Теория групп / лекции теоргрупп_Ломоносова

j kXjXk = k jXkXj + Cjki k jXi, отсюда:

[Xj,Xk] = CjkiXi, что и требовалось доказать.

3 теорема

Структурные константы группы удовлетворяют соотношению:

CijsCksp + CkisCjsp + CjksCisp = 0 (4)

Доказательство соотношения следует тривиально из тождества Якоби.

По сути, алгеброй группы Ли называется множество элементов jXj, замкнутых относительно

сложения, умножения на число и существования скобки Ли (коммутатора). Генераторы группы Xj являются образующими алгебры.

Утверждение. Всякой алгебре Ли отвечает, как правило, единственная связная (односвязная)

группа Ли.

Часто, когда мы произносим термин “группа”, мы подразумеваем алгебру группы.

Эти утверждения дают достаточное условие однозначного восстановления группы по ее алгебре. По алгебре группы с помощью экспоненциальной теоремы восстанавливается элемент группы. Например, в группе трехмерных вращений SO(3) три параметра – три угла Эйлера или три угла вращения вокруг осей x, y и z. Генераторы группы пропорциональны (с точностью до мнимой единицы) операторам момента Jx, Jy, Jz. Поэтому произвольный элемент группы SO(3) имеет вид:

g( 1, 2, 3) = exp{-i(Jx 1+Jy 2+Jz 3)} ( 1, 2, 3 – углы поворота). Мы рассмотрим эту группу подробно на предстоящих лекциях.

Представления групп Ли

Все результаты и понятия абстрактной теории групп, за исключением тех, для которых существенной является конечность порядка группы, продолжают выполняться и для непрерывных групп, в том числе и для групп Ли. Подгруппы, смежные классы, инвариантные подгруппы (их в теории непрерывных групп называют идеалами), фактор-группы и т. п. определяются так же, как и раньше. Подгруппа соответствует подпространству группового многообразия. Теория групп обеспечивает нас операциями на групповых пространствах (многообразиях).

Простая группа Ли – это, как и для конечных групп, группа, не имеющая инвариантных подгрупп, а полупростая – не имеющая абелевых инвариантных подгрупп.

Линейным представлением группы Ли является n-мерная матричная группа, на которую группа G гомоморфно отображена. Матрица D(g) соответствует элементу g G. Если это представление – изморфизм, то представление является точным. Матрицы D(g), как всегда, действуют на векторы n- мерного векторного пространства. Пусть L – некоторое векторное пространство. Линейные представления группы Ли определяются так же, как линейные представления конечных групп. Каждому элементу группы мы ставим в соответствие линейный оператор D(g). Операторы D(g) действуют на векторы в евклидовом или гильбертовом пространстве. Операторы удовлетворяют обычным групповым требованиям:

D(g1)D(g2)=D(g1g2); D(e)=I; D(g-1)=D-1(g).

Можно вместо непосредственного поиска представлений группы Ли рассмотреть тесно связанную с ней задачу о нахождении представлений ее алгебры Ли. В этом случае каждому элементу A алгебры Ли поставим в соответствие линейный оператор D(A) со свойствами алгебры Ли:

D(A+B)=D(A)+D(B)

D( A)= D(A)

D([A,B])=D(A)D(B)-D(B)D(A)=[D(A), D(B)].

Инфинитезимальному разложению элементов группы вблизи единичного элемента (1): g(j) = 1 + jXj (при j<<1), где Xj= g(j)/j| j=0 - генераторы группы,

очевидно, будет соответствовать инфинитезимальное разложение матриц представления группы:

Утверждение. Всякое приводимое или неприводимое представление компактной группы Ли эквивалентно некоторому унитарному представлению.

Всякое приводимое представление группы Ли разлагается на неприводимые, каждое из которых имеет конечную размерность. Теоремы о характерах, соотношения ортогональности сохраняются, как в конечных группах.

Для некомпактных групп возникают различного рода трудности.

Оператор Казимира

В процессе нахождения неприводимых представлений алгебры Ли очень полезным оказывается оператор Казимира.

Оператором Казимира С называется квадратичная комбинация генераторов, которая коммутирует со всеми генераторами группы.

