Теория групп / лекции теоргрупп_Ломоносова

Из соотношения y=Dx найдем D`:

S-1y` = DS-1x` или y` = SDS-1x`

Всякое линейное преобразование D векторов пространства L при переходе к новому базису e e`:

будет иметь в новой координатной системе вид:

D` = SDS-1. (*)

Матрицы D и D` называются эквивалентными или подобными.

Рассмотрим комплексное линейное n-мерное векторное пространство Ln. Любой комплексный вектор x можно разложить по базису из n линейно независимых ортонормированных векторов

(eiej= ij):

x = xiei для x Ln.

Сопоставим каждой паре векторов x и y скалярное произведение (число):

x y <x|y> = i xi*yi.

Если потребовать сохранения скалярного произведения при переходе от одного ортонормированного базиса к другому (x`=Sx, y`=Sy), то получим:

<x|y> = <x`|y`> = <Sx|Sy> = i xi`*yi` = i,k,m Sik*xk*Simym = i,k,m Ski*TSimxk*ym =

= i,k,m Ski+Simxk*ym = k xk*yk ,

Отсюда следует, что Ski+Sim = km, т. е.

матрица S должна быть унитарной: S+S=I или S+=S-1.

Если линейный оператор D преобразует вектор x в y: y = Dx, то из формулы (*) D`=SDS-1 , где S – унитарная матрица.

Утверждение. Если в линейном векторном пространстве сохраняется скалярное произведение векторов, то переход к новому базису осуществляется только унитарными матрицами S, а линейные операторы D преобразуются по закону D`=SDS-1.

Линейные операторы в функциональном гильбертовом пространстве квантовомеханических векторов состояний

Векторы состояний (волновые функции) квантовых систем образуют функциональное гильбертово пространство.

Вспомним, как преобразуются операторы при переходе от одной полной системы собственных функций к другой.

Пусть n(q) и `n(q) – две полные системы ортонормированных собственных функций. Они связаны некоторым линейным преобразованием `n(q) = mSmn m(q) или в операторной форме `n = S n.

Чтобы обеспечить ортонормированность собственных функций, необходимо потребовать:

m* ndq = `m* `ndq = mn.

`*m `ndq = (S m)*(S n)dq S nS* m*dq = m*S*T(S n)dq = m*S+S ndq = mn.

Отсюда следует, что S+S=I, т. е. S – унитарная матрица (полная аналогия с векторным пространством, сохраняющим скалярное произведение).

Итак, матрицы преобразования от одной полной системы собственных функций к другой должны быть унитарными.

Рассмотрим какую-либо величину f и запишем матричные элементы ее оператора f̑ в новом представлении (в новой системе собственных функций):

m*f̑ ndq = `m*f̑` `ndq = (S m)*(f̑`S n)dq = f̑`S nS* m*dq = m*S*Tf̑`S ndq = m*S+f̑`S ndq.

Отсюда: f̑= S+f̑`S = S-1f̑`S.

f̑`= S f̑S-1. (*)

Оператор f̑в гильбертовом пространстве векторов состояний меняется при переходе к новой базисной системе ортонормированных собственных функций по тому же закону, что и операторы в линейном векторном пространстве.

Лекция №4 (часть II) по теории групп

“Можно быть уверенным только в одном: ни в чем нельзя быть уверенным. Если это утверждение истинно, оно тем самым и ложно.” Древний парадокс.

Представления групп

Наиболее фундаментальные применения теории групп к приложениям к физике связаны с теорией представлений групп.

Теория представлений изучает гомоморфные отображения произвольной группы на всевозможные группы линейных операторов (матриц). Значение теории представлений связано с тем обстоятельством, что эти отображения возникают “сами собой” при рассмотрении задач, обладающих той или иной симметрией.

Определение. Гомоморфизм группы G в группу линейных преобразований линейного векторного пространства называется представлением группы.

Мы будем говорить, что задано представление D группы G в некотором линейном пространстве L, если каждому элементу g группы G отвечает оператор D(g) в пространстве L, при этом групповому произведению элементов группы отвечает произведение операторов, единичному элементу – единичный оператор, а обратному элементу – обратный оператор:

D(g1g2) = D(g1)D(g2) g1,g2 G.

D(e) = I, D(g-1) = D-1(g) g G.

Размерность пространства L является размерностью представления. Группа может иметь как конечномерные, так и бесконечномерные представления. Мы будем изучать только

конечномерные представления.

Если задано линейное векторное пространство Ln, то любой его элемент x можно разложить по базису из n ортов ek:

x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen.

