Теория групп / лекции теоргрупп_Ломоносова

Лекция №6 по теории групп.

“Вы, конечно, можете называть это чушью, но я встречал чушь такую, что в сравнении с ней эта кажется толковым словарем.” Л. Кэролл

Поиск неприводимых представлений группы является фундаментальной задачей теории групп. Мы должны установить критерии поиска неприводимых представлений и сформулировать основополагающие теоремы.

Нам надо ответить на следующие вопросы:

1.Что является критерием неприводимости представлений?

2.Каково число неэквивалентных неприводимых представлений?

3.Каковы их размерности?

4.Определяются ли представления своими характерами (следами)?

5.Как получить характеры каждого представления?

6.Как построить представление после того, как найдена таблица характеров?

На эти вопросы отвечает теория, развитая Фробениусом, Шуром и Бернсайдом.

Леммы Шура.

Неприводимые представления обладают рядом специфических свойств, которые делают их очень ценными для различных приложений и облегчают их нахождение.

Основополагающими теоремами в теории неприводимых представлений являются леммы Шура.

1 лемма Шура

Матрица, коммутирующая со всеми матрицами неприводимого представления, кратна единичной.

В более развернутой форме:

Если какое-либо -тое представление D( )(g) (g G) размерности n группы G неприводимо, то всякая матрица A, коммутирующая со всеми матрицами неприводимого представления, кратна единичной матрице. Иначе говоря, из соотношения D( )(g)A = AD( )(g) для любого g G вытекает равенство A= I, где - некоторое число, а I – единичная матрица размерности n .

Доказательство. Рассмотрим уравнение на собственные функции и собственные значения для оператора (матрицы) A. Как всякий линейный матричный оператор в комплексном пространстве, матрица A имеет по крайней мере одно собственное число (уравнение n-ой степени над полем комплексных чисел всегда имеет по крайней мере один корень). Поэтому уравнение для поиска собственных функций и собственных значений имеет смысл. Обозначим собственное значение . Подпространство собственных векторов x матричного оператора A, соответствующих числу , обозначим L1. Таким образом

Ax= x, если x L1.

Покажем, что подпространство L1 является инвариантным подпространством Ln . Заметим, что линейное подпространство Ln представления D( )(g) является инвариантным подпространством, так как D( )(g) – неприводимое представление. Пусть x – произвольный вектор из L1, D( )(g) – любая из

матриц неприводимого представления. Рассмотрим величину AD( )(g)x. Из условия коммутативности матрицы A с D( )(g) получим:

AD( )(g)x = D( )(g)Ax = D( )(g) x = D( )(g)x

Отсюда следует, что подпространство собственных векторов матрицы A, соответствующих одному и тому же собственному значению, инвариантно относительно преобразований D( )(g). Но так как представление D( )(g) неприводимо, то это подпространство должно совпадать со всем подпространством Ln , а матрица A, умножающая любой вектор x пространства Ln на число , должна иметь вид A= I. Действительно:

Ax = 0 0 ... 0 x1 = x.

| 0 0 ... 0 | |x2 |

Следствие. Если представление вполне приводимо, т. е. его матрицы имеют квазидиагональную форму, то всегда существует матрица, отличная от I, коммутирующая со всеми матрицами представления. Легко проверить, что в качестве такой матрицы можно взять диагональную матрицу, у которой диагональные элементы, соответствующие различным блокам матрицы представления, не равны друг другу.

Замечание. Если у матриц A несколько собственных значений, то каждое из них будет соответствовать одному из неприводимых представлений.

Вывод. Если единственной матрицей, коммутирующей со всеми матрицами представления, является матрица A= I, то представление неприводимо.

Пример. Возьмем в случае 2 2 матриц диагональную матрицу A с различными элементами 1 и 2 на диагонали. Покажем, что для неприводимого представления, для которого матрицы не имеют квазидагонального вида, 1 должно быть обязательно равно 2.

Таким образом, мы подтвердили условие леммы Шура: любая матрица неприводимого представления (не имеющая квазидиагонального вида) коммутирует только с матрицей, пропорциональной единичной матрице.

Можно привести еще одно доказательство 1 леммы Шура.

Еще доказательство. Пусть D( )(g) – унитарное неприводимое представление группы для всех g G. Матрица A коммутирует с D( )(g), следовательно, и эрмитово сопряженная матрица A+ тоже коммутирует с D( )(g). Отсюда следует, что матрицы A`=A A+ также коммутируют с D( )(g). Матрицы A`=A A+ - эрмитовы, и мы можем ограничиться рассмотрением эрмитовых матриц. Но эрмитова матрица всегда может быть приведена к диагональной форме какой-либо унитарной матрицей S:

SA`S-1=SA`S+= . Матрица - диагональная матрица. Тогда все матрицы D( )(g) преобразуются в эквивалентные матрицы

D`=SDS-1.

