Теория групп / лекции теоргрупп_Ломоносова

Проверьте самостоятельно для группы D3 ортогональность матричных элементов неприводимых представлений (формула (10) лекции №6).

В заключение выпишем (для дальнейших справок) все полученные нами в лекциях №6 и №7 основные фундаментальные результаты.

Основные результаты

Условие ортогональности матричных элементов неприводимых представлений группы G:

g|G|D( )ij(g)D( )*km(g) = (|G|/n ) jm ik (формула (10) лекции 6)

Условие ортогональности характеров неприводимых представлений группы G:

g|G| ( )(g) ( )*(g) = |G| (Сумма берется по элементам группы) (формула (3) лекции 7)

igi ( )i ( )*i = |G| (Сумма берется по классам i) (формула (4) лекции 7)

D(g) = a D( )(g) - разложение приводимого представления в прямую сумму неприводимых представлений.

Разложение характера приводимого представления (составного характера) по характерам неприводимых представлений (по простым характерам):

(g) = a ( )(g)

i = a ( )i (i нумерует классы, нумерует неприводимые представления) (формула (7)) лекции 7)

a - целое число, определяющее, сколько раз -тое неприводимое представление входит в данное приводимое представление.

Основной критерий неприводимости представлений:

a = (1/|G|) igi i ( )*i (формула (9) лекции 7)

Фундаментальные утверждения

Число неприводимых представлений конечной группы равно числу ее классов.

Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы|G|.

n 2 = |G| (формула (11) лекции 7)

Все неприводимые представления абелевой группы одномерны.

Последовательное действие двух преобразований a и b описывается тем же правилом:

a b (x) = a (b-1x) a (x), a (x) = (a-1x) = (b-1(a-1x))= (b-1a-1x) = ((ab)-1x).

Действительно: Пусть g3=g1g2.

i((g1g2)-1x) = i(g3-1x) = kDki(g3) k(x) (*)

i((g1g2)-1) = i(g2-1g1-1x) = jDji(g2) j(g1-1x) = k jDji(g2)Dkj(g1) k(x) (**)

Сравнивая формулы (*) и (**), получим:

Dki(g3) = jDkj((g1)Dji(g2), следовательно, D(g3)=D(g1)D(g2). Групповая операция выполняется, и D(g) является представлением группы.

Классификация вырожденных уровней энергии

Если преобразование D( )(g) неприводимо и если D( )(g) для g G коммутирует с гамильтонианом Ĥ, то по первой лемме Шура матрица гамильтониана Ĥ пропорциональна единичной матрице – на ее диагонали стоят собственные значения Ĥ, т. е. одно и то же значение энергетического уровня En.

Ĥ = En I, причем размерность единичной матрицы I равна размерности неприводимого представления n . Таким образом:

Если гамильтониан Ĥ инвариантен относительно некоторой группы G, т. е. для g G gĤ=Ĥg или D(g)Ĥ=ĤD(g), где D(g) = a D( )(g), то каждый вырожденный уровень преобразуется по одному из неприводимых представлений размерности n . Размерность неприводимого представления n является кратностью вырождения уровня.

Система собственных функций i для данного вырожденного уровня образует базис представления группы G. Представление D( )(g), по которому преобразуется вырожденный уровень с кратностью вырождения n , обязательно неприводимо, в противном случае совокупность собственных функций, отвечающих данному вырожденному уровню, можно было бы разбить на несколько более мелких частей, что невозможно, так как каждому n -кратно вырожденному уровню соответствует линейная комбинация из n базисных ортонормированных функций.

Связь между уровнями с определенной энергией и неприводимыми представлениями группы с заданной симметрией, оставляющей инвариантным гамильтониан, имеет большое значение для характеристики состояний квантовомеханической системы.

Зная неприводимые представления группы симметрии, мы тем самым знаем, какие кратности вырождения допустимы в системе. Энергетические уровни можно классифицировать указанием соответствующих им неприводимых представлений. Тогда, не решая уравнения Шредингера, мы будем знать законы преобразования волновых функций соответствующих состояний.

Пример 1. Пусть гамильтониан инвариантен относительно циклической абелевой группы С3 с элементами: e, w, w2 (w3=e), где w означает вращение на угол =2 /3. В абелевой группе все неприводимые представления одномерны, поэтому каждому элементу группы соответствует число. В качестве таких чисел можно выбрать корень 3-ей степени из единицы. wk e(2 k/3)i (групповая операция сохраняется). Обозначим =e(2 /3)i (заметим, что *= 2, 2*= ) и составим таблицу характеров неприводимых представлений группы C3 (в группе три неприводимых представления).

cos(2 /3)=cos(4 /3)=-1/2, sin(2 /3)=-sin(4 /3)= 3/2; 1++ 2=0.