Тогда линейные операторы можно описывать с помощью представляющих их матриц.

Координаты вектора x в фиксированном базисе преобразуются по закону

xi Dik(g)xk

След матрицы D (SpD) в теории групп называется характером.

Так естественным образом каждому элементу gj группы сопоставляется матрица Dik(gj), причем матрицы должны быть невырожденными, так как обратным элементам группы сопоставляются обратные матрицы.

В приложениях привычнее не пользоваться композициями преобразований, а иметь дело с перемножением матриц. Построим отображение группы на матрицы, сохраняющее групповую операцию.

Определение. Гомоморфизм группы G в группу линейных преобразований (матриц) линейного пространства Ln (вещественного или комплексного) называется матричным представлением группы G.

В линейном векторном пространстве Ln представление задается матрицами n n, размерность представления определяется размерностью пространства и равна n. Каждый из n2 элементов матрицы Dik(g) является функцией на группе.

Представление D в линейном векторном комплексном пространстве L называется унитарным, если для всех g G матрицы D(g) унитарны, т. е.

Dki(g)*TDkj(g) = ij или Dik+Dkj = ij.

Утверждение (без доказательства). Все представления конечных групп эквивалентны

унитарному представлению.

Мы будем изучать в конечных и непрерывных группах унитарные представления.

Именно унитарные преобразования сохраняют норму вектора или ортонормированность векторов состояний в квантовой механике.

Приведем важные для дальнейшего примеры представлений групп.

Во-первых, представления бывают точными и неточными.

Точное представление осуществляется изоморфным отображением элементов группы в линейные операторы (матрицы), когда каждому элементу g взаимно однозначным образом ставится в соответствие матрица D(g).

Неточное представление осуществляется гомоморфным отображением элементов группы в линейные операторы.

1 Тривиальное представление

У любой группы G имеется тривиальное одномерное единичное представление:

D(g)= 1, g G. Это представление неточное.

2 Регулярное представление

Примером точного представления конечной группы является регулярное представление.

Регулярное представление имеет размерность, равную размерности группы |G|=n. Для построения регулярного представления сначала перенумеруем все элементы группы от 1 до n. Сопоставим единичному элементу группы e единичную матрицу размерности n n. Каждая строка таблицы умножения группы, отвечающая элементу k, осуществляет определенную перестановку.

Далее рассмотрим построение регулярного представления на конкретной группе D3 – группе равностороннего треугольника. Воспроизведем еще раз для наглядности таблицу умножения группы D3.

Таблица умножения группы D3.

Порядок группы D3 равен 6 – эта же размерность у матриц представления. Перенумеруем элементы верхней строки: e 1, r 2, r2 3, p 4, pr 5, pr2 6.

Единичному элементу e будет соответствовать единичная матрица 6 6. Чтобы получить, например, D(r2) рассмотрим в таблице умножения строку 3 (умножение на элемент r2 слева) и перенумеруем элементы этой строки. Порядок следования элементов с этой строке стал другим: элемент e в этой строке стоит вторым, а в верхней строке он был первым, значит 1 2. Аналогично, для элемента r:

2 3; для элемента r2: 3 1; для элемента p: 4 6; для элемента pr: 5 4; для элемента pr2: 6 5. Составим соответствующую перестановку:

s(r2) = 1 2 3 4 5 6

2 3 1 6 4 5

D(e) = 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

Чтобы получить матрицу D(r2), подействуем перестановкой на единичную матрицу D(e). Перестановка действует не единичную матрицу следующим образом: она превращает первую строку во вторую (1 2), вторую строку – в третью (2 3), третью строку – в первую (31), четвертую строку – в шестую (4 6), пятую строку – в четвертую (54), и, наконец, шестая строка становится пятой (65):

D(r2) = 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0

Таким же образом строятся все остальные матрицы, отвечающие остальным элементам. Получается изоморфное (точное) шестимерное представление группы D3. Аналогично, зная таблицу умножения любой конечной группы, можно построить ее регулярное представление. Очевидно, что для матриц, соответствующих любому элементу группы, кроме единичного, единицы, стоящие на диагонали единичной матрицы, перемещаются в недиагональные “позиции”. Это важно для дальнейших рассмотрений:

Сумма диагональных элементов (шпур Sp) единичной матрицы регулярного представления D(e) равна 6, т.е. соответствует порядку группы |G|.

Сумма диагональных элементов всех остальных матриц регулярного представления равна нулю.

