Теория групп / лекции теоргрупп_Ломоносова

Если - корень, то - - тоже корень, 2 - не корень. Все ненулевые корни не вырождены (каждый корень соответствует одному генератору). Нулевой корень вырожден. Степень вырождения нулевого корня равна рангу группы. Это следует из коммутаторов Hi.

Положительные корни – которые имеют первую ненулевую компоненту – их ровно половина корней.

Простые корни – это положительные корни, которые нельзя представить в виде линейной комбинации с положительными коэффициентами других положительных корней. Число простых корней равно рангу группы.

Например, в группе SU(2) один простой корень, равный +1.

Справедливы утверждения:

1 Длина и углы между простыми корнями полностью определяют алгебру Ли.

2 Все корни могут быть вычислены в терминах простых корней. Именно набор простых корней определяет алгебру Ли группы.

3 Простые корни полупростых групп Ли имеют либо одинаковую длину, либо две разные длины.

4 Существуют только четыре возможных значения углов между простыми корнями: 0, 30, 45, 60, 90 градусов.

Все эти утверждения наглядно представляются с помощью диаграмм Дынкина. Диаграммы Дынкина обладают целым рядом полезных свойств. Например, удаление одного корня с края вместе с линией, связывающей его с остальной диаграммой, приводит к новой диаграмме Дынкина, которая отвечает алгебре другой группы. Удаление корня из середины диаграммы вместе с линиями, которые на него замыкаются, приводит к несвязанным диаграммам, которые отвечают прямому произведению соответствующих алгебр групп.

Диаграммы Дынкина нескольких групп Ли. На рисунке кружочками обозначены простые корни.

Лекция №13 по теории групп

“В человеческом подсознании глубоко укоренилась мысль о логичности мироздания. Но в реальности мироздание всегда на один шаг выше логики.” Франк Герберт

SU(n) – симметрии

Группы SU(n)

Группы SU(n), наряду с группами SO(n) исследованы Картаном. Каждой канонической алгебре Картана соответствует одна и только одна форма с вещественными параметрами, приводящая к компактной группе.

Рассмотрим сначала группу U(n) – группу унитарных n n матриц. Из условия VV+=1 следует, что |detV|2=1. Отсюда detV=exp(i ), где - вещественное число. Введем новую матрицу

V=exp(i )U.

Матрица U является унимодулярной: U+U=1, detU=1.

Матрицы U образуют группу SU(n). Поскольку фактор exp(i ) сам образует группу U(1), то мы представили группу U(n) в виде прямого произведения групп: U(1) SU(n).

Рассмотрим группу SU(n). Число существенных параметров в группе равно n2-1, это размерность группы, число ее генераторов.

Ранг группы SU(n) равен n-1. Ранг группы очень важен для физических приложений, для квантовой теории: если гамильтониан системы инвариантен относительно какой-либо группы Ли G, то его генераторы коммутируют с гамильтонианом, а набор коммутирующих между собой генераторов можно одновременно с гамильтонианом привести к диагональной форме – они отвечают сохраняющимся величинам.

Фундаментальным представлением группы является совокупность n-мерных унитарных унимодулярных матриц:

U+U=1 (или U+=U-1), det U=1,

действующих на n-мерный обобщенный спинор vi (i=1,...,n). Обобщенный спинор vi преобразуется по закону:

(vi)` = Ukivk.

Элемент группы по экспоненциальной теореме имеет вид:

U( 1, 2,...) = exp( jXj) Из условия унитарности U+=U-1 следует, что exp( jXj+) = exp(- jXj), т.е.

генераторы группы являются антиэрмитовыми матрицами размерности n n:

Xj+=-Xj.

Введем операторы (матрицы) Aj=iXj или Xj=-iAj.

Матрицы Aj – эрмитовы: Aj+=(iXj)+=-iXj+=iXj=Aj. Следовательно, Aj можно привести к диагональному виду. Потребуем теперь, чтобы det U=1.

det U( )=det{exp(-i jAj)}=1; Aj представим в диагональной форме:

-i jAj = 1 0... 0 K

0 20...0

. . . . . . .

Поэтому SpK=0. Отсюда следует, что все генераторы группы SU(n) бесследовые.

Соотношение det{expK}=exp{SpK} называется формулой Якоби.

Группа SU(2)

Группа U(2) = U(1)SU(2).

