Теория групп / лекции теоргрупп_Ломоносова

2.(D D`)D``=D (D` D``) - ассоциативность

3.(D1D`1)(D2D`2)=(D1D2)(D`1D`2) – сохранение групповой операции

4.Sp(D D`)=SpD SpD` - перемножение характеров.

Разложение на неприводимые представления

Разложением Клебша – Гордана или кронекеровским разложением называется разложение прямого произведения неприводимых представлений в прямую сумму неприводимых представлений:

D( )(g) D( )(g) = a D( )(g) (здесь a - целые числа)

Правила отбора

Теория групп дает простой подход к нахождению правил отбора для матричных элементов перехода различных величин, характеризующих квантовую систему. Подход основан на прямом произведении представлений групп.

Метод нахождения правил отбора основан на следующем утверждении:

Теорема. Пусть волновая функция ( )i – есть одна из функций базиса неприводимого

неединичного -того представления. Тогда ее интеграл по всему пространству равен нулю:

( )i(q)dq=0.

Доказательство. Доказательство основано на очевидном факте: взятый по всему пространству интеграл инвариантен относительно любого преобразования симметрии (вращения, отражения, параллельного переноса и т. п.):

( )i(q)dq = D( )(g) ( )i(q)dq = kD( )ki(g) ( )k(q)dq

Просуммируем это равенство по всем элементам группы. Интеграл слева просто умножается на порядок группы, а интеграл справа равен нулю:

|G|( )i(q)dq = g kD( )ki(g) ( )k(q)dq = 0

Действительно, для всякого неединичного неприводимого представления имеем:

gD( )ki(g) gD( )ki(g)D(1)jm(g)=0 из-за ортогональности матричных элементов -того неприводимого неединичного представления и единичного представления D(1)(g) =1.

Следствие. Если есть функция, относящаяся к некоторому приводимому представлению группы,

то интеграл (q)dq отличен от нуля только тогда, когда представление содержит в себе

единичное представление.

Рассмотрим матричный элемент Mik = ( )*iF( )kdq.

Здесь и нумеруют различные термы (вырожденные уровни) системы, преобразующиеся по представлению D( ) и D( ), а индексы i и k нумеруют волновые функции состояний, относящихся к одному терму.

Mik осуществляет представление D( )DFD( ). Матричный элемент M отличен от нуля только тогда, когда разложение этого представления содержит единичное представление.

Проиллюстрируем правила отбора на примере.

Пример.

Пусть ( ) и ( ) преобразуются по неприводимым представлениям группы D3. Пусть F – полярный вектор, например, дипольный момент d(dx,dy,dz).

Запишем таблицу характеров неприводимых представлений группы D3:

Компонента dz дипольного момента преобразуется по представлению B, так как при перевороте треугольника ось z меняется на -z и dz -dz. Преобразование E – двумерное, оно преобразует компоненты dx и dy.

Рассмотрим преобразование для компоненты дипольного момента dz – так называемый дипольный переход. Чтобы получить результат прямого произведения неприводимых представлений D( ) D(dz) D( ), надо перемножить характеры неприводимых представлений группы D3 (здесь D( ) принимает три значения: A, B, E; те же значения принимает D( ), D(dz)=B). Сначала перемножим все возможные характеры для обеих волновых функций в матричном элементе:

Из таблицы очевидно, что единственное приводимое представление получается в произведении

E E. Разложим его на неприводимые представления, используя формулу (9) лекции №7, сколько раз данное неприводимое представление D( ) входит в приводимое представление:

a = (1/|G|) igi i ( )i*

aA=1/6(1 4 1+2 1 1+3 0 1)=1; aB=1/6(1 4 1+ 2 1 1+3 0 (-1))=1; aE=1/6(1 4 2+2 (-1) 1+3 0 0)=1

Следовательно, неприводимые представления A, B и E входят в приводимое E E по одному разу: E E = A +B + E.

