Теория групп / лекции теоргрупп_Ломоносова

Рис.1.

Пример 1. В группе D3 разные степени r (вращения вокруг оси C3) сопряжены между собой, поскольку, например: (не забудьте, что rp=pr2 из соотношения, полученного в лекции 1)

pr2p-1=(pr2)p=rpp=r r2~r. prp-1=(pr)p=(r2p)p=r2 r~r2 (p=p-1).

Все элементы, содержащие p (переворот треугольника), взаимно сопряжены, так как, например:

rpr-1=(rp)r2=pr2r2=pr pr~p.

r(pr)r-1=rprr2=pr2 pr~pr2 (r2=r-1); p(pr)p-1=pprp=rp=pr2 pr~pr2 и т. д.

Из геометрических соображений также видно, что повороты r, r2 на углы (2 /3) сопряжены, потому что имеется ось второго порядка C2C3. Повороты с переворотом на угол вокруг трех медиан треугольника p, pr, pr2 сопряжены, потому что в группе есть преобразования r и r2, переводящие одну медиану в другую.

Таким образом, группа D3 разбивается на три класса сопряженных элементов:

Пример 2. Сопряженные перестановки.

Рассмотрим для простоты перестановки из трех объектов, группу S3. Возьмем, например, элемент

g = 1 2 3 . Обратный элемент имеет вид: g-1 = 2 3 1 1 2 3

(Столбики внутри скобок можно переставлять – перестановки от этого не изменятся.)

Найдем сопряженный элемент b = gag-1, где элемент а, например, есть: a = 1 2 3 .

1 3 2

b = 1 2 3 1 2 3 2 3 1 = 1 2 3 1 2 3 = 1 2 3 b ~ a.

Если мы применим перестановку g к верхней строке элемента а: 1 2, 2 3, 31 и затем к нижней строке элемента a: 1 2, 3 1, 2 3, получим результирующую перестановку b= 2 3 1 = 1 2 3 .

2 1 3 3 2 1

Указанная выше процедура является правилом получения сопряженных перестановок. Перестановки, относящиеся к одному классу, либо все четны, либо все нечетны. В группе S3 единичный элемент g1=e образует класс. Кроме того, класс образуют элементы, полученные при нечетных перестановках: g2= 1 2 3 ; g3= 1 2 3 ; g4= 1 2 3 . Класс состоит из трех элементов.

Класс из четных перестановок содержит два элемента: g5= 1 2 3 ; g6= 1 2 3

Число и размерность классов в группе S3 совпадает с классами и их размерностями в группе D3, что еще раз подтверждает теорему Кэли.

Если a=gag-1, то элемент а называется самосопряженным элементом.

Совокупность самосопряженных элементов группы образует центр группы Z.

В абелевой группе каждый элемент самосопряжен, поскольку все элементы коммутируют друг с другом gag-1=agg-1=a. Следовательно, число классов сопряженных элементов в абелевой группе равно порядку группы |G|. Центр абелевой группы состоит из всех элементов группы.

Комплекс, состоящий из всех элементов, сопряженных элементу a, называется классом элемента a и обозначается (a).

Ясно, что а (a). Если (a) = a, то элемент а самосопряжен.

Теорема. Различные классы в группе G не пересекаются. Так что G есть сумма отдельных классов:

G = (e) + (a2) + ... + (ah)

Доказательство. Допустим, что классы (a2) и (a3) имеют общий элемент b. Тогда существуют такие элементы g и g` G, что

ga2g-1 = g`a3g`-1 = b, но тогда a2 = g-1g`a3g`-1g = (g-1g`)a3(g-1g`)-1 и, следовательно, элемент a2 сопряжен элементу a3, что противоречит условию, что a3 не принадлежит классу (a2).

Лекция №3 по теории групп

“Все следует делать как можно проще, но не проще, чем оно есть.” Эйнштейн

Инвариантная подгруппа (нормальный делитель)

Пусть H – подгруппа группы G. Возьмем любой элемент gi G, но gi H. Составим совокупность элементов giHgi-1. Эта совокупность также является группой, так как для нее выполняются все групповые аксиомы. Если преобразования сопряжения (подобия) не выводят за пределы подгруппы H, т.е. giHgi-1 = H, то такая подгруппа называется инвариантной подгруппой (или нормальным делителем). Будем обозначать ее N (H N).