Полученное представление также унитарно и эквивалентно первому. Матрица коммутирует, конечно, и с матрицами D`. Но так как D` не имеет квазидиагонального вида (отвечает неприводимому представлению), то кратна единичной матрице. Следовательно, A тоже кратна единичной матрице.

2 лемма Шура

Пусть D( )(g) и D( )(g) (g G) матицы двух неприводимых неэквивалетнтных представлений ( ) с размерностями n и n . Тогда всякая прямоугольная матрица M с n столбцами и n строками, удовлетворяющая соотношению MD( )(g)=D( )(g)M для всех g G, является нулевой матрицей.

Доказательство (не строгое).

Предположим, что матрица M невырожденная и имеет обратную матрицу. Рассмотрим случай n =n . В этом случае матрица M – квадратная, и из условия леммы MD( )(g)=D( )(g)M следует, что MD( )(g)M-1 = D( )(g), т. е. D( )(g) эквивалентно D( )(g), что противоречит условию леммы.

Если n <n или, наоборот, n >n , то можно дополнить M до квадратной матрицы нулевыми столбцами или строками и провести вышеуказанные рассуждения.

Суть леммы состоит в том, что ни одна матрица не связывает (не сплетает) два различных неприводимых представления.

(Это доказательство не входит в вопросы экзамена или зачета.)

Обе леммы лежат в основе нахождения критерия неприводимости представлений.

____________________________________________________________________________________

Отступление. Введем важное понятие функций, порождаемых представлениями. Пусть есть какоелибо представление (приводимое или неприводимое) размерности n группы G в некотором линейном векторном пространстве L. Выберем в L какой-либо базис и сопоставим с его помощью каждому оператору D(g) (g G) соответствующую матрицу Dik(g) (i,k=1,2,...n). Получаемые таким образом матричные элементы составляют совокупность n2 функций на группе (или говорят – на групповом многообразии) и, конечно, удовлетворяют групповой операции.

_____________________________________________________________________________________

Соотношение ортогональности

Воспользуемся леммами Шура для доказательства общих теорем ортогональности.

Теорема.

Каждое неприводимое представление D( )(g) размерности n порождает на групповом многообразии n 2 взаимно ортогональных функций D( )ik(g).

Доказательство. Доказательство носит в некоторой степени искусственный характер (на экзамене или зачете его можно воспроизводить с помощью конспекта лекций – главное, знать результат).

Пусть задано неприводимое представление D( )(g) размерности n ( n - размерность матриц D( )ik(g)) группы G порядка |G|. Образуем матрицу A:

Покажем, что матрица A удовлетворяет условиям первой леммы Шура. Домножим A на D( )(g1) слева (g1 – какой-либо фиксированный элемент группы G). Получим:

Справа в соотношении (2) в квадратных скобках стоит единичная матрица, так как

D(g-1)D(g)=D(g-1g)=I. D( )(g1)D( )(g)=D( )(g1g)D( )(g),

где аргумент g1g пробегает все элементы группы, но при другом их чередовании (так как групповая операция не выводит элементы за пределы группы).

D( )(g-1)D( )(g1-1)=D( )((g1g)-1)D( )(g-1),

и здесь, аналогично предыдущему, аргумент пробегает все элементы группы.

Тогда из (2) получим:

D( )(g1)A = {gD( )(g)XD( )(g-1)}D( )(g1) = AD( )(g1),

где g1 – любой фиксированный элемент группы G. Следовательно, матрица A удовлетворяет условиям первой леммы Шура, и потому эта матрица кратна единичной матрице: A= I.

Теперь обратимся к произвольной матрице X. Выберем X таким образом, чтобы на пересечении j- той строки и m-того столбца стояла единица, а все прочие элементы равнялись нулю: Xjm=1. Числозависит от вида матрицы X – обозначим его jm, тогда Aik=jm ik. (ik -символ Кронекера)

Положим в (3) i=k и просуммируем по индексу i с учетом того, что все матрицы D унитарны (мы рассматриваем только унитарные представления Dmi(g-1)=Dmi-1(g)=Dmi+(g)=Dim*(g)), получим:

i gD( )ij(g)D( )mi(g-1) =

= i gD( )Tji(g)D( )Tim(g-1) = gD( )Tjm(gg-1) = gD( )Tjm(e) = g mj = |G|jm (4)

Выражение справа в формуле (3) после того, как мы положили i=k и просуммировали по i, равно:

Сумма по i берется по диагональным элементам единичной матрицы, входящей в матрицу A= I, размерность которой равна размерности матрицы A, но размерность матрицы A совпадает с размерностью представления n .