Теперь получим прямое произведение результатов таблицы и представления B для компоненты дипольного момента dz:

Матричный элемент Mik отличен от нуля только тогда, когда в нем содержится единичное представление A. Из результатов последней таблицы видно, что A содержится в прямом произведении в двух случаях (подчеркнуты): в прямом произведении A B B=A и в E E B=A B+B B+E B=B+A+E. Следовательно, правило отбора для Mik следующее: возможны переходы из состояния, преобразующегося по представлению B в состояние, преобразующееся по представлению A, т. е. переход из B A, а также возможен переход из состояния, преобразующегося по представлению E, в такое же состояние, преобразующееся по представлению E, т. е. E E.

Для компонент дипольного момента dx и dy, которые преобразуются по двумерному представлению E, надо в последней таблице заменить последний множитель B на E.

(Получите правила отбора!)

Если в качестве F в матричном элементе стоит аксиальный вектор (не меняющий знака компонент при отражении), то его z-компонента преобразуется по единичному представлению A, если отражение происходит относительно плоскости xy, и в таблице последний множитель B надо заменить на A.

В случае симметрии D3 z-компонента магнитного момента (магнитно-дипольный переход) преобразуется по тому же представлению B, что и компонента дипольного момента. Действительно:

= (e/2c)[r v], z=(e/2c)(xvy – yvx).

При повороте вокруг медианы (обозначим ее, например, осью y) y-компоненты векторов не меняются, а x-компоненты векторов меняют знак, поэтому z - z.

Если в качестве F в матричном элементе стоит скалярная величина, которая никак не преобразуется под действием операций симметрии, возможны переходы только между состояниями одного вида, т. е. которые относятся к одному неприводимому представлению = .

Лекция №10 по теории групп

“Узнайте, как устроен мир. Разнообразие – стоящая вещь.” Ричард Фейнман

Непрерывные группы

Мы будем рассматривать группы линейных преобразований, элементы матриц которых являются

аналитическими функциями вещественных непрерывных параметров. Элементы группы g( 1,... r)

зависят от r параметров. Такая непрерывная группа называется r-параметрической. Минимальное число независимых параметров, необходимых для характеристики элементов группы, называется размерностью группы.

Гладкие многообразия

Группа G, множество элементов которой образует гладкое (дифференцируемое) многообразие,

является группой Ли. При этом необходимо, чтобы групповая операция была гладким отображением: G G G. Иначе говоря, мы вводим для элементов непрерывных групп геометрические свойства близости, непрерывности и т. п. Это значит, что мы наделяем множество элементов группы G топологией. Мы определяем такую систему подмножеств группы G, что каждый элемент G содержится по крайней мере в одном из этих подмножеств. Тогда мы говорим, что группа G есть топологическое пространство, а элементы G называются точками этого пространства.

____________________________________________________________________________________

Математическое отступление

Введем понятие многообразия, которое формализует понятие гладкого пространства. Требуется также определить гладкое отображение одного многообразия на другое. Строгое определение многообразия было дано Гауссом. Он занимался картографией земной поверхности. Для поверхности земного шара все процедуры построения карт сводятся к проецированию отдельных участков земной поверхности на плоскость. Целиком сферическую поверхность спроецировать на плоскость невозможно. При проекциях больших участков земной поверхности неизбежны искажения. Чем меньше участки поверхности, тем больше они похожи на плоские куски, и тем меньше искажений допускается на плоских картах. Набор таких карт представляет атлас. Для больших расстояний, которые не покрываются одной картой, надо иметь перекрытие карт. Перекрытия карт необходимы для того, чтобы иметь возможность их сшить и тем самым восстановить все нетривиальное пространство из кусков, подобных плоским. В конечном итоге весь сложный объект получается склейкой (сшивкой) более простых объектов (локальных карт), однозначно отображающихся на участки плоскости. Если сшивка будет достаточно гладкой, то в результате получится непрерывное гладкое пространство. Эта идея (представление сложного пространства как склейки большого числа кусков простых пространств) лежит в основе изучения важнейших геометрических объектов, которые называются многообразиями.

Напомним, что подмножество U метрического пространства M (U M) называется открытым, если вместе с каждой точкой X U это подмножество содержит достаточно малый открытый шар с центром в точке X. При этом открытым шаром радиуса r в M с центром в точке X называется множество всех точек Y M таких, что (X,Y)<r, где (X,Y) – метрика в M (расстояние между точками X и Y в M).