Из определения инвариантной подгруппы следует, что если она содержит некоторый элемент g, то вместе с ним она содержит и весь класс, к которому принадлежит элемент g (построение N совпадает с построением классов сопряженных элементов). Поэтому инвариантная подгруппа состоит из целых классов группы.

Для инвариантной подгруппы смежные совокупности слева и справа совпадают.

Действительно, умножим соотношение gNg-1 = N на g справа, в результате получим

gN = Ng.

Любая группа имеет две тривиальные инвариантные подгруппы: саму группу и единичный элемент.

Группы, не имеющие инвариантных подгрупп, отличных от тривиальных, называются простыми, а не имеющие абелевых инвариантных подгрупп – полупростыми.

Из определения инвариантной подгруппы следует, что:

(a)все подгруппы абелевой группы являются инвариантными;

(b)все подгруппы индекса 2 с необходимостью являются инвариантными;

(c)инвариантная подгруппа состоит из целых классов группы G.

Задача классификации простых конечных групп была решена коллективными международными усилиями математиков в 1981 году. Доказательство простоты составляет 5 тысяч страниц! Порядок самой большой простой группы – “чудовища” Фишера – равен примерно 1054.

Примеры.

1 Найдем инвариантную подгруппу в циклической группе C4 {e, a, a2, a3 } (a4=e).

Группа абелева. Ее подгруппа всегда является делителем порядка группы, т. е. |H|=2. Покажем, что N= {e, a2} – это инвариантная подгруппа. N – подгруппа, так как содержит единичный элемент e, обратный элемент (a2)-1= a2 и сохраняет групповую операцию ea2=a2, a2a2=e. Кроме того, элементы e и a2 коммутируют со всеми элементами группы, поскольку группа абелева. Следовательно, N – инвариантная подгруппа.

2 Найдем инвариантную подгруппу в группе треугольника D3 {e, r, r2, p, pr, pr2}.

В группе D3 есть подгруппа H {e, r, r2}, состоящая из поворотов вокруг оси C3 (см. лекцию №2). Покажем, что H – это инвариантная подгруппа. Операция группового умножения, очевидно, не выводит степени r за пределы подгруппы. Проверим pHp-1=H. Из таблицы умножения группы (лекция №1) следует, что сопряжение prp-1-=prp=r2pp=r2; pr2p-1=pr2p=rpp=r. Аналогичные результаты получаются для сопряжения с элементами pr и pr2. Поэтому H – это инвариантная подгруппа H N.

Факторгруппа G/N

Инвариантная подгруппа обладает весьма примечательным свойством. Если подгруппа N инвариантна в G, то для любых элементов gi, gj G:

(giN)(gjN)=gigjNN=(gigj)N=glN, (1)

причем NN=N, так как произведение NN означает просто совокупность элементов, входящих в N. Мы получили, что для инвариантной подгруппы групповое умножение двух смежных совокупностей снова приводит к одной из смежных совокупностей.

Рассмотрим разложение Лагранжа (разложение по смежным совокупностям) по инвариантной подгруппе N:

G = N + g2N + ... +gkN.

Из (1) следует, что произведение двух смежных совокупностей дают опять некоторую смежную совокупность в разложении по N. Для каждой смежной совокупности giN имеется такая же обратная величина (giN)-1=N-1gi-1=Ngi-1=gi-1N (N-1=N). Их произведение равно giNNgi-1=giNgi-1=N.

Отсюда следует, что смежные совокупности инвариантной подгруппы можно рассматривать как элементы некоторой новой группы, в которой N играет роль единичного элемента N E. Эту группу называют факторгруппой по инвариантной подгруппе и обозначают G/N. Ее порядок равен индексу

инвариантной подгруппы. Факторгруппа, как и вообще фактор-множество в математике, означает, что мы огрубляем описание, рассматривая группу “с точностью до” какой-нибудь инвариантной подгруппы.

Примеры. 1 Рассмотрим группу треугольника D3. Три смежные совокупности совпадают с инвариантной подгруппой N=C3={e,r,r2}: Ne=Nr=Nr2. Три другие смежные совокупности Np, Npr и Npr2 тоже совпадают (см. таблицу умножения группы D3). Естественно, совпадают и соответствующие левые совокупности. Разложение Лагранжа группы D3 по инвариантной подгруппе N имеет вид:

G = N + pN (или G = N +Np).

Обозначим за единичный элемент факторгруппы саму инвариантную подгруппу F1E N. Второй элемент обозначим F2=pN. Тогда F22=pNpN=p2NN=N E. Получилась циклическая группа C2=D3/C3. В данном примере нас не интересуют вращения r. Если покрасить одну сторону треугольника в красный цвет, а другую – в синий, то получится факторгруппа из двух элементов: “красная поверхность сверху”, “красная поверхность снизу” или наоборот.