C=gikXiXk; [C,Xi]=0. (7)

Здесь gik – пока произвольный коэффициент – обычно это метрика пространства.

Так как оператор Казимира коммутирует со всеми генераторами группы, он коммутирует со всеми операторами представления. Если мы рассмотрим какое-либо неприводимое представление, то оператор C будет коммутировать со всеми операторами (матрицами) представления, и,

следовательно, по 1-ой лемме Шура он кратен единичному оператору (матрице).

Оператор Казимира C классифицирует неприводимые представления группы. Набор его собственных векторов, принадлежащих одному собственному значению, образует базис неприводимого представления группы.

Например, в группе вращений SO(3) оператором Казимира является квадрат момента J̑2=J̑x2+J̑y2+J̑z2. Число J классифицирует неприводимые представления группы.

Для каждого неприводимого представления оператор Казимира характеризуется некоторым вполне определенным числом, которым можно пользоваться, чтобы задавать это неприводимое представление. Для компактных групп в специально подобранном базисе gik=ik оператор Казимира записывается в виде C = iXi2 .

В общем случае число коммутирующих линейных операторов (матриц) (которые одновременно можно привести к диагональному виду) для данной алгебры Ли определяет ранг группы.

Например, ранг группы SO(3) равен 1, так как только один оператор Jz коммутирует с J2 и имеет диагональную форму одновременно с J2.

Основные представления групп Ли.

Рассмотрим теперь различные представления, связанные с данным представлением D(g) и имеющие такую же размерность, что и D, но не эквивалентные представлению D.

1Тривиальное представление. У каждой группы Ли есть тривиальное представление g D(g)=1. В нем каждый генератор представляется нулем.

2Фундаментальное представление. У матричной группы Ли есть фундаментальное (определяющее) представление, которое образовано матрицами самой группы. Фундаментальное представление характеризуется тем, что из него можно построить все остальные представления (например, из спиноров в группе спина можно построить векторы и тензоры).

3Присоединенное представление. Присоединенное представление характеризуется тем, что в нем генераторы группы совпадают со структурными константами. Коммутационные соотношения генераторов оказываются правильными благодаря соотношениям между структурными константами (3 теорема). Размерность присоединенного представления равна, очевидно, числу генераторов в группе, т. е. числу параметров группы. Это представление аналогично регулярному представлению для конечных групп.

4Сопряженное представление. Если соответствие g D(g) является некоторым представлением группы G, то соответствие g D(g)*, где D* матрица, комплексно-сопряженная к D, может служить также представлением группы G. Это представление называется сопряженным к D представлением и обозначается D*.

5Контраградиентное представление. Соответствие g D(g-1)T = [D(g)-1]T является также представлением группы G. Действительно, положим D(g) = D(g-1)T. Покажем, что выполняется групповая операция.

D(g1) D(g2) = D(g1-1)TD(g2-1)T = [D(g2-1)D(g1-1)]T = D(g2-1g1-1)T = D((g1g2)-1)T = D(g1g2).

Это представление называется контраградиентным к D представлением и обозначается D.

Для унитарных представлений контраградиентное представление D совпадает с сопряженным D*.

Действительно, так как D(g)+=D(g)-1=D(g-1) отсюда следует, что

D(g)*=D(g-1)T.

Инфинитезимальные преобразования и законы сохранения

Условие инвариантности физической системы относительно преобразований ее группы симметрии G может быть записано в виде:

Ĥg=gĤ, но тогда это условие выполняется и для генераторов группы XjĤ=ĤXj.

Следовательно, условие выполняется и для матриц представления: ĤD(g)=D(g)Ĥ,

и для инфинитезимальных матриц Aj группы (формула (6)):

AjĤ = ĤAj.

Вместо матриц Aj введем матрицы Bj=-iAj. Покажем, что если представление унитарно, то матрицы Bj эрмитовы. Действительно, запишем условие унитарности представления D(g) с точностью до членов, линейных по параметрам группы. Получим:

I = D+(g)D(g) = (I - iBj+ j)(I + iBj j). Отсюда следует, что: j(Bj+ - Bj) = 0 или в силу независимости параметров:

Bj+ = Bj.