____________________________________________________________________________________

Понятие касательного пространства.

В качестве многообразий какого-либо числа измерений могут выступать гладкие m-мерные поверхности, вложенные в n-мерное евклидово пространство Rn с n>m. Такое вложение можно локально, т. е. в небольшой окрестности заданной точки, задать с помощью набора независимых уравнений (уравнений поверхности):

Fi(x1, ...,xn)=0 , где {xk} – координаты в евклидовом пространстве Rn, а Fi – гладкие функции.

Пусть точка x лежит на поверхности, т.е. удовлетворяет уравнениям Fi(x)=0. Сделаем бесконечно малый сдвиг точки x M вдоль вектора ak: xkx`k=xk+ak ( - бесконечно малый параметр). Тогда сдвинутая точка x`k будет снова принадлежать поверхности M: Fi(x`)=0. Пусть

В этом случае вектор ak называется касательным вектором к поверхности M в точке x. Множество всех векторов ak, удовлетворяющих условию (*), образует касательное векторное пространство Tx к многообразию M в точке x. Размерность касательного пространства Tx равна m.

Группы Ли

Говорят, что группа непрерывна, если на элементы группового многообразия наложено какое-либо обобщенное понятие близости или непрерывности. Малое изменение сомножителей в групповой операции приводит к малому изменению произведения. Это требование приводит к тому, что

групповое многообразие группы обладает свойствами топологических пространств. В частности,

свойством топологического пространства обладает множество точек r-мерного евклидова пространства. Кроме того, множество G обладает также свойствами группы. Топологические группы обладают топологическими свойствами как в малом масштабе (в окрестности точки), так и в большом масштабе (компактность, связность и пр.). Все это составляет геометрические свойства топологии группового пространства.

Групповая и топологическая структура групп Ли согласуются друг с другом: если x и y являются элементами группы, то для любой окрестности W произведения x y существуют окрестности X и Y точек x и y, x X, y Y. То же справедливо для обратных элементов: если x X, то существует окрестность Z такая, что x-1Z.

Свойства групп Ли можно исследовать методами дифференциальной геометрии. Например, локальные свойства гладких многообразий определяются их касательными пространствами, изучение которых приводит к формулировке одного из основных объектов теории – к алгебрам Ли.

Топологическое пространство носит название r-мерного многообразия. Топологическая группа,

являющаяся одновременно многообразием, т. е. топологическим пространством, называется группой Ли.

Определение. Группа Ли G – это непрерывная группа, которая одновременно является гладким многообразием. Предполагается также, что групповая операция G G G и нахождение обратного элемента G G задаются гладкими отображениями.

Каждый элемент группы Ли задается при помощи конечного числа параметров (1,2,... r) – g( ). Мы всегда будем рассматривать только вещественные параметры. Минимальное число

независимых параметров, необходимых для характеристики элементов группы Ли, называется размерностью группы Ли. Эти параметры называются существенными

параметрами. Каждый элемент группы представляет собой линейный оператор, действующий в некотором пространстве, он определяется совокупностью r параметров i, которые образуют точкуr-мерного многообразия Mr. Каждой точке многообразия соответствует определенный элемент группы. Соответствующее многообразие носит название группового или параметрического

пространства. Начало координат принято выбирать в единице группы g(0). Пусть при перемножении элементов с координатами и получился элемент с координатой : g( )=g( ) g( ).

Тогда = ( , ) называется функцией умножения. Если функция умножения гладкая, то G – группа Ли. Вместо таблицы умножения непрерывная группа задается функцией 2r переменных.

Групповое свойство накладывает три ограничения на функцию умножения:

1.( ( , ), )= ( , ( , )) (ассоциативность)

2.( ,0)= (0, )

3.Для любого найдется такой, что ( , )= ( , )=0.

Для элементов группы сохраняется понятие единичного элемента g(0) g(e)=I; g( )g(e)=g( ); обратного элемента g( -1)g( )=g(e) и ассоциативность.