где D( ) и D( ) – два различных неприводимых неэквивавалентных представления группы G, то матрица F по аналогии с предыдущим доказательством удовлетворяет второй лемме Шура, и, следовательно, F=0, если . Обобщим формулу (7) для случая различных неприводимых представлений:

Поскольку мы работаем только с унитарными представлениями, то

Dmk(g-1)=Dmk-1(g)=Dmk+(g)=Dkm*(g), и окончательно можно записать наиважнейшую формулу,

выражающую условие ортогональности матричных элементов неприводимых представлений как функций на группе (на групповом многообразии):

gD( )ij(g)D( )*km(g) = (|G|/n ) jm ik (10)

Таким образом, каждое неприводимое представление дает n 2 матричных элементов, ортогональных друг другу.

Совокупность функций D( )ij(g) ( =1... , где равно числу неприводимых представлений группы G, а i,j=1,2,...n , где n равно размерности неприводимого представления), порождаемых неэквивалентными неприводимыми представлениями, полна в пространстве всех функций на группе.

Всякая функция на группе может быть разложена по полной системе функций D( )ij(g).

Итак, функции, порождаемые всеми неприводимыми представлениями, образуют ортогональный базис в пространстве всех функций на группе G. Это пространство распадается на сумму подпространств, каждое из которых преобразуется по некоторому неприводимому представлению группы G:

L=L1+L2+...+L

Размерность пространства L равна порядку группы |G| (пространство задается на элементах группы, а их число равно порядку группы). С другой стороны, общее число функций, порождаемых неприводимыми представлениями, равно сумме квадратов размерностей этих представлений.

Отсюда следует, что сумма квадратов размерностей всех неприводимых неэквивалентных представлений не превышает порядка группы.

n 2 |G| (11)

(Число линейно независимых функций аргумента g, который принимает |G| значений не превышает или равно |G| - это утверждение высшей алгебры).

Соотношение ортогональности можно интерпретировать как условие нормировки и ортогональности системы векторов в |G|-мерном пространстве. Каждый вектор характеризуется тремя индексами , i, j, а его составляющие равны элементам матриц неэквивалентных неприводимых представлений. Например, вектор D( )ij имеет составляющие D( )ij(g1), D( )ij(g2), ... , D( )(g|G|). Число таких векторов, соответствующих одному неприводимому представлению ( ), равно n 2.

Лекция №7 по теории групп.

На вопрос о том, как ему удалось создать первоклассную школу физиков, Нильс Бор ответил: “Повидимому, потому что я никогда не стеснялся признаться своим ученикам, что я дурак...”

Теория характеров.

Чтобы классифицировать представление с точностью до эквивалентности, надо ввести инвариантную относительно эквивалентных преобразований SD(g)S-1 величину – таким инвариантом является след матрицы, его называют характером (g) = SpD(g).

Из структуры образования эквивалентных представлений и классов сопряженных элементов группы можно сделать выводы о поведении характеров.

Во-первых, поскольку следы цикличны, то следы всех эквивалентных представлений одинаковы, т. е. характеры всех эквивалентных представлений совпадают. Действительно

(g)=Sp(SD(g)S-1)=SpD(g).

Во-вторых, рассмотрим классы сопряженных элементов группы. Например, класс (a):

(a)= a + g1ag1-1 + g2ag2-1 + ... В представлении группы элементу a ставится в соответствие матричный оператор D(a).

Элементу gkagk-1 ставится в соответствие матрица D(gkagk-1)=D(gk)D(a)D(gk-1)=D(gk)D(a)D-1(gk).

Очевидно, что всем элементам данного класса в представлении сопоставляется один и тот же характер (a) = SpD(a) = SpD(gk)D(a)D-1(gk).

И, следовательно:

1 Характеры эквивалентных представлений совпадают.

2 Характер есть функция класса сопряженных элементов.

Теперь докажем третье фундаментальное утверждение:

3 Характеры неприводимых представлений ортогональны.

Доказательство. Воспользуемся соотношением ортогональности для матричных элементов неприводимых представлений:

Просуммируем (2) по i и k. i ii = n , поскольку матрицы имеют размерность n , то сумма элементов диагональной единичной матрицы ii равна ее размерности n . С учетом этого замечания получим:

Мы получили соотношение ортогональности для характеров неприводимых представлений (сумма берется по числу элементов в группе).

Теперь вспомним, что все элементы, принадлежащие одному классу сопряженных элементов, имеют один и тот же характер. Пусть группа G состоит из r классов K1, K2, ... Kr и пусть число элементов в каждом классе равно gi. Обозначим ( )(gi) ( )i. Тогда (3) принимает вид:

Рассмотрим регулярное представление группы G. Размерность регулярного представления равна порядку группы (см. лекцию 5). Характеры регулярного представления имеют следующие значения:

(e) = |G|, (g) = 0 для всех g e.