Эрмитовы матрицы Bj также коммутируют с гамильтонианом Ĥ:

ĤBj = BjĤ. (8)

В квантовой механике эрмитовы операторы или эрмитовы матрицы сопоставляются физическим величинам, а соотношение коммутации (**) означает, что соответствующая физическая величина является интегралом движения.

Таким образом, законы сохранения в квантовой механике можно рассматривать как следствие симметрии гамильтониана относительно некоторой непрерывной группы преобразований.

Лекция № 12 по теории групп

“Быть умным очень легко: сначала придумай глупость, а потом скажи нечто прямо противоположное.”

Группа вращений SO(3)

Множество вращений образует группу SO(3) – любое вращение есть элемент этой группы. Группа вращений представляет непрерывную группу, группу Ли, каждое вращение задается набором непрерывно меняющихся параметров - углов 1, 2, 3.

В общем случае группа SO(n) задается ортогональными матрицами n n. Ортогональные матрицы сохраняют скалярное произведение и, следовательно, квадрат n-мерного вектора, поэтому число существенных параметров в группе SO(n) равно: r=n2-n-n(n-1)/2=n(n-1)/2. При n=3 в группе SO(3)

три существенных параметра – три угла.

Групповое многообразие группы SO(3)

Поворот можно рассматривать как вращение на угол вокруг единичного вектора n, координаты которого на единичной сфере задаются углами и сферической системы координат. Увеличим радиус единичного шара до значения , тогда можно отсчитывать координату вдоль радиуса, причем каждая точка внутри шара соответствует элементу группы. Повороты на угол 2 можно рассматривать как повороты на угол 0 вокруг вектора -n. Но поворот ровно на угол вокруг осей n и -n представляет одно и то же преобразование (или поворот на угол и на угол - ), поэтому следует отождествить все пары диаметрально противоположных точек сферы (“сфера кусает сама себя”).

Действительно:

Единичный вектор n в сферических координатах имеет компоненты: nx=sin cos , ny=sin sin , nz=cos .

Параметризация при вращении на угол вокруг единичного вектора n:

Ax=( / )sin cos , Ay=( / )sin sin , Az=( / )cos .

Ax2+Ay2+Az2=1 при = .

При переходе от n к -n - , + .

Поворот на угол = вокруг вектора n: Ax=sin cos , Ay=sin sin , Az=cos .

Поворот на угол = вокруг вектора -n:

Ax=(- / )sin (-cos )=sin cos , Ay=(- / )sin (-sin )=sin sin , Az=(- / )(-cos )=cos ,

так как sin( - )=sin , cos( - )= -cos , sin( + )=-sin , cos( + )=-cos .

Получившееся множество – это групповое многообразие группы SO(3), так как, отождествив противоположные точки сферы, мы убрали границу и сделали все точки равноправными. Многообразие получилось связным, но неодносвязным, поскольку теперь нельзя стянуть в точку путь, проходящий через концы диаметра шара. Такое многообразие невозможно нарисовать в трехмерном евклидовом пространстве, это означает, что оно не вкладывается в трехмерное пространство. SO(3) вкладывается в четырехмерное евклидово пространство. Такое многообразие называется проективной сферой и обозначается RP3.

Уравнение для проективной сферы: x02+x12+x22+x32=1, x0 0, диаметрально противоположные точки “экватора” отождествлены.

Итак, группа задается ортогональными вещественными матрицами O: OOT=1 или O-1=OT.

Группа компактная, но неодносвязная.

Элемент группы восстанавливается по экспоненциальной теореме:

O = exp( iXi), где Xi (i=1,2,3) – три генератора группы. Из соотношения O-1=OT следует: O-1=exp(- iXi)=OT=exp( iXiT).

Из этого соотношения получаются свойства генераторов группы вращений:

Это антисимметричные или, так называемые, кососимметричные матрицы.

Число коммутирующих генераторов, которые одновременно можно привести к диагональной форме, равно 1, ранг группы SO(3) равен 1. (Рангом группы Ли называется число генераторов,

которые коммутативны и соответственно которые можно одновременно привести к диагональному виду.)

Действие оператора O на радиус-вектор r дает новый повернутый радиус-вектор r`:

Запишем радиус-вектор r`и r в виде столбца: r`= x` =O x или r`=Or; r`T=rTOT.

y` y

z` z

r`Tr`=rTOTOr=rTr, т.е. ортогональные матрицы сохраняют квадрат вектора.