Группа U(1) является абелевой инвариантной подгруппой группы U(2).

В квантовой теории поля группа U(1)SU(2) лежит в основе электрослабой теории, объединяющей электромагнитные и слабые взаимодействия в единую теорию.

Число существенных (независимых) параметров в группе – три и, соответственно, три генератора.

Ранг группы SU(2) равен 1.

Эта группа играет не только важную роль с теории спина (приложение к теории спина получено давно, в 30е годы прошлого столетия), но является одной из ведущих в современном построении Стандартной модели.

Группа параметризуется двурядными комплексными унитарными (унимодулярными) матрицами UU+=1 с дополнительным условием detU=1.

Общий вид матрицы U с комплексными матричными элементами:

Отсюда c=-b* и d=a*. Унитарная матрица имеет вид:

-b* a*

В матрице U на четыре вещественных параметра (a и b – комплексные числа) накладывается одно дополнительное условие (2) – остаются три независимых параметра.

Перейдем к действительным параметрам, обозначим:

2a=x0-ix3; 2b=-x2-ix1. Тогда

U = 1/2 x0-ix3 ; -x2-ix1

x2-ix1 ; x0+ix3

Из соотношения (2) следует форма многообразия группы SU(2):

x02+x12+x22+x32=1

Введем совершенно антисимметричный тензор второго ранга = - , 12=1.

Детерминант любой матрицы определяется соотношением:

detA = i1i2…inAi1,1Ai2,2…Ain,n.

Для n=2 докажем соотношение:

i`j`Aii`Ajj` = ijdetA. (*)

ijdetA = ij i`j`Ai`1Aj`2 = { ii` ij`}Ai`1Aj`2 = ( ii` jj` - ij` ji`}Ai`1Aj`2 = Ai1Aj2 – Aj1Ai2.

{ ji` jj`}

i`j`Aii`Ajj` = 1j`Ai1Ajj` + 2j`Ai2Ajj` = 12Ai1Aj2 + 21Ai2Aj1 = Ai1Aj2 – Aj1Ai2.

Формула (*) обобщается на произвольное значение n.

Тензор тоже инвариантен относительно преобразований группы, как и символ Кронекера .

Тензоры и являются инвариантами всех групп SU(n).

С помощью тензора можно поднимать и опускать индексы:

.

Удобно ввести спиноры с нижним индексом:

.

Тензор переводит спиноры фундаментального представления в спиноры сопряженного представления:

* ~ .

Спинор преобразуется с помощью обратной матрицы представления U-1, так как U-1=U+.

Можно ввести обозначение

*

Тогда оба инварианта (2`) и (4`) фактически имеют общую структуру:

= invariant.

Мы всегда рассматриваем действие генераторов группы на базисные векторы или спиноры в пространстве представления, это называется “активные преобразования”. При любом суммировании нижние индексы всегда сворачиваются с верхними. При этом:

(U+) = (U )*.

Из унитарности матриц представления следует, что комплексно-сопряженный базисный спинор или вектор преобразуется как спинор или вектор сопряженного базиса.

Эти соглашения справедливы для любой группы SU(n).

Однако в группе SU(2) есть дополнительная специфика из-за наличия тензора = . Сопряженное представление в группе SU(2) эквивалентно фундаментальному представлению.

Произвольное представление группы из фундаментального

Малое изменение произвольного базисного спинора или вектора |A> определяется действием генераторов группы:

|A> = jXj|A> = i jJj|A>.

Для произведения векторов (или спиноров) получаем:

(|A>|B>) = ( |A>)|B> + |A>( |B>)

Отсюда Jj(|A>|B>) = (JjA + JjB)|A>|B>.

Т. е. генераторы действуют аддитивно на произведение базисных векторов или спиноров представления.

Построение неприводимых представлений основано на симметризации и антисимметризации тензоров прямого произведения представлений, иначе говоря, на симметризации и антисимметризации произведения базисных волновых функций. Произведение симметричного тензора на антисимметричный всегда дает нуль:

SikAik = SkiAki = -SikAik = 0.

Поэтому пространства, натянутые на симметризованные и антисимметизованные базисные функции, ортогональны друг другу, не пересекаются и являются инвариантными подпространствами, а соответствующие им представления неприводимы.