Составной характер i-того класса равен (см. формулу (7)):

Здесь ( )i – характер i-того класса -того неприводимого представления – простой характер.

Рассмотрим в (7) только один класс, содержащий единичный элемент. Тогда:

i (e) = |G|; ( )i (e) = n , где n - размерность -того неприводимого представления. Действительно, единичному элементу e ставится в соответствие единичная матрица. Для -того неприводимого представления размерности n единичная матрица имеет размерность n , т. е. ее характер (сумма ее диагональных элементов) равна n . Тогда из (7):

(e) = |G| = a ( )(e) = a n . (*)

В формулу (*) подставим значение a из соотношения (9):

но для регулярного представления отличен от нуля только характер для класса i, представляющего класс единичного элемента i (e)=|G|; число элементов в классе единичного элемента равно единице – единичный элемент один: gi=1; а ( )(e)=n . В сумме (9) остается только одно слагаемое i для класса единичного элемента. Тогда (9) запишется в виде:

a = (1/|G|)|G|n = n (**)

И окончательно, подставляя a из (**) в (*), получим искомое фундаментальное утверждение:

Размерность неприводимых представлений абелевых групп

Так как число неприводимых представлений группы равно числу ее классов и поскольку в абелевой группе каждый элемент представляет класс (все элементы в абелевой группе самосопряженные), то число классов в такой группе равно ее порядку |G|. Но тогда из (11) следует, что все неприводимые представления абелевой группы одномерны.

Далее рассмотрим пример группы диэдра D3 (группы равностороннего треугольника) и применим к этой группе полученные нами результаты. Группа диэдра D3 состоит из 6 элементов:e, r, r2, p, pr pr2. Порядок группы |G|=6. На основании фундаментального утверждения (11) (сумма квадратов размерностей неприводимых представлений группы равна порядку группы) сконструируем порядок группы из квадратов целых чисел. Это можно сделать единственным образом:

12 +12 +22 =6

Следовательно, в группе D3 есть три неприводимых представления – два одномерных и одно двумерное. Мы на лекции 4 рассмотрели два из них. Это одномерное тривиальное единичное представление, когда все элементы группы отображаются в 1, и двумерное представление с матрицами 2 2 (см. лекцию 4). Кроме того, у каждой группы есть еще одно представление – это представление ее факторгруппы (общее утверждение). Напоминаю, что факторгруппа для D3 получается из лагранжева разложения (разложения по смежным совокупностям) по инвариантной подруппе N (e, r, r2) G = N + pN. За единичный элемент фактор-группы берется N E. Вторым элементом фактор-группы является F2=pN pE или просто p. Таким образом фактор-группа представляется двумя элементами F (E, p) с операцией умножения: EE=E, Ep=p, pp=E. Нетрудно

видеть, что одномерное представление фактор-группы, удовлетворяющее операции умножения,

должно иметь вид: N 1, p (-1), т.е. (e, r, r2) 1, (p, pr, pr2) (-1).

В группе D3 три класса (см. первые лекции): K1(e), K2(r, r2), K3(p, pr, pr2). Следовательно, число неприводимых представлений в группе равно трем (на основании фундаментального утверждения: число неприводимых представлений группы равно числу ее классов). Выше мы и получили три неприводимых представления.

Далее составим таблицу характеров неприводимых представлений группы D3. Если вы откроете главу XII книги Ландау и Лифшица “Квантовая механика” или книгу Хамермеша “Теория групп”, вы увидите множество аналогичных таблиц характеров для различных конечных групп. Эти таблицы исключительно важны для приложений теории групп к квантовой механике, чем мы и займемся на следующей лекции.

Итак, построим таблицу характеров неприводимых представлений группы D3.

Не забывайте, что характер всех элементов одного класса одинаков. Возьмем тривиальное единичное представление, обозначим его индекс (1): (1)(K1)=1, (1)(K2)=1, (1)(K3)=1. Здесь Ki означает соответствующий класс i. Для неприводимого одномерного представления фактор-группы получим, обозначив его индекс (2): (2)(K1)=1, (2)(K2)=1, (2)(K3)=-1. Для неприводимого двумерного представления (индекс (3)) (см. лекцию 4) матрица представления D(e):

D(e) = 1 0 Характер (3)(K1)=2

Составим таблицу характеров группы D3. В верхней строке указывают классы и число элементов в данном классе. В первом столбце указывают номера неприводимых представлений. В “клетках” указаны соответствующие характеры представлений для каждого класса.

Проверим соотношение (4) для одного и того же неприводимого представления, например, для= =3:

1 2 2+2 (-1) (-1)+3 0 0=6 (выполняется)

Проверим условие ортогональности для двух различных неприводимых представлений, например,

для =2, =3:

1 1 2+2 1 (-1)+3 (-1) 0=0 (выполняется).