Теория групп / лекции теоргрупп_Ломоносова

Лекция №1 по теории групп

«В начале была симметрия» – эта идея, безусловно, более правильная, чем тезис Демокрита: «в начале была частица». В. Гейзенберг

Введение

В то время, как история квантовой теории прослеживается с 1900х годов, истоки теории групп затеряны глубоко в прошлом, едва ли доступном истории. Даже наиболее ранние работы по искусству показывают, что уже тогда были известны принципы симметрии плоских фигур. Однако теория групп приобрела математическую форму только в XIX столетии. Первым ввел понятие группы Эварист Галуа. Феликс Клейн считал понятие группы наиболее характерным и важным понятием, выдвинутом в XIX веке.

Изучение теории групп позволит нам составить представление о том обширном круге физических задач, где важную роль играют понятия симметрии и инвариантности. Многие из понятий, которые на первый взгляд кажутся не связанными между собой, например, четность, спинор, момент количества движения и т. д., допускают единое рассмотрение с теоретико-групповых позиций. Теория групп открывает существенные черты, которые не являются следствием динамических законов или предположений о действующих на систему силах – она исходит из свойств симметрии и инвариантности системы относительно некой группы преобразований.

Хорошо известно соотношение между законами сохранения и принципами инвариантности, связанными с определенными группами симметрии. Например, сохранение энергии связано с инвариантностью относительно группы трансляций вдоль оси времени и описывает некоторое свойство однородности пространственно-временного континуума. В пространстве-времени могут существовать симметрии и свойства однородности, такие, как изотропность, инвариантность относительно пространственных трансляций, что значительно облегчает проблему адекватного описания физических явлений. Дискретные группы симметрии возникают при изучении преобразований четности, обращения времени или зарядового сопряжения. Конечные группы появляются при рассмотрении кристаллической симметрии твердого тела и топологии пространственно-временных многообразий и гравитационных моделей. Теория групп играет существенную роль в квантовой механике и квантовой теории поля, в изучении многочастичных систем, общей теории относительности и теории элементарных частиц.

Сначала рассмотрим несколько простых примеров.

В уравнении L =0, где L – линейный оператор, свойства симметрии L (например, четность) приводят к классификации решений по тем же свойствам симметрии. Мы знаем, что в квантовомеханическом одномерном четном потенциале допустимы только четные или нечетные волновые функции.

При движении электрона в сферически симметричном поле инвариантность гамильтониана относительно вращений приводит к тому, что сохраняется орбитальный момент, и уровни энергии характеризуются квантовым числом l, определяющим значение момента.

Но если потенциал кулоновский U(r)~1/r или осцилляторный U(r)~r2, то решения с различными значениями момента l могут совпадать, возникает дополнительное вырождение уровней, так называемое “случайное” вырождение. В. А. Фок показал, что это происходит из-за того, что гамильтониан оказывается инвариантным относительно более широкого класса операций симметрии, чем просто вращения в трехмерном пространстве, а именно, относительно вращений в четырехмерном импульсном пространстве.

Для системы тождественных частиц гамильтониан инвариантен относительно любой их перестановки. Это обстоятельство приводит к классификации уровней энергии по спину.

Свойства симметрии физической системы являются общими и очень существенными ее характеристиками. Под симметрией системы мы всегда будем понимать инвариантность ее уравнений движения относительно некоторой совокупности преобразований.

В широком смысле, совокупность преобразований, совмещающих объект с самим собой,

называется группой симметрии объекта. Объекты могут быть разной природы: геометрические тела, молекулы, дифференциальные уравнения, функции и т. п. Главное, чтобы они не менялись при каких-либо преобразованиях.

Формализм теории не так уж сложен, но затруднения вызывают нагромождения специальных терминов, не всегда достаточно очевидных и приводящих иногда к путанице. Надо к этому привыкнуть, пока многие теоремы, звучащие таинственно, не станут казаться тривиальными.