Группа Ли G компактна, если ее групповое пространство (многообразие) компактно в

топологическом смысле, т. е. если любое бесконечное подмножество пространства содержит последовательность, сходящуюся к некоторому элементу пространства. Проще говоря, параметры группы ограничены. Группа Ли называется связной (односвязной), если ее многообразие связно

(односвязно).

В приложениях нас будут интересовать матричные группы Ли. Размерность группы определяется числом существенных параметров, т. е. числом независимых параметров, полностью определяющих группу.

Примеры групп Ли

1 Группа трансляций (параллельных переносов) – это однопараметрическая группа (ее определяет один параметр a). Группа абелева.

x`=x+a=Tax. (Ta – оператор трансляций)

Групповые свойства TaTb=Ta+b; Ta(TbTc)=(TaTb)Tc; Ta-1=T-a; TaTa-1=I. Мы можем изобразить каждое преобразование, как геометрическую точку на прямой, являющейся одномерным евклидовым многообразием. Единичный элемент T0=I – точка начала координат. Так как TaTb=T(a+b)=Tc, то функция умножения (a,b)=a+b.

2 Группа вращений в двумерном пространстве SO(2) – однопараметрическая и абелева. Определяется ортогональными матрицами с детерминантом 1.

T(0)=I; T( )T( `)=T( + `); T( )-1=T(- ).

Точки и +2 k должны быть отождествлены. Групповое пространство (многообразие) – окружность.

3 Группа фазовых преобразований волновой функции U(1) – однопараметрическая. Группа унитарная U+U=1.

U( )=ei ; U( 1)U( 2)=ei( 1+ 2); U(0)=1; U-1( )=U(- ). Групповое пространство определяется условием |ei |=1 – окружность.

4 Однородная группа Лоренца. Элементами группы являются преобразования в вещественном четырехмерном пространстве Минковского, оставляющие инвариантной квадратичную форму

x y =g x y =x0y0-x1y1-x2y2-x3y3=inv. Группа некомпактная.

Поскольку мы будем изучать матричные группы Ли, рассмотрим основные матричные группы и определим число существенных параметров, определяющих каждую из них.

Основные матричные группы

1 Группа GL(n,C) – это группа всех невырожденных преобразований линейного пространства над полем комплексных чисел C. В линейном векторном пространстве Ln ранг комплексных матриц равен n n. Число существенных вещественных параметров, определяющих матрицу, r=2n2.

Группа GL(n,R) – это группа всех невырожденных преобразований линейного пространства над полем действительных чисел. Ранг вещественных матриц в пространстве Ln тоже n n. Число существенных параметров r=n2.

Например, для группы GL(2,R) линейное преобразование имеет вид:

x`=a1x+a2y; y`=a3x+a4y; матрица преобразования A= a1 a2 - невырожденная, detA 0.

a3 a4

2 Группа U(n,C) – группа унитарных матриц ранга n n U+U=1, причем det(U+U)=|detU|2=1. Унитарные матрицы сохраняют скалярное произведение, т. е. квадрат модуля |x1|2+|x2|2+...+|xn|2. На элементы унитарной матрицы накладываются дополнительно условия ортогональности и нормировки. Это дополнительно дает n условий нормировки (коэффициенты перед |xi|2 равны единице) и 2n(n-1)/2 условий ортогональности (отсутствуют всевозможные элементы с удвоенным произведением 2|xixj|). Поэтому число существенных (независимых) параметров r=2n2-n-n(n-1)=n2

3 Группа SU(n) – группа унитарных матриц U+U=1 ранга n n c детерминантом, равным 1: detU=1. Унитарные матрицы с единичным детерминантом называются унимодулярными. Равенство единице детерминанта дает одно дополнительное условие, так что число существенных параметров r=n2-1.

4 Группа ортогональных (вещественных) матриц O(n). OOT=1; ранг матриц O равен n. В вещественном n-мерном линейном пространстве они сохраняют квадрат вектора, как и в группе U(n,C), это дает n условий нормировки и n(n-1)/2 условий ортогональности. Число существенных параметров r=n2-n-n(n-1)/2=n(n-1)/2.

5 Группа ортогональных унимодулярных матриц SO(n). detO=1. Число существенных параметров r=n(n-1)/2.

