Теория групп / лекции теоргрупп_Ломоносова

Число компонент спиноров соответственно равно (1/3!)n(n+1)(n+2), (1/3!)n(n-1)(n-2), (1/3)n(n2-1), (1/3)n(n2-1).

Аналогично любой ковариантный спинор ранга p разлагается на сумму неприводимых спиноров, симметризованных и антисимметризованных по определенным схемам Юнга.

С помощью полностью антисимметричного тензора ранга n i1…in для любых контраградиентных и смешанных спиноров можно ввести эквивалентные им ковариантные спиноры. С помощью этого тензора можно опускать и поднимать индексы.

Группа SU(n) компактна, и все ее представления унитарны.

Неприводимые представления группы SU(3)

Применим результаты теории представлений группы SU(n) к группе SU(3). Спинорные индексы принимают три значения, поэтому не существует полностью антисимметричного спинора ранга больше 3, а антисимметричные спиноры третьего ранга ikl и ikl являются инвариантами. При помощи этих спиноров можно превращать каждую пару антисимметричных верхних индексов в нижние и наоборот.

Это значит, что все неприводимые представления группы SU(3) можно рассматривать как спиноры, симметричные по всем верхним индексам и по всем нижним индексам и имеющие нулевые следы. Неприводимое представление, соответствующее спинору с p верхними и q нижними симметричными индексами, обозначим D(p,q). D(q,0) – это ковариантный спинор ранга q, а D(0,p)

– это контравариантный спинор ранга p.

Подсчитаем число независимых компонент ковариантного спинора ранга q. Если бы каждый индекс принимал только два значения, то число независимых компонент было бы q+1, как в группе SU(2). Так как каждый индекс принимает три значения, то

N(q,0) = q`=0 q (q`+1) = (q+1)(q+2)/2

Аналогично число независимых компонент для симметричного контравариантного спинора ранга p:

N(0,p) = (p+1)(p+2)/2

Для смешанного спинора q раз ковариантного и p раз контравариантного получим в случае, если все следы были бы произвольными:

N(q,0)N(0,p) = (q+1)(q+2)(p+1)(p+2)/4.

Так как число таких следов равно числу компонент смешанного спинора ранга p+q-2, q-1 раз ковариантного и p-1 раз контравариантного, т.е. равно

N(q-1,0)N(0,p-1) = q(q+1)p(p+1)/4.

Тогда для неприводимого спинора ранга p + q, все следы которого равны нулю, получим q(q+1)p(p+1)/4 условий.

В результате число независимых компонент неприводимого смешанного спинора, q раз ковариантного и p раз контравариантного, равно:

N(p,q) = (q+1)(q+2)(p+1)(p+2)/4 – q(q+1)p(p+1)/4 = (p+1)(q+1)(p+q+2)/2.

Например:

N(1,0)=3, N(0,1)= 3, N(1,1) = 8, N(3,0) = 10, N(0,3) = 10, N(2,2) = 27.

Произведение двух неприводимых представлений, вообще говоря, приводимо и разлагается на неприводимые представления. Рассмотрим ряд примеров. Любой произвольный смешанный спинорik, преобразующийся по представлению 3 3, разлагается на сумму инвариантного спинора, пропорционального ik, и неприводимого спинора с нулевым следом

ik = (1/3) ik jj + [ ik – (1/3) ik jj]

Следовательно

3 3 = 1 8 или

D(1,0) D(0,1) = D(0,0) D(1,1).

Дальнейшая симметризация и антисимметризация тензоров приводит к следующим неприводимым представлениям группы SU(3):

3 - фундаментальное триплетное представление (кварки)

͞3 - представление, сопряженное фундаментальному (антикварки)

3 3 = ͞3 6 – частицы, отвечающие этим представлениям не найдены

3 ͞3 = 1 8 – октетное представление мезонов

3 3 3 = (3 ͞3) (3 6) = 1 8 10 8 – октет барионов и декуплет барионов