Понятие группы. Определение группы. Некоторые примеры групп.

Определение. Группой G называется множество объектов (элементов группы), обладающих следующими свойствами:

1 Для этого множества определен закон “умножения” (или композиции, или групповая операция), по которому любым двум элементам gi и gk множества G единственным образом сопоставляется некоторый элемент gm этого множества, называемый произведением элементов gi и gk: gm=gigk.

Т. е. для gi и gk G, gm G, такой, что gm=gigk.

2 Умножение обладает свойством ассоциативности, т. е. должно выполняться равенство

(gigk)gs = gi(gkgs) для любых элементов множества. Переместительным свойством (свойством коммутативности) умножение может не обладать, так что в общем случае gigk gkgi.

3 Среди элементов множества существует единичный элемент e такой, что равенство

ge=eg=g выполняется для любого элемента g множества G.

Для g G, e: ge=eg=g.

4 Наряду с элементом g в множестве G всегда имеется обратный элемент g-1 такой, что

gg-1=g-1g=e.

Для g G, g-1 : gg-1=g-1g=e

Эти четыре свойства и определяют группу. Очевидно, что группа представляет собой совокупность, замкнутую относительно заданного в ней закона умножения (групповой операции).

В группе существует только один единичный элемент e.

Если элемент g-1 – обратный по отношению к g, то g является обратным по отношению к g-1. Для

всякого элемента группы в группе имеется обратный элемент.

Если gm=gigk, то gm-1=(gigk)-1=gk-1gi-1. Действительно, gigk (gigk)-1 = gi(gkgk-1)gi-1=giegi-1= e(gigi-1)=e.

Если все элементы группы коммутируют между собой, то группа называется абелевой. В случае не коммутирующих элементов группу называют неабелевой. Коммутативные группы исследовал норвежский математик Нильс Абель.

Если группа состоит из конечного числа элементов, то такая группа называется конечной, в противном случае – бесконечной. Число элементов в конечной группе называется ее порядком. Порядок группы обозначается |G| (или NG, или просто n).

Группы бывают дискретные и непрерывные. Первая часть курса будет посвящена дискретным конечным группам, а во второй части мы рассмотрим непрерывные группы, группы Ли, играющие важнейшую роль в физических приложениях.

Примеры групп:

1 Группа из двух элементов g1=e =1; g2=-1 c операцией умножения, |G|=2.

2 Совокупность всех целых чисел вместе с нулем образует бесконечную дискретную группу, если в качестве группового умножения мы возьмем сложение. Единичным элементом будет нуль, обратным элементом для числа a будет число -a. Эта группа, очевидно, абелева. |G|=

3 Группа инверсии относительно начала координат. Инверсия I меняет знаки координат на обратные. G: e, I.

4 Циклическая группа Cn порядка |G|=n порождается одним элементом r. Группа состоит из n элементов: e, r, r2, ... rn-1 (rn=e). Группу Сn обычно образуют вращения вокруг оси симметрии Cn на угол r=2 /n, r2=4 /n, ..., rn-1=2 (n-1)/n.

5 Группа сдвигов (трансляций) в трехмерном пространстве: элементами являются преобразования переноса начала координат на произвольный вектор a:

r`=r+a.

Эта группа непрерывная и трехпараметрическая (три составляющие вектора a меняются непрерывным образом).

6 Группа вращений SO(3). Ее элементы – преобразования вращения трехмерного пространства или соответствующие им ортогональные матрицы O размерности 3 3 OOT=OTO=1 с определителем,

равным 1 detO=1. Это непрерывная трехпараметрическая группа – 9 элементов ортогональной матрицы связаны 6 условиями (сохраняющими квадрат вектора). В качестве независимых параметров можно выбрать, например, углы { , , }. Азимутальный и полярный углы и определяют положение оси вращения, проходящей через начало координат, а угол определяет величину поворота относительно этой оси. Инвариантность относительно группы SO(3) выражает свойство изотропности трехмерного пространства (т.е. равноправности направлений).