Лекция №11 по теории групп

Эпиграмма XVIII века:

“Был этот мир глубокой тьмой окутан. Да будет свет! И вот явился Ньютон.”

Эпиграмма XX века:

“Но сатана недолго ждал реванша. Пришел Эйнштейн – и стало все, как раньше.”

Алгебры Ли.

Алгеброй Ли над полем K называется линейное пространство, снабженное бинарной операцией, скобкой Ли [...], со следующими свойствами:

1[ a+b,c]= [a,c]+[b,c] (линейность)

2[b,a]=-[a,b] (антисимметричность)

3[a,[b,c]]+[c,[a,b]]+[b,[c,a]]=0 (тождество Якоби)

Примеры:

a)Евклидово пространство R3 с векторным произведением: первое и второе свойства очевидны, а третье доказывается с помощью правила “БАЦ-минус-ЦАБ”.

b)Алгебра функций координат и импульсов со скобкой Пуассона.

c)Алгебра матриц с коммутатором [A,B].

Аналогами подгруппы и инвариантной подгруппы в алгебре Ли служат подалгебра и идеал.

Если в алгебре Ли существует множество L`, которое само является алгеброй Ли, то это множество называется подалгеброй L` алгебры Ли L. Оно имеет следующее свойство: для любой пары элементов a L и b L скобка Ли (коммутатор) [a,b] принадлежит L` [a,b] L`. Символически запишем

[L`,L`] L`.

Если N – такая подалгебра алгебры Ли L, что для любых a N и b L скобка Ли (коммутатор) [a,b] N, или символически

[N,L] N,

то N называется идеалом алгебры Ли L.

При изучении алгебр Ли обычно выделяют некоторую коммутативную подалгебру (совокупность коммутирующих элементов), называемую подалгеброй Картана. Элементы подалгебры Картана K алгебры Ли L обозначаются Hi.

[Hi,Hj]=0, i,j=1,2,...,l.

размерность l подалгебры Картана алгебры Ли L называется рангом алгебры Ли L или рангом группы G, алгеброй Ли которой является алгебра Ли L.

Общие свойства групп Ли

Рассмотрим группу Ли размерности r: g( 1, 2,... r). Единичный элемент группы g(0,0,...0)=I.

Связная группа Ли порождается своей окрестностью единицы

Разложим g( 1,... r) в ряд при малых значениях параметров j<<1 с точностью до линейных членов

– т.е. проведем инфинитезимальные преобразования элемента группы:

Величины Xj называются генераторами группы (j=1,...,r). Все генераторы группы Ли лежат в

касательном пространстве к единице группы. Это базисные генераторы группы. Они являются

образующими алгебры Ли.

Рис.1

Восстановление группы Ли по ее алгебре

Для групп Ли существуют три основополагающие теоремы.

1 теорема (экспоненциальная теорема)

Произвольный элемент группы Ли может быть представлен в виде:

Доказательство. g=I+ jXj = 1+ 1X1 + 2X2 + ...+ rXr = (1+ 1X1)(1+ 2X2)...(1+ rXr) . Здесь j<<1.

Представим jXj в виде суммы N слагаемых: jXj/N+...+ jXj/N. Тогда

1+ jXj/N+...+ jXj/N = (1+ jXj/N)N limN (1+ jXj/N)N=exp( jXj).

2 теорема

Генераторы группы Ли образуют алгебру с правилом умножения:

т. е. коммутатор базисных генераторов снова можно разложить по базисным генераторам.

Cjks называются структурными константами (или структурными постоянными) группы.

Доказательство. Для доказательства используем свойство произведения в группе. Всегда можно записать g2g1=g`g1g2, где g1=g( ), g2=g( ), g`=g( ).

Если k или j обращаются в нуль, то g1(0)=1 или g2(0)=1, но тогда и g` должно быть равным 1, т.е.i также обращается в нуль. Следовательно, i~ k j. Поэтому можно записать

i=Cjki k j.

Отсюда (1 + jXj)(1 + kXk) = (1 + Cjki k jXi)(1 + kXk)(1 + jXj)

Приравняем в последнем равенстве члены справа и слева, пропорциональные k j: