Теория групп / лекции теоргрупп_Ломоносова

|S=1, Ms=-1> =

|S=0, Ms=0> = (1/ 2)( - )

Подобным же образом постулируется, что оба нуклона T=1/2, причем T3=+1/2 для протона, T3=-1/2 для нейтрона, образуют три симметричные и одну антисимметричную комбинации. Состояние с полным изоспином нуклон-нуклонной системы T=1 и T=0 могут быть построены аналогично спину:

Здесь p и n – волновые функции протона и нейтрона.

Например, рассмотрим дейтрон d=(pn) – это частица с орбитальным моментом L=0 и спином S=1. Изотопический спин дейтрона равен Td=0, изотопический спин -мезона равен T =1. Поскольку изоспин сохраняется, то отсюда следует, что запрещена реакция:

d + d d +d + 0. (Изоспин конечного состояния T=1)

Группа SU(2) и локальная калибровочная инвариантность слабых взаимодействий

Глобальная неабелева калибровочная симметрия SU(2)

Элемент группы SU(2) U( ) действует на вектор состояния по правилу U =exp(-i(j/2) j); (U )+=+exp(i(j/2) j). В случае фундаментального представления описывается двухкомпонентным спинором. Значение =const одно и то же и в Москве, и на Марсе, и во всей Вселенной. Поэтому такая симметрия называется глобальной. Это не противоречит принципам нерелятивистской физики, поскольку скорость света в нерелятивистской области бесконечна, и любая информация о физическом явлении распространяется мгновенно.

Локальная калибровочная SU(2)-симметрия

Рассмотрим теперь локальную реализацию изотопической теории. В релятивистской области благодаря конечности скорости света должно происходить запаздывание полученной информации: если мы повернули вектора состояния, например, в пределах своей экспериментальной установки, то в этом мысленном эксперименте вектора состояния повернутся с запаздыванием, равным времени прохождения сигнала от экспериментальной установки до данной точки пространствавремени. Т. е. параметр в релятивистской области должен зависеть от пространственновременных точек x : (x). Эту идею высказали в 1954 году Янг и Миллс. Переименуем g, где g – заряд, определяющий слабое взаимодействие.

Пусть лагранжиан свободных спинорных (описываемых двухкомпонентными спинорами и являющихся фундаментальным представлением группы SU(2)) частиц с массой m и слабым зарядом g, определяющим константу связи слабых взаимодействий, имеет вид:

L = i+ / x - m+

где и - некоторые числовые матрицы.

Очевидно, что такой лагранжиан инвариантен относительно глобальной калибровочной группы SU(2), но не инвариантен относительно локальной группы SU(2). Действительно, производная / x

содержит дополнительное слагаемое в фигурных скобках, которое нарушает локальную инвариантность.

( / x ){exp[-i( j/2)g j(x)] (x)} = exp[-i( j/2)g j(x)] { / x - ig( j/2)( j(x)/ x )} (x).

Чтобы сохранить локальную калибровочную инвариантность лагранжиана, необходимо скомпенсировать второе слагаемое в фигурных скобках, которое имеет форму 4-вектора и содержит три произвольные функции j(x) (j=1,2,3). Для этого надо построить ковариантную производную:

D =( / x + igA ), включающую в себя 4-векторную атричную функцию A (x):

(A )ki= j3Aj ( j/2)ki

Для того, чтобы ковариантная производная преобразовывалась так же, как , и сокращала все три производных от j(x), необходимо, чтобы одновременно с поворотом U , поля Aj вели себя следующим образом:

A A ` =UA U+ - i( U/ x )U+

Когда мы вводим ковариантную производную и заменяем в лагранжиане обычную производную на ковариантную D , мы не только компенсируем локальную неинвариантность, а, что самое главное, вводим взаимодействие с тремя полями, квантами которых являются открытые в 80-е годы XX века тяжелые бозоны (частицы со спином 1) W+-бозон, W- -бозон и Z0-бозон с массами порядка 80 масс протона (W ) и с массой порядка 90 масс протона (Z0). Они являются квантами слабого поля и “переносчиками” слабого взаимодействия, равно как фотон является квантом электромагнитного поля и “переносит” электромагнитное взаимодействие от одной заряженной частицы к другой.