Если к группе SO(3) добавить операцию инверсии, r -r, то получится ортогональная группа O(3).

7 Группы симметрии молекул, так называемые точечные группы, состоят из некоторых ортогональных преобразований трехмерного пространства. Например, группа симметрии молекулы, имеющей конфигурацию тетраэдра (молекула метана CH4), состоит из 24 элементов – вращений и отражений, переводящих вершины тетраэдра друг в друга.

8 Группы симметрии кристаллов, или пространственные группы, состоят из конечного числа ортогональных преобразований – дискретных сдвигов (трансляций) и их произведений.

9 Группа перестановок n объектов, например, координат тождественных частиц. Это симметрическая группа Sn. Порядок группы |G|=n!

Условия инвариантности уравнений движения.

Симметрия физической системы относительно определенной группы преобразований находит свое выражение в инвариантности классических уравнений Лагранжа или квантового уравнения Шредингера относительно этих преобразований.

Теория групп дает возможность классифицировать состояния физической системы на основе только ее свойств симметрии, без решения самих уравнений движения. В этом состоит ценность теоретико-группового подхода – возможность установить свойства симметрии

точных решений динамических уравнений и тем самым получить важную информацию о самой системе.

Классификация движений данной системы в большой степени обусловлена наличием сохраняющихся в системе величин – интегралов движения. Наличие интегралов движения определяется симметрией лагранжиана (или интеграла действия) системы относительно групп непрерывных преобразований. Это суть знаменитой теоремы Эми Нетер. Так, из инвариантности функции Лагранжа (или интеграла действия) относительно группы пространственных трансляций следует закон сохранения импульса, относительно трансляций по времени – закон сохранения энергии, из инвариантности относительно пространственных вращений (изотропии пространства) – закон сохранения момента количества движения.

Конечные группы

Начнем курс с изучения конечных групп. Конечную группу можно задать по крайней мере тремя способами:

1 Таблицей умножения (таблицей Кэли).

2 Порождающими элементами и определяющими соотношениями.

3 Как подгруппу некоторой группы перестановок Sn (это утверждение является содержанием теоремы Кэли).

Примеры

1 Циклические группы Cn порядка n порождаются одним элементом. Обозначим его r. Определяющее соотношение rn=e, а вся группа записывается в виде Cn: e, r, r2, ..., rn-1. Группа абелева.

2 Группа перестановок. Порядок группы |G|=n!. Эта группа называется симметрической группой и обозначается Sn. Перестановки из n объектов записываются в виде:

i1 i2 ... in ,

где i1, i2, ... in – те же числа 1, 2, ... n, но записанные в другом порядке. Цикл длины 2, т.е. перестановка из двух объектов, например 1, 2 2, 1 называется транспозицией и обозначается кратко (1 2).

Рассмотрим для простоты группу перестановок из 3 объектов (n=3) S3. Это подгруппа группы Sn. Порядок группы (число элементов в группе) |G|=6.

Единичный элемент e = 1 2 3

Группа перестановок неабелева. Введем правило умножения на группе. Определим произведение перестановок как композицию: сначала переставляем объекты правой перестановки g2, а затем – левой g1. А именно: в g2 1 переходит в 2 (1 2), а в g1 2 переходит в 2 (2 2), следовательно, в произведении 1 переходит в 2 (1 2). Аналогично в g2 2 1, а в g1 1 3, в произведении 2 3, и т.д.

g1g2 = 1 2 3 1 2 3 = 1 2 3

3 Группа правильного многоугольника Dn называется группой диэдра. Она имеет кроме оси симметрии n-ного порядка Cn еще ось второго порядка C2, перпендикулярную оси Cn. Обозначим порождающие элементы соответственно r (вращение на угол 2/n вокруг оси Cn) и p (вращение на угол вокруг оси C2 или переворот многоугольника). Если повернуть систему на угол 2/n, ось второго порядка перейдет в другую ось тоже второго порядка. Группа неабелева. Определяющие соотношения:

rn=e; p2=e; (pr)2=e.