2 Найдем фактор-группу в циклической группе C4={e, a, a2, a3} (a4=e).

Группа абелева. Инвариантную подгруппу N={e, a2} возьмем за единичный элемент фактор-группы F1E=N. Разложение Лагранжа по инвариантной подгруппе имеет вид: C4=N + aN. Второй элемент факторгруппы F2=aN. Факторгруппа F= {E, aE}. Групповая операция: EE=E=F1, EaE=aE=F2, aEaE=a2E a2N=a2{e, a2}={a2, e}=N E=F1. Обратный элемент E-1=E, (aE)-1=E-1a-1=Ea3={e, a2}a3={a3, a}=a{e, a2}=aE. Получилась циклическая группа из двух элементов.

Прямое произведение групп

Прямым произведением групп G G` называется множество, состоящее из пар элементов gi g`k, gi G, g`k G`, операция между которыми определена формулой:

(g1 g`1)(g2 g`2) = (g1g2) (g`1g`2).

Из определения очевидно, что элементы каждой группы перемножаются независимо, а знак “ ” играет роль разделителя. Порядок прямого произведения равен произведению порядков групп:

|G G`| = |G| |G`|.

Например, C2 C3 = C6.

Пример. Пусть G = {e, a } (a2=e) – циклическая группа порядка 2.

Пусть G` = {e, b} (b2=e) – тоже циклическая группа порядка 2.

Прямое произведение групп G G` = {e, a , b, ab} – группа четвертого порядка.

Прямое произведение матриц

Прямое произведение матриц A B определяется следующим образом:

A B = A11B, A12B, . . .

A21B, A22B, . . .

. . . . . . . . . . . . .

An1B, . . . . . . . . .

Если размерность матрицы A – n, а матрицы B – m, то размерность матрицы прямого произведения n m.

Приведем пример прямого произведения матриц размерности 2 2:

A B = a b a` b` = aa`, ab`, ba`, bb`

c d c` d` ac`, ad`, bc`, bd`

ca`, cb`, da`, db`

cc`, cd`, dc`, dd`

Размерность результирующей матрицы 4 4.

Взаимные отображения групп

Рассмотрим фундаментальное понятие, широко используемое в теории групп – это понятие взаимного отображения групп. Различаются две категории отображений в зависимости от того является ли отображение одно-однозначным или много-однозначным.

Изоморфное отображение

Если между элементами двух групп существует взаимно однозначное соответствие, которое не нарушается при групповом умножении, то такие группы называются изоморфными.

Пусть G и G` - изоморфные группы. Тогда, если элементам gi и gk группы G соответствуют элементы (образы или отображения) g`i и g`k группы G`:

gi g`i, gk g`k, то

gigk g`ig`k

Единичному элементу группы G соответствует единичный элемент группы G` e e`, обратному элементу группы G соответствует обратный элемент группы G`. Тогда:

G G`.

Например, группа G={1, -1} изоморфна группе инверсии I: G`={e, I}. Группа треугольника D3 изоморфна группе перестановок порядка 3, т. е. симметрической группе S3 (подтверждение теоремы Кэли. См. лекцию №1).

Гомоморфное отображение

Это много-однозначное отображение элементов большей группы G на элементы меньшей группы

G`, сохраняющее операцию группового умножения, т. е. теперь несколько элементов группы G могут иметь одинаковый образ (отображение) в группе G`. Обозначим функцию, задающую закон гомоморфного отображения символом f; говорят – задан гомоморфизм f группы G в группу G` G G`

Например, отобразим гомоморфно циклическую группу 4 порядка G={e, a, a2, a3 (a4=e)} в циклическую группу 2 порядка G`={e`, b (b2=e`)}:

{e, a2} e`; {a, a3} b.

Ядро гомоморфного отображения

Пусть задан гомоморфизм f G G`. Рассмотрим комплекс элементов C={с1, ... сm} группы G, которые отображаются в единичный элемент группы G`: C e`; C называется ядром гомоморфизма:

C = Kern f.

Теорема. Ядро гомоморфного отображения группы G на группу G` есть инвариантная подгруппа.

Доказательство. Сначала покажем, что С представляет подгруппу. Так как сi e`, cj e`, то

cicj e` в силу сохранения умножения. Следовательно, cicj C. Единичный элемент группы тоже отображается в e`, и поэтому принадлежит C.