3 В качестве следующего примера построим точное двумерное представление группы D3.

Для единичного элемента возьмем, естественно, единичную матрицу: D(e) = 1 0 .

0 1

Элемент r (вращение на угол 2/3) отобразим в матрицу поворота на угол 2/3 вокруг оси z:

Поворот на угол вокруг оси z: x`= xcos - ysin , y`= xsin + ycos .

sin cos

D(r) = -1/2 -3/2 D(r2)=D(r)D(r) в силу изоморфизма.

3/2 -1/2

Если начало декартовой системы координат поместить в центр треугольника, ось z ортогональна его плоскости, ось y направлена по медиане, вокруг которой осуществляется переворот, а ось x параллельна основанию треугольника, то при перевороте x-x, y y. Можно взять за D(p) матрицу:

D(p) = -1 0 Однако чаще в качестве D(p) выбирают матрицу D(p) = 0 1 .

Эта антидиагональная матрица меняет местами переменные x и y. При любом из двух возможных значений матриц D(p) сохраняются определяющие соотношения группы: p2=e D(p2)=D(p)D(p)=I, (pr)2=e D(p)D(r)D(p)D(r) = I, а также r3=e D(r)D(r)D(r) = I. Это легко проверить, перемножая соответствующие матрицы.

Замечание: Можно найти еще одно одномерное представление группы D3. Отобразим все повороты {e, r, r2}, образующие инвариантную абелеву подгруппу, в единицу: {e, r, r2} 1, а все элементы, содержащие перевороты {p, pr, pr2}-1. Это отображение сохраняет групповую операцию, что нетрудно проверить, и является гомоморфным. Вспомним, что фактор-группой D3 является группа из двух элементов {E, p}. По сути, мы получили представление фактор-группы группы D3, элемент E фактор-группы представляет инвариантную подгруппу {e, r, r2}. Этот факт подтверждает общее утверждение – одним из представлений группы является представление ее фактор-группы.

Лекция №5 по теории групп.

“Часть искусства обучения состоит в том, чтобы не раскрывать истину до конца.” Курт Готфрид. Геттингенский университет.

Эквивалентные представления

Одна из задач теории групп состоит в перечислении всех возможных представлений данной группы. При решении этой задачи существенную роль играют два понятия: понятие эквивалентности представлений и понятие приводимости представлений.

Если известно какое-либо представление D группы G в линейном векторном пространстве L, то нетрудно построить сколько угодно новых представлений группы G. Для этого следует выбрать какой-нибудь неособенный линейный оператор (матрицу) S, переводящий векторы из L в другое пространство L` того же числа измерений (в частности, L` может совпадать с L) и сопоставить элементу g G вместо оператора D(g) оператор

действующий в пространстве L`.

Соответствие g D`(g) является также представлением группы G. Действительно

D`(g1g2) = SD(g1g2)S-1 = SD(g1)D(g2)S-1 = SD(g1)S-1SD(g2)S-1 = D`(g1)D`(g2).

Любые два представления группы G, связанные соотношением (1), называются эквивалентными.

Все представления, эквивалентные данному, эквивалентны между собой. Поэтому все представления данной группы G распадаются на классы взаимно-эквивалентных представлений. Если известно хотя бы одно представление из данного класса, то без труда можно получить любое другое представление из этого же класса.

Таким образом, задача нахождения всех фундаментальных представлений сводится к задаче нахождения всех взаимно-неэквивалентных представлений.

Мы будем рассматривать только те группы, у которых каждое представление эквивалентно некоторому унитарному представлению (т. е. все операторы (матрицы) D(g) унитарны). При изучении этих групп можно ограничиться рассмотрением только унитарных взаимно-

неэквивалентных представлений. К таким группам относятся все конечные группы.

Приводимые и неприводимые представления групп. Разложение приводимых представлений группы на неприводимые.

Если задано некоторое представление группы D(g), то возникает вопрос: можно ли описать его с помощью более “простых” представлений? Вспомним, что размерность базиса линейного пространства n, в котором задано представление D(g) называется размерностью представления. Размерность n определяет размерность (ранг) матриц D(g).