Из условия ортогональности характеров неприводимых представлений следует, что сумма характеров всех элементов группы для каждого неприводимого представления, кроме единичного, равна нулю g ( )(g) ( )*(g) = |G| Действительно, если в качестве -того неприводимого представления взять единичное с характерами, равными 1, то g ( )(g)=0 для 1. Поэтому 1++ 2=0, что легко проверить. (Проверьте!). Из таблицы характеров следует, что, так как все неприводимые представления одномерны, то уровни квантовомеханической системы, инвариантной относительно группы C3, должны быть невырожденными. Однако это не совсем правильно (см. ниже Замечание). Видимо, основному состоянию, которое всегда обладает наибольшей степенью симметрии, соответствует уровень, преобразующийся по единичному представлению.

Замечание. Симметрия уравнения Шредингера по отношению к изменению времени на обратное t-t (при отсутствии магнитного поля) приводит к тому, что комплексно-сопряженные волновые функции должны относиться к одному и тому же собственному значению энергии – уравнение Шредингера сохраняет свой вид при замене t-t и одновременном комплексном сопряжении:

iħ/ t=[(-ħ2/2m) + U] -iħ */ (-t)=[(-ħ2/2m) + U]*.

Если некоторый набор волновых функций и набор комплексно-сопряженных волновых функций осуществляют различные неприводимые представления группы, то эти два комплексно сопряженных представления группы с физической точки зрения должны рассматриваться как одно представление с удвоенной размерностью.

Группа C3 имеет только одномерные представления, но два из них комплексно-сопряжены и физически соответствуют двукратно вырожденному уровню. Поэтому правильная таблица классификации уровней выглядит следующим образом:

Физически это означает, что симметрия группы C3 приводит к невырожденному уровню основного состояния (A) и двукратно вырожденному уровню возбужденного состояния (E).

Пример 2. Пусть молекула инвариантна относительно группы C2v. Группа C2v абелева, она состоит из 4 элементов g1=e, g2=C2 (поворот на вокруг оси симметрии), g3=v (отражение относительно плоскости, проходящей через ось симметрии) и g4=v` (отражение относительно плоскости, проходящей через ось симметрии и ортогональной плоскости v). В группе 4 неприводимых представления. Ее таблица характеров неприводимых представлений (взята из книги Хамермеша) имеет вид:

Так как все неприводимые представления группы одномерны, то все уровни не вырождены. Полностью симметричное состояние A является основным. В таблицах характеров одномерное представление основного состояния обозначается буквой A, одномерные возбужденные уровни – буквой B, двукратно вырожденные уровни, соответствующие двумерным неприводимым

представлениям – буквой E, трехкратно вырожденные уровни, соответствующие трехмерным неприводимым представлениям – буквой F и т. д.

Пример 3. Пусть симметрия молекулы соответствует хорошо нам знакомой группе D3 (группе треугольника). В группе три класса, три неприводимых представления – два одномерных и одно двумерное. В таблице характеров в левом столбике будем вместо писать буквы A, B и т. д. Характеры группы нам известны.

Представления A и B соответствуют невырожденным уровням, причем A соответствует основному состоянию. E соответствует двукратно вырожденному уровню. Никакие другие состояния в системе невозможны.

Расщепление вырожденных уровней под действием возмущения - снятие вырождения при понижении симметрии

Пусть теперь к гамильтониану невозмущенной системы Ĥ0, имеющему симметрию группы G, добавили возмущение V. Произойдет ли расщепление уровней?

(a)Пусть возмущение обладает той же симметрией, что и гамильтониан Ĥ0 или более высокой симметрией, тогда симметрия суммарного гамильтониана оказывается той же, что исходная симметрия Ĥ0. Неприводимые представления остаются теми же самыми, и никакого

расщепления не происходит.

(b)Пусть теперь симметрия возмущения V ниже симметрии невозмущенной системы. Например, Ĥ0 обладает группой симметрии G, а возмущение V обладает более низкой группой симметрии G` (G` является подгруппой группы G). Тогда симметрия суммарного гамильтониана будет совпадать с симметрией возмущения V. Волновые функции, которые осуществляли неприводимое представление группы симметрии гамильтониана Ĥ0, будут осуществлять и представление группы симметрии возмущенного гамильтониана, но это представление теперь будет приводимым, и произойдет расщепление уровней.

Например, гамильтониан H̑0 обладает сферической симметрией, а возмущение V обладает аксиальной симметрией. Тогда возмущенный гамильтониан обладает аксиальной симметрией, более низкой по сравнению со сферической симметрией.

Пусть нам дано некоторое представление группы G – D(g). Мы можем немедленно получить представление ее подгруппы G`, выбирая среди матриц D(g) те, которые соответствуют элементам подгруппы G`. Несмотря на то, что собственные функции, принадлежащие энергии En,

образуют базис неприводимого представления группы G, это представление для подгруппы G` может оказаться приводимым. Возмущение приведет к расщеплению уровня.

Покажем на конкретной задаче, как аппарат теории групп позволяет решить вопрос о расщеплении того или иного уровня. (Эта задача не входит в вопросы экзамена и зачета.)

Задача. Квантовая частица движется в плоскости под действием потенциала U(r), не зависящего от угла. Наложим на систему возмущение, имеющее симметрию группы D3. Что произойдет с уровнями энергии невозмущенной системы?