Пусть обратный элемент ci-1 c`. Покажем, что обратный элемент принадлежит C. По определению ci-1ci=e c`ci`=e`, но сi`=e`, поэтому с`=e`, т. е. ci-1 e`и, следовательно, принадлежит C.

Покажем, что C – это инвариантная подгруппа. Возьмем g G, g C. Пусть образ g в G` есть g`.

gCg-1 g`e`g`-1 = e`. Поэтому gCg-1 = C.

Отображения внутри группы. Автоморфизм и эндоморфизм

Если группа G может быть изоморфно отображена в себя, то говорят, что G допускает

автоморфизм.

Например, отображение G gGg-1 является автоморфизмом.

Эндоморфизм – это гомоморфное отображение группы G на одну из своих подгрупп H.

Лекция №4 (часть I) по теории групп

“Научную истину следует представлять в различных формах, облечена ли она в ярко окрашенную форму физических иллюстраций или в скучную и бесцветную форму символических выражений.” Джеймс Клерк Максвелл.

Прежде чем приступать к фундаментальному разделу – представлению групп, сделаем математическое отступление и вспомним некоторые хорошо известные из линейной алгебры и квантовой механики понятия.

Математическое отступление

Алгебраические структуры

Предметом алгебры является изучение алгебраических структур – множеств с определенными в них операциями. Под операцией понимается любое отображение M M M.

N – множество натуральных чисел,

Z – множество всех целых чисел,

Z+= N {0} – множество неотрицательных целых чисел,

Q– множество рациональных чисел,

R– множество вещественных (действительных) чисел,

C– множество комплексных чисел.

Кольца и поля

Кольцом называется множество M с операциями сложения и умножения:

(a)относительно сложения M – это абелева группа (аддитивная группа кольца);

(b)относительно умножения в M имеет место дистрибутивность: a(b+c)=ab+ac.

Кольцо называется коммутативным, если умножение в нем коммутативно ab=ba для a,b M.

Кольцо называется ассоциативным, если умножение в нем ассоциативно (ab)c=a(bc) для a,b,c M.

Например, числовые множества Z, Q, R – это коммутативные и ассоциативные кольца с единицей относительно сложения и умножения.

Множество векторов пространства с операциями сложения и векторного умножения являются

некоммутативным и неассоциативным кольцом.

Полем K называется коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, в котором всякий ненулевой элемент обратим.

Множества Q, R, C являются полями. Множество целых чисел Z не является полем, так как в нем обратимы только +1 и -1.

Линейное векторное пространство

Определение. Линейным векторным пространством L над полем K L(K) называется множество объектов (векторов) x, y, ..., которые можно умножать на числа a,b,... K и складывать друг с другом, при этом результат снова будет объектом из L:

ax+by=z L.

L – абелева группа относительно сложения с единичным элементом – нулевым вектором 0 L:

0=ax|a=0, для xL.

Требуется также выполнение свойств:

(a+b)x=ax+bx; a(x+y)=ax+ay; aby=a(by).

L(R) называется вещественным, а L(C) – комплексным векторным пространством.

Линейное векторное пространство могут составлять n-мерные векторы, матрицы, функции.

Векторное пространство Ln называется n-мерным линейным векторным пространством над полем

K, если в Ln существуют n линейно независимых векторов ek (k=1,2,..., n) таких, что для xLn имеет место разложение

x = xkek.

Вектор x часто удобно записывать в виде столбца

x = x1

x2:

xn

Числа xk K называются координатами (или компонентами) вектора x в базисе {ek}.

В комплексном векторном пространстве L(C) определяется операция комплексного сопряжения векторов: z*=zk*ek.

Алгебра A над полем K

Определение. Алгеброй A над полем K называется линейное векторное пространство над полем K, в котором, кроме сложения и умножения векторов на числа из K, определена операция умножения самих векторов, т.е. операция, которая любым двум векторам x,y A сопоставляет третий вектор z=x yA, причем эта операция удовлетворяет аксиомам дистрибутивности:

x(ay+bz)=a(x y)+b(x z),

(ax+by)z=a(x z)+b(y z).

для x,y,zA, a,b K.

Если для умножения еще выполняется аксиома ассоциативности:

x (y z) = (x y)z,

то алгебра A называется ассоциативной.

Если K=R или K=C, то алгебра называется вещественной или комплексной.