Пусть в линейном пространстве Ln задано представление группы G. Если в пространстве Ln существует подпространство Lk (k<n), инвариантное относительно всех преобразований D(g), т. е. если для всех векторов x Lk выполняется условие D(g)x Lk, то представление называется

приводимым. Пространство Lk называется инвариантным подпространством. Выберем в качестве первых k ортов в пространстве Ln орты подпространства Lk. Тогда матрицы представления с помощью преобразования эквивалентности всегда можно привести к так называемому квазидиагональному виду (или, говорят, к ящично-диагональному или блочному виду):

D11 D12 …D1k | 0 …………….0

…………… | ………………

Dk1 ………Dkk | 0…………….0

_________________________

0 ……………0 Dk+1k+1… Dk+1n

……………… ………………

Если же в пространстве Ln нельзя выделить инвариантное подпространство, то представление

называется неприводимым.

Рассмотрим простой пример. Пусть все матрицы трехмерного представления вектора r(x,y,z) имеют квазидиагональную форму:

a b 0 c d 0 0 0 f

Матрицы a b

c d

образуют двумерное представление координат (x,y), а матрицы (f) – одномерное представление координаты z:

Это означает, что x и y преобразуются через самих себя, а z – независимо от них. Причем инвариантное подпространство (xi + yj) ортогонально инвариантному подпространству (zk) (i,j,k – единичные ортонормированные векторы в евклидовом трехмерном пространстве). В этом случае мы говорим, что представление вполне приводимо. Всегда можно найти унитарное преобразование базиса S, при котором все матрицы представления оказываются квазидиагональными – такое представление D(g) приводимо. Оно распадается на несколько независимых представлений,

матрицы такого представления имеют квазидиагональную структуру, а их инвариантные подпространства ортогональны.

Пусть все матрицы n-мерного представление D(g) для всех g G одновременно приводятся к квазидиагональному виду, такое представление называется вполне приводимым:

0 D(2)(g)

где D(1) – матрицы размерности m m, а D(2) – матрицы размерности (n-m)(n-m). Тогда такое представление приводимо, причем групповая операция сохраняется:

D(1)(g1)D(1)(g2) = D(1)(g1g2) и то же самое для D(2).

В общем случае приводимое представление может содержать несколько неприводимых: D(1)(g),…,D( )(g). Матрицы приводимого представления тогда имеют квазидиагональный вид:

D(2)

……………

D( )

D(1)(g), … D( )(g) образуют наборов матриц неприводимых представлений. Сумма размерностейm этих матриц равна n. Каждое неприводимое представление размерности m “действует” в своем инвариантном подпространстве размерности m . Приводимое представление D(g) является прямой суммой неприводимых представлений:

D(g) = D(1)(g) D(2)(g) … D( )(g)

Причем n-мерное векторное пространство Ln разлагается на инвариантные подпространства, ортогональные друг другу:

Ln = L(1) L(2) … L( )

Действительно, например, если приводимое представление D(g) содержит два неприводимых представления D(1)(g) размерности m и D(2)(g) размерности (n-m), то D(1) действует на m-мерные векторы x, “натянутые” на первые m ортов векторного пространства Ln, а D(2) действует на (n-m)- мерные векторы y, натянутые на следующие (n-m) ортов пространства Ln, и, следовательно, их инвариантные подпространства ортогональны.

В общем случае каждое неприводимое представление может входить в приводимое несколько раз. Тогда

D(g) = a D( )(g), здесь a - целые числа.

Определение:

Представление D(g) группы G называется приводимым, если в векторном пространстве L существует хотя бы одно нетривиальное подпространство L1, инвариантное относительно всех операторов D(g) (g G).

Определение:

Подпространство L1 называется инвариантным относительно некоторого оператора D, если этот оператор, действуя на векторы из подпространства L1, переводит их в векторы из этого же подпространства L1:

Dx L1, если x L1.

Все подпространства Li, кроме самого L и 0-пространства, называются нетривиальными подпространствами.

Представление D группы G в пространстве L называется неприводимым, если в L не существует ни одного нетривиального подпространства, инвариантного относительно операторов D(g) (g G).

Если L1 – инвариантное подпространство, то его ортогональное дополнение L2 тоже является инвариантным подпространством.

Все инвариантные подпространства ортогональны друг другу.

Поиск неприводимых представлений группы является фундаментальной задачей теории групп. Мы должны установить критерии поиска неприводимых представлений и сформулировать основополагающие теоремы.

Нам надо ответить на следующие вопросы:

1.Что является критерием неприводимости представлений?

2.Каково число неэквивалентных неприводимых представлений?

3.Каковы их размерности?

4.Определяются ли представления своими характерами (следами)?

5.Как получить характеры каждого представления?

6.Как построить представление после того, как найдена таблица характеров?

На эти вопросы отвечает теория, развитая Фробениусом, Шуром и Бернсайдом.