Это было одно из самых замечательных открытий второй половины XX века, за которое присуждена Нобелевская премия открывшему W-бозоны известному экспериментатору Карло Руббиа. Эти поля носят название полей Янга – Миллса, а бозоны называют калибровочными бозонами слабого взаимодействия.

Лекция №15 по теории групп

“На свете есть столь серьезные вещи, что говорить о них можно только шутя.” Нильс Бор

Необходимость существования более широкой группы симметрии

Исторически в “докварковую” эпоху наличие больших мультиплетов, например, барионного октета из восьми частиц с небольшим разбросом по массе (но значительно бòльшим, чем в изотопических мультиплетах), со спином ½ и положительной четностью или декуплета из десяти похожих по свойствам частиц привело физиков к пониманию того, что, кроме изотопической группы SU(2), должна существовать более широкая группа симметрии G. Предполагалось, что гамильтониан октета (или декуплета) должен быть инвариантен относительно искомой группы G, включающей в себя в качестве подгруппы группу SU(2).

В формуле Гелл-Манна – Нашиджимы Q = T3 +Y/2 складываются компонента изотопического вектора T3 и изотопический скаляр, гиперзаряд Y. Математически это допустимо, но некрасиво. Поэтому физики стали искать расширенную группу, по отношению к которой T3 и Y стали бы равноправными и описывались диагональными генераторами. Если мы хотим иметь два коммутирующих диагональных генератора, надо использовать группу (и алгебру) Ли второго ранга. В 50-е годы XX столетия физики еще не были большими знатоками теории групп, воспринимая группу изоспина как группу вращений, и пытались использовать для построения расширенных мультиплетов группы вращений O(4) и O(5). Но это не привело к успеху. Группа более высокой симметрии должна содержать изотопическую группу SU(2) в качестве подгруппы, каждый изотопический мультиплет полностью лежит в некотором мультиплете новой симметрии. Естественным обобщением изотопической инвариантности является теория симметрии, в которой каждый мультиплет может содержать частицы с разными зарядами, изотопическими спинами и гиперзарядами. Такая группа симметрии должна иметь еще один генератор, связанный с гиперзарядом. Таким образом, группа должна содержать два коммутирующих генератора, ранг группы равен 2. Правильные мультиплеты частиц удалось получить только с помощью группы SU(3). Почему природа выбрала именно группу SU(3) – пока остается загадкой.

Когда были открыты кварки, группа SU(3) оказалась точной группой симметрии цветовых зарядов кварков.

Группа SU(3)

Множество унитарных унимодулярных бесследовых матриц 3 3 с detU=1 образует группу SU(3). Число существенных параметров 32-1=8 (в группе SU(n) (n2-1) существенных, независимых параметров). В группе, естественно, 8 генераторов. Ранг группы 2, т.е. в группе два коммутирующих генератора – две бесследовые диагональные матрицы. Фундаментальным представлением группы SU(3) является триплет ~ 3. В современной интерпретации три цветовых заряда кварка (красный (К), зеленый (З) и синий (С)) (К, З, С) определяют фундаментальное представление группы. Кварки обладают спином 1/2 и являются фермионами. Их собственные векторы:

Произвольный элемент группы имеет вид:

U = exp(-i jFj), Fj = Fj+, SpFj=0 (j=1, ...8) (2)

Генераторы группы Fj удовлетворяют коммутационным соотношениям:

[Fj, Fk] = ifjklFl. (3)

Обычно вместо Fj используются матрицы Гелл-Манна j.

Fj=(1/2) j

Структурные константы fjkl образуют полностью антисимметричную форму. Отличные от нуля структурные константы равны:

Диагональными являются только две матрицы F3 и F8.

Матрицы Гелл-Манна нормированы условием:

Первые три матрицы на квазидиагонали вверху содержат матрицы Паули, которые окаймлены нулевыми строчкой и столбцом. Они образуют генераторы подгруппы группы SU(3), изоморфной группе SU(2). Генераторы 1, 2, 3 фактически действуют в подпространстве, натянутом на собственные векторы |K> и |З>. Эти генераторы порождают T-изоспиновую подгруппу группы

SU(3).