Например, если операция группового умножения является коммутатором двух операторов (или матриц), принадлежащих векторному пространству L, где результат вычисления коммутатора снова является оператором (или матрицей), то множество таких операторов (матриц) представляет алгебру A.

Матрицы

В дальнейшем мы будем отображать элементы группы на матричные группы D – строить представления групп. Напомним определения различных матриц над полем комплексных чисел

D(C):

Матрица S симметрична, если ST=S,

Матрица A антисимметрична (или кососимметрична), если AT=-A.

Матрица H эрмитова, если H+=H.

Матрица F антиэрмитова, если F+=-F.

Вещественная матрица O ортогональна, если OTO=I.

Матрица U унитарна, если UU+=I или U+=U-1.

Матрица A-1 называется обратной к A, если AA-1=I.

Матрица A называется невырожденной, если для нее существует обратная матрица, т.е. detA 0. В противном случае матрица называется вырожденной.

Множество матриц n-того ранга над комплексным полем K=C Dn(C) образует комплексную ассоциативную алгебру относительно операций:

A+B=Aij+Bij, AB=C=Cij=AikBkj, aA=aAij, A,B Dn(C), a C. (По дважды повторяющемуся индексу всегда проводится суммирование.)

Важными характеристиками матриц являются их след:

SpA TrA= i=1nAii

След произведения матриц цикличен: Sp(AB. . .CD)=Sp(DAB. . .C)=Sp(B. . . CDA) и т.д.

и детерминант (определитель)

detA = i1,...,in ( i1i2...in)Ai1,1Ai2,2... Ain,n,

где i1i2...in – совершенно антисимметричный тензор n-ного ранга ( 12...n=1; четная перестановка индексов дает 1, нечетная – -1, при каких-либо одинаковых индексах =0).

Детерминант произведения матриц равен произведению детерминантов det(AB...C)= det(A)det(B)...det(C).

(1)произведение матриц в общем случае некоммутативно AB BA;

(2)произведение матриц ассоциативно (AB)C= A(BC).

Прямое произведение матриц

Прямое произведение матриц A B определяется следующим образом:

A B = A11B, A12B, . . .

A21B, A22B, . . .

. . . . . . . . . . . . .

An1B, . . . . . . . . .

Если размерность матрицы A – n, а матрицы B – m, то размерность матрицы прямого произведения n m.

Приведем пример прямого произведения матриц размерности 2 2:

A B = a b a` b` = aa`, ab`, ba`, bb` c d c` d` ac`, ad`, bc`, bd`ca`, cb`, da`, db` cc`, cd`, dc`, dd`

Размерность результирующей матрицы 44.

Линейные операторы в линейном векторном пространстве

В качестве векторов в линейном векторном пространстве могут фигурировать n-мерные векторы, комплексные матрицы или функции.

Отображение D векторного пространства L на себя состоит в следующем: каждому вектору xL ставится в соответствие некоторый новый вектор yL:

y = Dx или yi=Dikxk.

Если отображение D взаимно однозначно, то существует обратное отображение D-1 такое, что

x = D-1y.

Отображение D можно рассматривать как оператор, который действует на векторы x в пространстве L и преобразует их в векторы y, также принадлежащие пространству L. Для каждого вектора xL

D-1Dx = DD-1x = x, т.е. D-1D=DD-1=1.

D – линейный оператор, если:

D(x + y) = Dx + Dy, а также D(ax) = aDx. где a принадлежит полю K (a K).

Следует подчеркнуть, что в определении операторов не указывается никакой системы координат.

Поэтому операторы имеют внутренний смысл, не зависящий от выбора системы координат.

Если отображение взаимно однозначно, то эти уравнения можно разрешить относительно xi:

xi = D-1yi.

Функции D или D-1 связывают координаты xi и yi относительно заданного базиса ei.

Если от базиса ei перейти к новому базису, образованному векторами ei`, то этот переход записывается в виде:

ei` = Skiek = SikTek

Так как векторы ei` образуют базис, они должны быть линейно независимыми. Это будет выполняться только в том случае, если определитель (детерминант) матрицы Ski отличен от нуля,

т.е. новые векторы ei` образуют базис, если матрица S неособенная. Все возможные базисы в Ln

получаются из некоторого базиса, если матрица S пробегает все множество неособенных матриц n- ного порядка.

В новом базисе вектора

y`= Sy, x`= Sx.

y=S-1y`, x=S-1x`.

При переходе к новому базису оператор (матрица) D перейдет в новый оператор (матрицу) D`

y`=D`x`