Воспользуемся формулой (7) предыдущей лекции №7 для разложения характера приводимого представления по неприводимым i = a ( )i, из которой получается значение а (формула (9)) (сколько раз данное неприводимое представление входит в приводимое представление):

a =(1/|G|) igi i ( )*i

Отсюда:

aA = (1/6)(2 1+2 1 2cos(2 m/3)) = (1/3)(1+2cos(2 m/3))

aB = (1/6)(2 1+2 1 2cos(2 m/3)) = (1/3)(1+2cos(2 m/3))

aE = (1/6)(2 2+2 (-1) 2cos(2 m/3)) = (2/3)(1-cos(2 m/3))

Косинус в полученных выше формулах равен 1, если m делится на 3, т. е. m=3n.

Косинус равен (-1/2), если m не делится на 3, т.е. m=3n 1.

Выводы: (a) при m=3n aA=aB=1, aE=0. Это означает, что вырождение снимается (нет двукратно вырожденного уровня), двукратно вырожденный уровень E расщепился на уровень основного состояния A (естественно, невырожденный, как любой уровень основного состояния) и возбужденный уровень В – тоже невырожденный. Вырождение полностью снято. Волновые функции уровней преобразуются по разным одномерным представлениям группы D3.

(b) при m=3n 1 aA=aB=0, aE=1. Это означает, что сохраняется вырождение двукратно вырожденного уровня E. Волновые функции уровня преобразуются по двумерному представлению группы D3.

Рассмотрим еще ряд примеров.

Пусть группой симметрии исходного гамильтониана является группа тетраэдра T. Таблица характеров ее неприводимых представлений следующая (все таблицы взяты из книги Хамермеша):

Здесь =e2 i/3. (1) Наложим возмущение с симметрией С3; (2) Наложим возмущение с симметрией C2. Каким образом расщепится трехкратно вырожденный уровень F?

Опять используем формулу (9) предыдущей лекции.

a = 1/|G| i gi i ( )i*

Выпишем таблицы характеров неприводимых представлений групп C3 и C2.

1 aA=1/3(1 1 3+1 1 0+1 1 0)=1; aE =1/3(1 1 3+1 0 +1 0 2)=1.

Трехкратно вырожденный уровень F расщепляется под действием возмущения с симметрией C3 на два подуровня – невырожденный уровень A и двукратно вырожденный уровень E.

2 aA=1/2(1 3 1+1 (-1) 1)=1; aB=1/2(1 3 1+1 (-1) (-1))=2.

Трехкратно вырожденный уровень F расщепляется под действием возмущения с симметрией C2 на три невырожденных уровня: один из них принадлежит представлению A, а два других - представлению B группы C2.

Лекция №9 по теории групп

В конце XIX века американский физик Майкельсон экспериментально установил, что луч света нельзя догнать. С какой бы скоростью вы ни бежали вслед за лучом, он всегда уходит от вас со скоростью 300 тысяч километров в секунду.

Теоретики, засучив рукава, принялись за работу: поставили удобные кресла под ночным небом и устремили взоры на блистающие звезды. Но сколько они ни смотрели, путного объяснения опыту Майкельсона дать не могли. А Эйнштейн начал с конца: он предположил, что свет обладает именно таким свойством инвариантности, которое получил Майкельсон. Теоретики подумали немного – одни десять, другие двадцать лет, кто сколько мог, – и сказали: “Гениально!”

Прямое произведение (или композиция) представлений групп

Рассмотрим две различные системы базисных функций 1( ), ... n ( ) и 1( ),... n ( ), которые осуществляют два различных представления группы ( i( ) принадлежат линейному пространству Ln , а j( ) принадлежат линейному пространству Ln ). Определим прямое произведение базисовi( ) j( ) i( ) j( ), мы получим представление размерности n n . Это произведение называется прямым или кронекеровским произведением представлений. Тогда на прямом произведении базисов действует прямое произведение представлений:

D( )(g) i( )= D( )ki(g) k( ) и D( )(g) j( )= mD( )mj(g) m( ).

Обозначим k m = wkm Базисное пространство (ортов или волновых функций) wkm имеет размерность n n .

И, следовательно:

(D( )(g) i( ) D( )(g) j( )) = Dki( )(g) i( ) Dmj( )(g) m( ) =

Проверим, что эти матрицы образуют представление группы G. Пусть gigk=gs, так что

D( )(gi)D( )(gk) = D( )(gs); D( )(gi)D( )(gk) = D( )(gs).

Тогда из свойства прямого произведения групп получим: (D( )(gi) D( )(gi))(D( )(gk) D( )(gk)) = (D( )(gi)D( )(gk) D( )(gi)D( )(gk) = D( )(gs) D( )(gs).

Характеры прямого произведения представлений перемножаются – это очевидно из определения прямого произведения матриц (лекция №3):

( )(g) ( )(g) = ikDii( )(g) Dkk( )(g) = ( )(g) ( )(g)

Таким образом, характер элемента в произведении представлений равен произведению

характеров этого элемента в представлениях -“сомножителях”.

Свойства прямого произведения:

1. (D+D`) D``= (D D``)+ (D` D``) - дистрибутивность