Матрицы 6 и 7 вместе с линейной комбинацией матриц 3 и 8

0 0 -1

порождают другую SU(2)-подгруппу рассматриваемой группы, которая действует в пространстве, натянутом на собственные векторы |З> и |C>. Она называется U-спиновой подгруппой.

Третью SU(2)-подгруппу, действующую в подпространстве, натянутом на состояния |K> и |C>, порождают матрицы 4, 5 и матрица

0 0 0 0 0 -1

Она называется V-спиновой подгруппой группы SU(3).

Физическая группа SU(3) представляется группой унитарных операторов, действующих в пространстве всех цветовых состояний кварков.

Восемь эрмитовых операторов группы Fi при i=1,2,3 дают Fi=Ti. Остальные две SU(2)-подгруппы имеют генераторы U1 U2, U3 (соответствующие матрицам 6, 7 и 3), а также V1,V2, V3 (соответствующие матрицам 4, - 5, - 3). Таким образом, получаем

T3 = F3, U3 = (-1/2)F3 + ( 3/2)F8, V3 = (-1/2)F3 – ( 3/2)F8.

Существуют три поколения кварков: (u) up – “ап”-кварк; (d) down – “даун”-кварк; (c) charm – “очарованный” (или “прелестный”) кварк; (s) strange – “странный” кварк; (t) top – “топ”-кварк; (b) bottom или beauty – “нижний” (или “красивый”) кварк.

u c t Q=2/3

d s b Q= -1/3

p - протон (uud); n - нейтрон (udd); +-мезон (u͞d); -гиперон (uds); K+-мезон (u͞s)

Открытие в 1951 году +p-резонанса ++-изобары с кварковым составом (uuu), зарядом 2 и спином S=3/2 и с тремя одинаковыми проекциями спина +1/2 противоречило принципу запрета Паули для фермионных состояний. Именно это обстоятельство потребовало введения нового квантового числа

– цвета, различного для трех u-кварков. Каждый из 6 кварков обладает тремя состояниями – несет заряд либо красный (К), либо зеленый (З), либо синий (С). Эти заряды являются источниками сильного (ядерного) поля. Группа симметрии SU(3) для них является точной, т.е. ненарушенной.

Если от глобальной симметрии перейти к локальной, то наличие 8 параметров в группе требуют введения 8 компенсирующих полей, кванты которых названы глюонами. Существуют 8 глюонов. Каждый глюон обладает комбинацией цветов, например, красно-синий, сине-зеленый и т.д.

Впервые на существование кварков указали Фейнман и Гелл-Манн.

Тензорный анализ групп SU(n)

Неприводимые представления группы SU(n)

1 Одномерное единичное представление U 1. Инфинитезимальные операторы Ai=0.

2 Одним из неприводимых представлений с наименьшей размерностью, отличной от 1, является фундаментальное представление – сама группа рассматривается как представление U U. Инфинитезимальные операторы – это генераторы группы Ai=Xi.

3 Другое неприводимое представление с наименьшей размерностью – это контраградиентное к фундаментальному представление U*, совпадающее с сопряженным для унитарных представлений. Инфинитезимальные операторы Ai = Xi = -XiT .

Обозначения

Базисные ортонормированные векторы в пространстве L1, которое преобразуется по фундаментальному представлению, ei (i=1,…n) обладают свойством ортонормированности

(ei,ek)= ik.

В преобразовании U вектор ei превращается в вектор e`i:

e`i=Uei=Ukiek.

Пусть - вектор в L1 с компонентами k

= kek.

При преобразовании U этот вектор превращается в вектор ` с компонентами

`k=Ukj j. (1)

Будем называть векторы, преобразующиеся по фундаментальному представлению (1),

ковариантными спинорами первого ранга.

`i1…iq = U*i1k1…U*iqkq k1…kq = k1…kqU+k1i1…U+kqiq. (5)

Эти векторы называются контравариантными спинорами q-го ранга. Соотношение (2) является законом преобразования компонент контравариантных спиноров q-го ранга.

Рассмотрим пространство Lp q, которое преобразуется по представлению (p раз по представлению U и q раз по представлению U*):

U … U U* … U*

Введем в этом пространстве ортонормированный базис ei1…ipk1…kq :

(ei1..ipk1…kq, ej1…jpm1…mq) = i1j1… ipjp k1m1… kqmq.

Тогда действие операторов U и U* на базисный вектор имеет вид:

Upqei1…ipk1…kq = Uj1i1…UjpipU*m1k1…U*mqkqej1…jpm1…mq

Компоненты вектора pq = i1…ipk1…kqei1…ipk1…kq преобразуются по закону:

`i1…ipk1…kq = Ui1j1…UipjpU*k1m1…U*kqmq j1…jpm1…mq. (7)

Эти векторы называются смешанными спинорами, ковариантными p раз и контравариантными q раз. В дальнейшем будем пользоваться в пространствах типа Lp q компонентами этих спиноров.

Отметим, что по аналогии с формулами (3) и (6)

(+)k1…kqi1…ip = (i1…ipk1…kq)* (7`)

Рассмотрим теперь три специальных спинора высших рангов в пространстве L1 1 с компонентами

Рассмотрим также спиноры n-го ранга в пространстве Ln и L n с компонентами

где - совершенно антисимметричный тензор n-го ранга.

Для спинора (8) в силу условия UU+=1 имеем закон преобразования

`ik = UijU*km jm = UijU+jk = (UU+)ik = ik. (11)

Для спиноров (9) и (10) в силу условия detU=1 (надо доказать!) получим:

Следовательно, компоненты спиноров (8)-(10) не меняются при всех преобразованиях группы SU(n)

– эти спиноры являются инвариантами группы SU(n).

Неприводимые представления

подпространства ортогональны, так как скалярное произведение ik на произвольный спинор ik равно следу этого спинора.

Указанный метод свидетельствует, что спиноры с нулевым следом образуют неприводимые представления. Формула (20) представляет разложение произвольного спинора ik на неприводимые. Первый спинор в этой формуле имеет n2-1 компонент, а второй является инвариантном.

Инвариантность суммы ii является частным случаем следующего общего утверждения. Если смешанный спинор (p+q)-го ранга p раз ковариантный и q раз контравариантный, то сумма (свертка по индексу i) ii2…ipik2…kq является смешанным спинором (p+q-2)-го ранга, (p-1) раз ковариантного и (q-1) раз контравариантного. Доказательство этого очень важного утверждения аналогично доказательству инвариантности суммы ii.

Рассмотрим теперь спиноры высших рангов. Из любого ковариантного спинора p-го ранга можно образовать полностью симметричный спинор (i1…ip), который неприводим. Аналогично при p меньшим или равным n можно образовать полностью антисимметричный спинор. Полностью антисимметричный спинор p-го ранга имеет Cnp = (1/p!)n(n-1)…(n-p+1) компонент (число сочетаний из n по p). Полностью симметричный спинор p-го ранга имеет (1/p!)n(n+1)…(n+p-1) компонент. Кроме этих спиноров существуют также и другие спиноры, симметризованные по некоторым парам индексов, а затем антисимметризованные по другим парам. Эти спиноры характеризуются схемами Юнга, содержащими клетки: антисимметричным индексам соответствуют клетки, расположенные в одном столбце, а симметризованным индексам – в одной строке. Например, любой ковариантный спинор третьего ранга можно представить в виде суммы четырех неприводимых спиноров: полностью симметричного

(abc) = (1/6)( abc + bac + bca + cba + cab + acb),

полностью антисимметричного

[abc] = (1/6)( abc - bac + bca - cba + cab - acb),

спинора, симметризованного по индексам а и b, а затем антисимметризованного по b и с

(a[b)c] = (1/3)( abc + bac - acb - cab)

и спинора, симметризованного по индексам b и c, а затем антисимметризованного по a и b

[a(b]c) = (1/3)( abc + acb - bac - bca)

Им соответствуют схемы Юнга:

a b c

a

b

c