Первые два соотношения очевидны, а третье соотношение рассмотрим подробнее на примере группы диэдра D3 – это группа симметрии равностороннего треугольника.

Группа диэдра D3 – группа симметрии равностороннего треугольника

Рис. 1.

Группа D3 порождается поворотом r на 2/3 вокруг оси третьего порядка, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через его центр тяжести, и поворотом p на угол вокруг любой из трех медиан (Рис.1). Группа неабелева, состоит из 6 элементов:

D3: e, r, r2, p, pr, pr2.

Группу можно задать тремя определяющими соотношениями:

r3=p2=(pr)2=e.

Проверим последнее соотношение.

Пронумеруем вершины треугольника и условимся, что r и p вращают против часовой стрелки (p вращает вокруг оси, медианы, лежащей в плоскости треугольника) (Рис.2).

Рис. 2.

Из рисунка видно, что треугольник вернулся в исходное положение, значит (pr)2=1=e.

По теореме Кэли, которая утверждает, что каждая конечная группа порядка n изоморфна (тождественна) группе перестановок Sn, можно заменить вращения на соответствующие перестановки индексов, нумерующих вершины треугольника:

e 1 2 3 ; r 1 2 3 ; p 1 2 3

(pr) = 1 2 3 1 2 3 = 1 2 3 ; (pr)2 = 1 2 3 1 2 3 = 1 2 3 = e

Получим таблицу умножения группы D3.

Таблица умножения группы строится следующим образом. В верхней строке и в левом столбце указываются все элементы группы, а затем каждый элемент левого столбца умножается на каждый элемент верхней строки, результаты перемножения (групповой операции) образуют таблицу.

Таблица умножения группы D3

Из условия r3=e следует, что r-1=r2, (r2)-1=r. Из условия p2=e следует, что p-1=p. В группе Dn принято, чтобы элемент p при умножении стоял слева от r или r2. Используя определяющие соотношения, например, найдем:

rp= (p2)(rp)(r3)=p(pr)(pr)r2=pr2; r2p=r(rp)=r(pr2)=(rp)r2=pr4=pr и т. д.

В результате получится таблица умножения группы D3.

4 Группа кватернионов (гиперкомплексных чисел) Q.

Порядок группы равен 8. Группа состоит из 8 элементов Q={e, -e, i, -i, j, -j, k, -k}.

Таблица умножения для группы кватернионов Q имеет вид:

Кватернионы представляют расширенную алгебру комплексных чисел – алгебру гиперкомплексных чисел, предложенную Гамильтоном. Кватернионы удобны для описания поворотов в трех- и четырехмерных евклидовых пространствах.

Модулем кватерниона q=a+bi+cj+dk называется число |q|=(a2+b2+c2+d2)1/2, сопряженный кватернион имеет вид q=a-bi-cj-dk, (q q)=|q|2. Вещественная часть q Req=a, мнимая часть q Imq=bi+cj+dk. В

случае, когда a=0 кватернион называется чисто мнимым. В этом случае он соответствует трехмерному вектору x=(b, c, d). Произведение двух чисто мнимых кватернионов выражается через две основные операции алгебры трехмерных векторов: скалярное и векторное произведение.

Действительно, если чисто мнимые кватернионы p и q соответствуют векторам x и y, то легко проверить, что:

Re(pq)=-(xy); Im(pq)=[x,y]. (*)

Лекция №2 по теории групп

“Всякое осмысление природы неизбежно движется большими кругами или по спирали.” Софокл

Основные понятия теории групп

Сдвиг по группе

Пусть группа G состоит из n элементов g1, g2, ..., gn. Умножим справа каждый элемент группы на один и тот же элемент gi, или, как говорят, произведем правый сдвиг по группе. Мы получим последовательность

g1gi, g2gi, ..., gngi.

В этой последовательности каждый элемент группы встречается один и только один раз. Действительно, пусть gk – произвольный элемент группы. Очевидно, что gk=(gkgi-1)gi, и поэтому gk содержится в последовательности. Так как число элементов в последовательности равно порядку группы, то каждый элемент может содержаться в ней только один раз. То же справедливо для последовательности, полученной при умножении каждого элемента слева на произвольный элемент группы. Правый или левый сдвиги по группе просто меняют чередование элементов в группе.

Подгруппа

Часть элементов группы G, которые сами по себе образуют группу с тем же законом умножения (групповой операцией), называется подгруппой H группы G (H G). Очевидно, что оставшаяся часть группы не может образовывать группу, поскольку она не содержит, например, единичного элемента. С помощью подгруппы можно “структурировать” группу.

В качестве примера найдем подгруппы в группе D3 – группе симметрии равностороннего треугольника. Совокупность трех вращений {e, r, r2} образуют подгруппу. Действительно, совокупность содержит единичный элемент и обратные элементы r-1=r2 и (r2)-1=r; групповая операция сохраняется, сохраняется и ассоциативность. Кроме того, подгруппу образуют два элемента {e, p}, {e, pr} или {e, pr2}: например, p-1=p, групповая операция и ассоциативность тоже сохраняются.

Сама группа G и ее единичный элемент e являются тривиальными подгруппами группы G.

Примеры

Группа целых чисел является подгруппой группы действительных чисел.

Группа диэдра D3 имеет нетривиальные подгруппы {e, r, r2} и {e, p}.

Группа вращений вокруг некоторой оси является подгруппой группы вращений SO(3) в трехмерном пространстве.

Группа вращений является подгруппой группы Лоренца.

Порядок элемента

В циклической группе G={e, a, a2, ..., an-1}, которая порождается одним элементом a, если an=e, то показатель степени n называется порядком элемента a. В произвольной группе, если некоторый элемент gn=e, то n также называют порядком элемента g.

Правые и левые смежные совокупности. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы.

Можно структурировать группу с помощью ее подгрупп. Пусть H – подгруппа группы G c элементами h1, h2, ... hm, где m – порядок подгруппы H. Составим последовательность совокупностей элементов группы G. Сначала возьмем элементы подгруппы H, затем выберем из группы G какойлибо элемент g1 G, не содержащийся в H, и составим совокупность элементов g1h1, g1h2, ... g1hm, которую обозначим g1H. Выберем теперь из группы G элемент g2, который не содержится в H, и

составим еще одну совокупность g2H. Можно продолжать построение таких совокупностей, пока не исчерпаем всю группу. В результате вся группа G разбивается на смежные совокупности:

G = H + g1H + g2H + ... + gk-1H. (1)

Знак “+” подразумевает объединение множеств “ ”.

Совокупности элементов giH называют левыми смежными совокупностями. Аналогично можно было бы разбить группу на правые смежные совокупности Hgl, число смежных совокупностей получилось бы тем же самым, но сами совокупности стали бы, вообще говоря, другими. Разложение группы по левым или правым совокупностям часто называют лагранжевым разложением.

Теорема Лагранжа. Левые (или правые) смежные совокупности либо не пересекаются, либо полностью совпадают.

Предположим, что в совокупностях giH и gkH имеется один общий элемент, например, gih =gkh . Тогда получим:

и, следовательно, элемент gk принадлежит совокупности giH, gk giH.

Умножим соотношение (2) справа на любой элемент подгруппы h H.

gkh =gih h =gih , но в силу произвольности h элементы h и h пробегают всю подгруппу H. Таким образом, совокупность gkH полностью совпадает с совокупностью giH. Если же в обеих совокупностях нет ни одного совпадающего элемента, то они не пересекаются. Любой элемент группы попадает в одну из смежных совокупностей. Мы разложили группу на равные по числу элементов множества.

Следовательно, группа G может быть однозначно разложена по смежным совокупностям слева (или справа) по своей подгруппе H.

Количество смежных совокупностей называется индексом подгруппы в группе. В разложении (1) индекс равен k (k – целое число) Его иногда обозначают:

k = |G H|.

Из теоремы Лагранжа следует, что индекс подгруппы равен отношению порядка группы к порядку подгруппы:

k = |G|/|H| = n/m.

Из теоремы Лагранжа также следует важное утверждение – порядок подгруппы является делителем порядка группы. Если, например, порядок группы G есть простое число, то можно сразу сказать, что в такой группе нет подгрупп, кроме единичной e и самой группы G, которые называют

тривиальными подгруппами.

Примеры.

1. G – группа целых чисел по сложению, H – подгруппа чисел, делящихся на 4. Тогда G можно разложить по смежным совокупностям:

G = H + (H+1) + (H+2) + (H +3). Индекс подгруппы равен 4.

2. G – группа, определяющая все вещественные ортогональные преобразования, включая инверсию I. H – все вещественные ортогональные преобразования с det=1 (без инверсии)

G = H + I H. Индекс подгруппы равен 2.

3. G – группа D3 (группа симметрии равностороннего треугольника). Разложим G по подгруппе H {e, r, r2}:

G = H + pH. Индекс подгруппы равен 2.

Классы сопряженных элементов

Введем еще одно разбиение группы – разбиение на классы сопряженных элементов.

Определение. Элементы a, b G называются сопряженными, если найдется элемент g G такой, что:

Говорят, b сопряжено a (или подобно a), пишут: b ~ a.

Отношение сопряженности обладает всеми свойствами отношения эквивалентности:

1a ~ a (рефлексивность)

2Если a ~ b и b ~ c, то a ~ c (транзитивность)

3Если a ~ b, то b ~ a (симметричность)

Первое и третье свойства очевидны: например, если а ~ gag-1, то g-1ag ~ a. Докажем второе свойство

– свойство транзитивности.

Действительно, пусть b = gag-1, c = g`bg`-1. Отсюда с = g`ga g-1g`-1 = (g`g)a(g`g)-1. Но произведение g`g равно одному из элементов группы, поэтому c ~ a.

Совокупность всех взаимно сопряженных элементов образует класс сопряженных элементов или просто – класс. Отношение сопряженности разбивает всю группу на классы. Классы, как и смежные совокупности, либо полностью совпадают, либо не пересекаются.

Единичный элемент группы e сам по себе образует класс. (geg-1=e)

Уже из определения видно, что регулярный способ поиска классов сопряженных элементов довольно сложен. Надо выбрать какой-либо элемент a и подставлять в формулу (3) все возможные элементы g, пока не переберем всю группу.

Однако для групп, имеющих геометрическую интерпретацию, так называемых точечных групп, содержащих повороты вокруг различных осей симметрии, зеркальные отражения, повороты совместно с отражениями (зеркальные повороты) и т. п., существует более простой способ поиска сопряженных элементов, основанный на наглядных геометрических интерпретациях. Формулу (3) в этом случае можно интерпретировать так: преобразования b ~ a сопряжены, когда это одно и то же преобразование, выполненное в двух разных системах координат. Преобразование g-1 переводит элемент a в новую систему, преобразование g возвращает элемент a в старую систему. Это значит, что повороты на один и тот же угол вокруг двух разных осей сопряжены, если в группе есть преобразование g, переводящее одну ось в другую (показано на рис. 1(а)). Если поворот происходит на одинаковые углы, но в разные стороны, и - , то преобразование g может быть двух видов: либо вращение вокруг оси C2, перпендикулярной данной оси Cn, либо зеркальное отражение относительно вертикальной плоскости v, проходящей через ось Cn (показано на рис. 1(b)). Ось Cn в этих двух случаях называется двухсторонней.