Базисный спинор для прямого произведения k неприводимых представлений имеет вид:

= 1 1... k k

Его следует симметризовать и антисимметризовать по индексам 1, 2, ... k.

В случае прямого произведения двух неприводимых представлений k=2 легко получить полный набор базисных векторов.

Обозначим симметризованную комбинацию круглыми скобками ( 1 2), а антисимметризованную комбинацию квадратными скобками [ 1 2]. Индексы 1 и 2 принимают для группы SU(2) два значения +1/2 и -1/2 или сокращенно + и -.

В пространстве размерности 2 2 получается три симметризованных базисных спинора и один антисимметризованный:

1+ 2+; (1/ 2)( 1+ 2- + 1- 2+); 1- 2-.

(1/ 2)( 1+ 2- - 1- 2+)

Таким образом, симметризованное произведение двух фундаментальных представлений преобразуется по представлению 3:

12( 1 2) ~ 3.

Антисимметризованное представление – по единичному представлению 1.

12[ 1 2] ~ 1.

В случае группы SU(n) индексы 1 и 2 принимают значения от 1 до n. Число базисных функций (спиноров) в векторном пространстве фундаментального представления группы равно n

(пространство Ln). Для прямого произведения представлений число базисных функций равно n n=n2. Число симметризованных базисных функций будет равно n(n+1)/2, а число антисимметризованных базисных функций будет равно n(n-1)/2.

Символически запишем для SU(2):

2 2 = 3 1

Это означает, что для прямого произведения двух фундаментальных представлений J=1/2 получающаяся матрица размерности 44 представляется в виде квазидиагональной матрицы, где на квазидиагонали стоят матрицы 3 3 и 11 – число.

Аналогичный анализ приводит к разложениям

2 2 2 = 2 2 4,

3 3 = 5 3 1.

Корневая диаграмма группы SU(2) такая же, как и для группы SO(3):

Лекция №14 по теории групп

“Тот, кто хочет видеть результаты своего труда немедленно, должен идти в сапожники.” Альберт Эйнштейн

Гомоморфизм группы SU(2) SO(3)

Алгебры обеих групп одинаковы – изоморфны, однако сами группы не изоморфны. Чтобы это доказать, построим эрмитову бесследовую матрицу:

x+iy -z

Если теперь преобразовать матрицу H с помощью унитарной матрицы U SU(2):

x`+iy` -z`

сохраняет эрмитовость и равенство нулю следа, так как матрица U унитарна. Определитель матрицы H` тоже остается тем же самым в силу унитарности U:

-detH = x2+y2+z2 = x`2+y`2+z`2 = -detH`.

Преобразование r` = Rr – линейное. Матрица R должна быть ортогональной, чтобы сохранялась норма вектора r. Тем самым мы ввели правило, по которому каждой унитарной матрице U SU(2) сопоставляется ортогональная матрица R SO(3). Иначе говоря, унитарное преобразование матрицы H индуцирует вращение вектора положения r. Т.е. SU(2)-преобразование над спинором

эквивалентно SO(3)-преобразованию над вектором r: U R. Однако это преобразование не является изоморфизмом хотя бы потому, что в правило входят две матрицы U и U+. Если сменить знак U -U, то U+ -U+, то матрица H` не изменится. Следовательно, двум различным унитарным матрицам, например, 1 0 и -1 0 отвечает одна ортогональная R= 1 0 0

0 0 1

C алгебраической точки зрения можно записать:

SO(3) SU(2)/C2,

Это значит, что ортогональная группа изоморфна факторгруппе унитарной группы по дискретной инвариантной подгруппе, состоящей из двух элементов (единичной и минус единичной матриц

2 2).

Чтобы явно построить дифференцируемое отображение SU(2) на SO(3), ограничимся однопараметрической подгруппой. Выберем вращение вокруг оси y.

Генератор X2, принадлежащий алгебре SO(3), имеет вид: X2 = 001

000

-100

Генератор X2=(-i/2) 2, принадлежащий алгебре SU(2), имеет вид: (-i/2) 2 = 1/2 0-1

1 0

Восстановим по экспоненциальной теореме элементы соответствующих групп:

O( ) = exp(X2) = cos 0 sin SO(3)0 1 0

-sin 0 cos

U( ) = exp(-i2/2) = cos /2 - i2sin /2 = cos /2 -sin /2 SU(2) sin /2 cos /2

Отображение задается правилом U( )O( ).

Рис.1. Многообразия групп SU(2) и SO(3): сфера S3 и проективная сфера RP3 с отождествленными (показано стрелками) диаметрально противоположными точками “экватора”.

Однопараметрическая подгруппа отвечает “меридиану”, показанному на Рис.1. Угол =0 соответствует единичной матрице I (“северному полюсу” на рисунке). Увеличивая угол , мы непрерывно пройдем через “экватор” = к “южному полюсу” =2, где U=-I. Матрица U вернется к исходному значению I только при =4. В группе SO(3) “северное” и “южное” полушария

соответствуют одному и тому же вращению. Каждый образ O( ) в SO(3) имеет два прообраза U( )

и U( +2 ) в SU(2).

Когда у каждой точки образа имеются дискретные прообразы, отображение называется накрытием. Например, числовую ось можно представить как нить, которая наматывается на окружность R S1. Каждой точке окружности соответствует бесконечное число прообразов. Такое отображение называется бесконечнолистным накрытием.

Хотя алгебры Ли групп SU(2) и SO(3) изоморфны, сами группы не изоморфны. Окрестность единицы в обеих группах устроена одинаково, а глобальная топология групп разная. Группа SU(2) является накрывающей для группы SO(3).

Исторический пример:

Группа SU((2) и изотопическая инвариантность сильных взаимодействий

Экспериментальные исследования ядерных сил привели к гипотезе о зарядовой независимости ядерного (сильного) взаимодействия между нейтронами и протонами, обобщением которой является гипотеза об изотопической инвариантности сильных взаимодействий барионов (сильно взаимодействующих частиц с полуцелым спином) и мезонов (сильно взаимодействующих частиц с целым спином). В теории изотопической инвариантности предполагается, что мезоны и барионы образуют изотопические мультиплеты, описываемые неприводимыми представлениями группы

SU(2).

Частицы в одном изотопическом мультиплете имеют разные заряды и рассматриваются как различные состояния одной и той же частицы, соответствующие различным собственным

значениям оператора T3. Операторы Ti коммутируют с операторами углового момента и спина, поэтому все частицы в изомультиплете имеют один и тот же спин. Заряд каждой компоненты изомультиплета связан с оператором T3 формулой Гелл-Манна – Нашиджимы:

Q=T3+Y/2.

Квантовое число Y называется гиперзарядом.

Матрица гиперзаряда Y кратна единичной в любом заданном представлении SU(2).

Таблица некоторых изотопических мультиплетов. В скобках указаны массы частиц в MeV.

Если взглянуть на таблицу масс элементарных частиц, станет ясно, например, что массы нейтрона и протона удивительно близки друг к другу. Можно интерпретировать этот факт, как указание на то, что здесь мы имеем дело с двумя проявлениями одной и той же частицы, названной нуклоном (если выключить электромагнитные взаимодействия, достаточно слабые по сравнению с сильными взаимодействиями), подобно тому, как электроны со спинами, направленными вверх и вниз, представляют собой разные состояния одной частицы, а не две разные частицы. Характеристика нейтрона и протона с учетом их сходства по отношению к сильному взаимодействию почти во всем математически аналогична спину и называется изоспином (изотопическим спином).

Изоспин вводится с учетом того, что нуклон можно рассматривать как систему, обладающую внутренней степенью свободы с двумя разрешенными состояниями – протоном (p) и нейтроном (n). Поэтому возникает симметрия SU(2), в которой (p, n) образуют фундаментальное представление – изотопический дублет. Такая симметрия является математической копией спиновой симметрии.

Для изоспиновых генераторов выполняются те же коммутационные соотношения: [Ti,Tj] = i ijkTk.

В фундаментальном представлении для генераторов (матриц Паули) принимаются обозначения:

Они действуют на протонное и нейтронное состояния, представляемые в виде базисных спиноров:

p = 1 ; n = 0 N = p

Частице с наибольшим положительным зарядом отвечает максимальное значение проекции T3.

Такой подход оказывается удобным. В виде иллюстрации рассмотрим систему двух нуклонов. Каждый нуклон имеет спин ½ (со спиновыми состояниями и ), и, согласно правилам сложения моментов, система может иметь спин S=1 или S=0. Состав этих состояний, триплетного и синглетного по спину:

|S=1, Ms=1> =