Запишем элемент группы как произведение трех матриц, осуществляющих вращения вокруг трех декартовых осей x, y, z:

Легко проверить, что коммутатор генераторов группы [Xi,Xk]=eiklXl.

Определим операторы (совпадающие с операторами момента в квантовой механике) Jk=iXk со стандартными коммутационными соотношениями для операторов момента [Ji,Jk]=ieiklJl Операторы Jk эрмитовы на основании (1).

Покажем на примере элемента O3=exp{X3 3}, что его разложение в ряд Тейлора приведет к правильной матрице вращения O3 на угол 3 (X32=-X3):

exp(X3 3) = 1 + X3 3 + (X3 3)2/2! + ... +(X3 3)n/n! + ... =

Представление на гладких функциях

O3(x,y,z) = [O3-1(x,y,z)] = [(xcos3+ysin3), (-xsin3+ycos3), z] 3<<1

[(x+y3), (-x3+y), z].

Отсюда действие генератора X3 на волновую функцию:

X3(x,y,z) = /3{O3(x,y,z)} 3=0 = [ / (x+y3)][ (x+y3)/3] 3=0 +

Очевидно, что мы получим компоненты оператора момента в квантовой механике с хорошо известной алгеброй момента. Оператор Казимира: J2 = - , . Операторы J = J1 iJ2.

J3|jm> = m |jm>

J+|jm> = [(j-m)(j+m+1)]1/2|jm+1>

J-|jm> = [(j+m)(j-m+1)]1/2|jm-1>.

Всего имеется (2j+1) векторов состояний при каждом заданном j, которое определяется собственным значением оператора Казимира, j классифицирует неприводимые представления группы. Набор матриц неприводимого представления при каждом j имеет размерность (2j+1)(2j+1). Число “ступенек” леcтничных операторов J является целым числом (2j+1), чему соответствует как целое, так и полуцелое значение j. Чтобы понять, что полуцелые значения j

недопустимы в группе SO(3), восстановим с помощью экспоненциальной формулы элемент группы, соответствующий вращению на угол 3 вокруг оси z: O3=exp(-iJ3 3)=exp(-im 3). Если m принимает целые значения, то получается 2 -периодическая функция, как и должно быть при пространственных вращениях. При полуцелом j и полуцелом m период функции становится вдвое больше, что не должно иметь место при пространственных вращениях. Отсюда следует, что набор матриц четной размерности, отвечающий полуцелому j, не является представлением группы SO(3).

Неприводимые (унитарные) представления группы SO(3) всегда имеют нечетную размерность (2j+1 и классифицируются квантовым числом j, называемым в теории групп весом.

Канонический базис Вейля – Картана и группа SO(3)

Картан показал, что коммутаторы полупростой алгебры Ли могут быть всегда приведены к форме, напоминающей вид коммутаторов Jz, J+, J- группы вращений. При этом основной характеристикой алгебры оказывается ее ранг – максимальное количество линейно-независимых генераторов группы, коммутирующих друг с другом.

Понятие ранга группы чрезвычайно важно для квантовой теории. Если гамильтониан квантовой системы инвариантен относительно какой-либо группы G, то коммутирующие между собой генераторы, которые коммутируют с гамильтонианом, являются одновременно сохраняющимися величинами.

Пусть в общем случае генераторы группы размерности r имеют вид X1, ... Xr.

Пусть в группе имеются l коммутирующих между собой генераторов, которые, естественно, можно одновременно привести к диагональному виду. Очевидно, что ранг группы равен l. Обозначим их H1, ..Hl. Hk – это образующие подалгебры Картана (они аналогичны оператору J3). Все оставшиеся генераторы обозначим E , их число четно, они образуют пары типа J . Для любой полупростой группы Ли существует набор операторов, в котором коммутационные соотношения выглядят следующим образом:

[Hk,E- ] = - kE-

[Hi,Hk] = 0

Вектор k в l-мерном пространстве называется корнем: =( 1,..., l).

Канонический базис для группы SO(3) составляют генераторы E J+, E- J- и H Jz. Ранг группы l=1 (один генератор H Jz приводится к диагональной форме). Коммутационные соотношения имеют вид:

[Jz,J+] = (+1)J+

[Jz,J-] = (-1)J-

[J+,J-] = 2Jz

В группе SO(3) корень принимает два значения +1 и -1.

