всегда может быть представлен в виде классической функции.То есть обобщенные функции (в том числе и сингулярные,кстати)появляются лишь на промежуточных этапах решения(например,в постановке задачи),никогда не попадая в ответ.Здесь можно привести аналогию с аппаратом теории функций комплексной переменной,используемым при вычислении определенных интегралов на действительной прямой.

Эта же эквивалентность привела к тому,что функционалы стали нередко обозначать как (x),причем не только в случае регулярных,но и в случае сингулярных обобщенных функций(вспомним привычное обозначение дельта-функции Дирака δ(x) вместо математически корректного δ).Такие обозначения на первых порах сильно сбивают с толку.В самом деле,мы привыкли,что x в скобках это аргумент функции.В случае же функционала x аргументом функционала уже не является.Говорить о значении функционала в точке вообще не имеет смысла.В самом деле,чему равен в точке x инте-

6

грал

Z +1

(x)'(x) dx?

−1

Очевидно,ответа на этот вопрос не существует.

Тем не менее говорить о том,что функционал равен нулю на неко-

математически корректным является лишь утверждение о равенстве нулю на интервалах (−1, 0) и (0, +1).

имеет место ( 1, ') = ( 2, ').

Вообще,свойства регулярных обобщенных функций вытекают из свойств определенного интеграла

Z +1

(x)'(x) dx,

−1

а свойства сингулярных обобщенных функций фактически вводятся по определению.

Линейной комбинацией обобщенных функций 1 1+ 2 2,где 1 и2 действительные числа,называется функционал,действующий

по правилу ( 1 1 + 2 2, ') = 1( 1, ') + 2( 2, ').

Можно определить умножение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую(не обобщенную!)функцию h(x).Тогда обобщенная функция h есть функционал,действующий по прави-

лу (h ,' ) = ( , h').

Заметим,что определить умножение обобщенных функций на обобщенные функции так же,как и для обычных функций,увы, нельзя.То есть объект типа δ2(x) (квадрат дельта-функции Дирака)построить не удается.

7

В обобщенных функциях можно производить замену переменных (напомним,что это фактически замена аргумента не у самого функционала,а у функций,на которые он действует).Тогда обобщенная функция (ax + b) есть функционал,действующий по правилу

В многомерном случае |a| будет якобианом перехода к новым переменным.Ну а в скобках вместо деления на a надо будет умножать на a−1,т.е.на матрицу,обратную к a.

Здесь может быть непонятным появление модуля числа a.Давайте проделаем замену переменных в интеграле более подробно,чтобы это свойство(для регулярных обобщенных функций)стало очевидным.Итак,

Но так будет только в случае a > 0.Если же a < 0,то после замены переменных пределы интегрирования поменяются местами

Поскольку в случае a > 0 будет a = |a|,то как раз и выходит нужная формула.

Производной от обобщенной функции называется функционал 0, действующий по правилу ( 0, ') = −( ,' 0).В случае производной порядка n ) (n), '* = (−1)n ) ,' (n)*.Часто такой функционал называют обобщенной производной.

В отличие от предыдущих свойств,последнее свойство уже не так очевидно.Продемонстрируем,как это получается на примере регулярной обобщенной функции

8

Здесь при интегрировании по частям мы учли,что в силу определения основной функции '(±1) = 0.Ну а в случае производной порядка n по частям придется интегрировать n раз,потому и возникает множитель (−1)n.

Функционал называется пределом последовательности обобщенных функций { n}1n=1 (т.е. = limn!1 n),если для любой основной функции имеет место limn!1( n, ') = ( ,' ).В случае регулярных обобщенных функций это не что иное,как слабый предел.Другими словами,функционал есть предельный элемент слабо сходящейся последовательности(если вы все-таки загуглили,что это такое).

Разумеется,обобщенные функции обладают и другими свойствами,но едва ли на семинарах нам понадобится что-то еще.

Перейдем теперь к рассмотрению примеров.Будем отталкиваться от свойств обобщенных функций и определения дельта-функции Дирака,данных в предыдущем вопросе.

Исходя лишь из математических соображений выясним,как действует смещенная дельта-функция δ(x−x0).Подействуем этим функционалом на основную функцию,тогда

(δ(x − x0), '(x)) = (δ(y), '(y + x0)) = '(0 + x0) = '(x0).

Первое равенство получено с использованием правила замены переменных в обобщенной функции.Второе равенство получено из определения дельта-функции(т.е.правила,по которому всякой функции '(y) ставится в соответствие ее значение при y = 0).Таким образом, смещенная дельта-функция ставит в соответствие любой основной функции ее значение в точке x = x0.

Первое равенство получено по правилу замены переменной,второепо определению дельта-функции.Третье равенство тоже получено из определения дельта-функции,но уже в другую сторону .Четвертое равенство получено с использованием правила линейной комбинации обобщенных функций.Из равенства самого первого и самого последнего выражения вытекает равенство соответствующих обобщенных функций.Следовательно, δ(ax) = δ(x)/|a|.Отсюда немедленно δ(−x) = δ(x),т.е.получаем своеобразный аналог свойства четности.

9

Действуя функционалом h(x)δ(x) на основную функцию,находим

(hδ,' ) = (δ, h') = h(0)'(0) = h(0)(δ,' ) = (h(0)δ,' ).

Поэтому h(x)δ(x) = h(0)δ(x).Здесь я уже не поясняю выкладки подробно.Каждое равенство опирается на какое-либо из уже известных нам свойств.

Последний результат позволяет существенно упрощать выражения,включающие дельта-функцию Дирака(обычную или смещен-

ную).Так, xδ(x) = 0, δ(x) sin x = 0, δ(x) cos x = δ(x) и т.д.Это об-

стоятельство особенно важно при обобщенном дифференцировании. Я настоятельно рекомендую вам после вычисления каждой производной обязательно упрощать результат.Иначе формулы разрастаются до совершенно безумных рамеров,ну а результат становится просто нечитаемым.Да и ошибиться гораздо легче.

Действуя функционалом δ0(x) на основную функцию,находим

(δ0, ') = −(δ,' 0) = −'0(0).

Т.е.производная от дельта-функции ставит в соответствие любой дифференцируемой функции ее производную в точке x = 0,взятую с обратным знаком.

Как записать функцию плотности заряда,если имеется всего один точечный заряд q,расположенный в точке x = 0?А никак, если оставаться в классе обычных функций.Только использование обобщенных функций позволяет указать соответствующий функци-

онал: (x) = qδ(x).

Ну а как сделать то же самое в многомерном случае?В декартовых координатах раз плюнуть: (x, y, z) = qδ(x)δ(y)δ(z).

Ранее я писал,что операция умножения для обобщенных функций не определена,а здесь,вроде,присутствует произведение.Как такое может быть?Дело в том,что это произведение(прямое произведение обобщенных функций)включает обобщенные функции с разной областью определения(а вовсе не с одной и той же,как было бы для несуществующего произведения δ(x) · δ(x)).У δ(x) область определения основные функции вида '(x), у δ(y) основные функции вида (y) и т.д.

Чуть-чуть поинтереснее будет записать функцию плотности заряда(т.е.соответствующий функционал)в криволинейных координатах.Пусть теперь заряд расположен в точке с декартовыми коор-

динатами (x0, y0, z0).Тогда (x, y, z) = qδ(x − x0)δ(y − y0)δ(z − z0).

10