Графическое изображение корневой диаграммы имеет вид:

Корневая диаграмма одномерная, так как ранг группы равен 1.

Поскольку неприводимые представления классифицируются квантовым числом j, а матрица O3 в каноническом базисе диагональная, она имеет вид:

O3(3) = e-ij 3 0 0 . . . 0

0 e-i(j-1) 3 . . . 0

. . . . . . . . . . . . .

0 0 0 . . . eij 3

Характер j-того неприводимого представления группы вращений при повороте на угол 3 равен:

(j)( ) = k=-jj eik = sin[(j+1/2)]/sin( /2).

Композиция неприводимых представлений группы SO(3)

Рассмотрим два неприводимых представления группы D(j) и D(j`) группы SO(3), которые реализуются в гильбертовых линейных пространствах L2j+1 и L2j`+1. Обозначим канонические базисы этих представлений соответственно

uk(j) (k=-j,-j+1, ... , j)

vm(j`) (m=-j`,-j`+`, ... ,j`).

Образуем прямое произведение (композицию) неприводимых представлений D(j)D(j`). Прямое произведение реализуется в пространстве L(2j+1)(2j`+1). В качестве ортов в этом пространстве выбираются всевозможные произведения базисных функций uk(j)vm(j`), которые обозначим wkm(jj`).

Преобразование ортов определяется формулой

D(g)wkm(jj`) = s=-jj Dsk(j)(g)us(j) r=-j`j` Drm(j`)vr(j`) = s,r {D(j)(g)D(j`)(g)}sr,km wsr(jj`).

Найдем инфинитезимальные матрицы прямого произведения. Разлагая каждую из матриц D(j) и D(j`) по степеням параметров i, получим

D(j)D(j`) = (I2j+1 + iAi(j))(I2j`+1 + iAi(j`))

Отсюда следует, что инфинитезимальные матрицы прямого произведения представлений имеют вид

Ai(jj`) = Ai(j)I2j`+1 + I2j+1Ai(j`).

Покажем, что орты w будут собственными векторами матрицы J3(jj`)=-iA3(jj`) с собственными значениями (k+m). Действительно:

J3(jj`)wkm = {J3(j)ukI2j`+1vm} + {I2j+1ukJ3(j`)vm} = k uk vm + uk m vm = (k+m)wkm.

Сумма (k+m) может принимать 2(j+j`)+1 значений: от (-j-j`) до (j+j`). Поскольку число ортов wkm равно (2j+1)(2j`+1), то часть собственных значений (k+m) будет вырождена. Отсюда следует, что за исключением случая j=j`=0 прямое произведение представлений является приводимым и может быть разложено в прямую сумму неприводимых представлений (кронекеровское разложение или разложение Клебша-Гордана), пространство при этом разбивается на инвариантные ортогональные подпространства, в каждом из которых реализуется одно из неприводимых представлений группы вращений.

D(j)D(j`) = D(j+j`)D(j+j`-1) ... D|j-j`|.

Мы приходим к хорошо знакомому закону сложения моментов в кантовой механике.

Алгебра момента в квантовой механике (напоминание, если вы забыли!)

Алгебра оператора момента (в единицах ħ=1)

Действие основных операторов момента на сферические функции Ylm( , ) (в единицах ħ=1)

Дополнение (не входит в вопросы зачета и экзамена)

Элементы общей теории групп Ли

(без доказательств)

В каноническом базисе Картана – Вейля для полупростых групп размерности r, имеющих s (s<r) коммутирующих между собой генераторов H1, … Hs, коммутационные соотношения имеют вид:

[Hj E ] = jE [Hj E- ] =- jE-

[Hi Hj] = 0.

Вектор в s-мерном пространстве называется корнем.

= ( 1,…, s).

Остальные коммутационные соотношения менее важные, они имеют вид:

[E E- ] = i Hi, i=1,…s.

[E E ] = N , E + .

Коэффициенты вычисляются в терминах корней. Их свойства:

N , 0, если + = корень,

N , = 0, если + не корень.

Простейшие свойства корней: