Релятивистская квантовая механика / Лекция16 релкв

Лекция №16 по релятивистской квантовой теории

“Если вы все вычислите правильно и посмотрите на результаты год спустя, то все-таки обнаружите, что они расходятся – как всегда, логарифмически.” Дж. Коллинз, автор монографии “Перенормировка”

Процедура перенормировки заряда

В Приложении к лекции №15 мы вычислили поляризационный оператор во втором порядке теории возмущений, то есть в однопетлевом приближении. Выпишем еще раз основные полученные результаты.

П_(k) = П₀(k²)(k_k_ - k²g_) (1)

П₀(k²) при низких энергиях |k|<<m имеет вид:

П₀(k²)  (/3)ln(L²/m²) + (/15)(k²/m²) (2)

L – нефизический обрезающий параметр.

П₀(k²) при высоких энергиях |k|>>m имеет вид:

П₀(k²)  (/3)ln(L²/m²) – (/3)ln|-k²/m²|. (3)

Рассмотрим процедуру перенормировки заряда на примере одной из амплитуд ee-рассеяния. Добавим к амплитуде низшего порядка теории возмущений ~e² амплитуду ~e⁴, радиационную поправку, когда при однофотонном обмене один раз образуется виртуальная электрон-позитронная пара (однопетлевое приближение), которая описывается поляризационным оператором.

Рис.1.

iT =N M (2)⁴⁽⁴⁾ (p₁+p₂-p`<sub>1</sub>-p`₂) Здесь N – константа, содержащая числовые множители и корни из энергии в знаменателе, не играющая никакой роли в процессе перенормировки.

Матричный элемент процесса с точностью до ~e⁴ записывается в виде:

M = e²(u`<sub>2</sub><sub></sub>u<sub>2</sub>)(g<sub></sub>/k<sup>2</sup>)(u`₁_u₁) + e²(u`<sub>2</sub><sub></sub>u<sub>2</sub>) (g<sub>`</sub>/k²)[k_{`</sub>k<sub>`} - k²g_``]П₀(k²)(g<sub>`</sub>/k<sup>2</sup>)(u`₁_u₁). (4)

Продольное слагаемое поляризационного оператора, пропорциональное k_k_, вклада не дает. Действительно:

k_ = p`<sub>1</sub> - p<sub>1</sub> = p<sub>2</sub> - p`_2. Если k_ внести в правый множитель (u`<sub>1</sub><sub></sub>u<sub>1</sub>) или в левый множитель (u`₂_u₂), то, имея в виду алгебраические уравнения, которым подчиняются биспиноры u и u:

(p̑-m)u=0 и u(p̑-m)=0, получим: u`<sub>1</sub>(p̑`₁-p̑₁)u₁ = u`₁(m-m)u₁ = 0.

Продольное слагаемое поляризационного оператора обычно не дает вклада в процессы.

Упростим формулу (4):

M = e²(u`<sub>2</sub><sub></sub>u<sub>2</sub>)[1-П<sub>0</sub>(k<sup>2</sup>)](1/k<sup>2</sup>)(u`₁_u₁). (5)

Назовем перенормированным зарядом e_R заряд, который “видит” мягкий фотон с большой длиной волны, с 0 – этот фотон “видит” как целое все сложнейшее квантово-полевое образование с затравочным зарядом в центре. Заряд, который видит фотон, есть постоянная тонкой структуры e_R²/4 = _R  1/137.

Подставим в формулу (5) значение П₀(k²) при низких энергиях:

M = e²(u`<sub>2</sub><sub></sub>u<sub>2</sub>)(1/k<sup>2</sup>)[1 – (/3)ln(L<sup>2</sup>/m<sup>2</sup>)](u`₁_u₁). (6)

Изменение пропагатора в формуле (6) за счет учета поляризационного оператора физически приводит к изменению заряда (его экранировке). Поэтому назовем перенормированным зарядом в однопетлевом приближении заряд:

e_R²  e²(1 – П₀(0)) = e²[1-(/3)ln(L²/m²)]  e²Z₃. (7)

Соотношение (7) представляет перенормировку заряда в однопетлевом приближении. Z₃ называется константой перенормировки в однопетлевом приближении.

Мы получим точную перенормировку заряда, если учтем все возможные образования пар в фотонном пропагаторе, то есть рассмотрим точную функцию Грина фотона. Точная функция Грина фотона получена нами из уравнения Дайсона:

D = 1/[(k²+i)(1-П(k)/k²)] (8)

Для низких энергий

D = 1/k²(1+/3ln(L²/m²)) (9)

Для точной перенормировки заряда надо заменить в (6) пропагатор в однопетлевом приближении

D⁽¹⁾ = (1/k²)[1 – (/3)ln(L²/m²)] точным пропагатором (9).

Тогда мы получим точную перенормировку заряда.

Точная перенормировка заряда в КЭД

R = eR2/4 = /[1 + (/3)ln(L2/m2)] - точная перенормировка заряда (10) Z3= 1/[1 + (/3)ln(L2/m2)] - константа перенормировки заряда

В формулу для перенормировки заряда (10) входят два нефизических параметра – это затравочный заряд (=e²/4), не измеримый на опыте, и параметр обрезания L ультрафиолетовой расходимости интеграла по петле. Объединив их в единой формуле, определяющей физически наблюдаемый заряд _R=1/137, мы “избавились” от расходимости, “завуалировали” ее в формуле (10).

Когда-то Ричард Фейнман назвал эту процедуру устранения расходимости “заметанием мусора под ковер”. Лучше и не скажешь! Принципиальная проблема существования ультрафиолетовых расходимостей в квантово-полевых теориях остается, но мы ее “спрятали” в физически наблюдаемой величине.

Внешние фотонные линии не перенормируются, они не дают вклада в перенормировку заряда. Реальный фотон не индуцирует токов e⁺e^- в вакууме. Действительно: П_(k) = (k_k_ - k²g_)П₀(k²). Для реального фотона k²=0. Кроме того, для реального фотона П_ всегда умножается на поляризацию фотона _, но _k_=0. Поэтому поляризация вакуума во внешние фотонные линии вклада не дает.

Лэмбовский сдвиг

Второе слагаемое в поляризационном операторе при низких энергиях дает вклад в амплитуду (5), пропорциональный:

~(_R²/15)(k²/m²)(1/k²) В координатном представлении k²², 1/k²1/r Мы имеем поправку к кулоновскому потенциалу ~ ²(1/r) = -4⁽³⁾(r). Эта поправка приводит к расщеплению уровней 2s и 2p в атоме водорода на 27 Мгц – это лэмбовский сдвиг. В лэмбовский сдвиг дает вклад, кроме того, вершинная диаграмма, которая модифицирует электронный ток. На эксперименте наблюдается расщепление 2s-2p уровня за счет лэмбовского сдвига ~ 1057 Мгц. Уровень 2p оказывается на 1057 Мгц ниже уровня 2s. Расхождение между теорией и экспериментом меньше 0,1 Мгц, что блестяще подтверждает теорию КЭД.

Аномальный магнитный момент электрона

Аномальный магнитный момент электрона определяется вершинной функцией:

_ = _ + ⁽²⁾_.

Это приводит к поправке к магнитному моменту электрона ₀ = e/2m:

 = (1 + /2)₀.

Этот результат был получен Швингером в 1948 году, он согласуется с современными экспериментальными данными с точностью до шестого знака после запятой. Тоже блестящее подтверждение теории КЭД.

Бегущая константа связи КЭД

Обычно мы представляем себе постоянную тонкой структуры просто как некоторое число  = e²/4 =1/137. По мере изменения передаваемого при рассеянии частиц импульса или масштаба расстояний, на которых происходит зондирование частицы, постоянная тонкой структуры изменяется.

Когда жесткий фотон с большой энергией внедряется в облако положительно заряженных частиц, экранирующих отрицательный затравочный заряд (причем генерирует процесс образования этого облака эффект поляризации вакуума), он должен “видеть” все больший заряд. Величина заряда, которую “видит” зондирующий фотон, должна зависеть от энергии зонда.

Из уравнения Дайсона физический пропагатор (функция Грина) фотона имеет вид

D = (1/k²+i)[1/(1-П(k)/k²)]

Снова полагая, что изменение фотонного пропагатора за счет эффекта поляризации вакуума несет ответственность за изменение заряда частицы, запишем e²(k) = e²/[1-П(k)/k²] и подставим сюда в качестве П поперечную часть поляризационного оператора при высоких энергиях:

(k²) = /[1 + (/3)ln(L²/m²) – (/3)ln|-k²/m²|] (11)

Поделим каждое слагаемое в числителе и знаменателе на (1+(/3)ln (L²/m²)). В результате мы получим формулу, в которой присутствуют только физические перенормированные величины зарядов и отсутствует нефизическая константа обрезания L.

Эта совершенно уникальная формула рассказывает нам, по какому закону с энергией меняется константа связи КЭД. Константа связи уже не является постоянной – ее называют бегущей (или эффективной) константой связи КЭД.

(k²) = _R/[1 – (_R/3)ln|-k²/m²|] (12)

Эта формула определяет поведение заряда КЭД с увеличением энергии по мере того, как зондирующий фотон проникает все ближе к затравочному заряду (r0). График поведения (k²) в зависимости от |k²/m²| изображен на Рис. 2.

Рис.2.

Бегущая константа связи КЭД медленно (логарифмически) растет с увеличением энергии. Поведение константы связи квантовой хромодинамики (КХД), теории, описывающей сильные взаимодействия, резко отличается от КЭД – она уменьшается с ростом энергии (такое поведение называется асимптотической свободой). Это позволяет надеяться на объединение сильного и электрослабого взаимодействий, так называемое Великое объединение. Масштабы энергий, на которых должно произойти Великое объединение, составляют ~10¹⁴ -10¹⁵ ГэВ. На Рис.2 сплошной линией обозначено поведение константы связи КЭД с ростом энергии, а пунктирной линией – константы связи КХД.

Пределы применимости КЭД

Из формулы для константы связи можно получить ограничения на пределы применимости КЭД. Заметим прежде всего, что знаменатель соотношения (12) обращается в нуль, т. е. имеет полюс при (_R/3)ln|-k²/m²| = 1.

Это так называемая сингулярность или полюс Ландау. Нет никаких физических причин, по которым (k²) должна обращаться в бесконечность при каком-либо k², а, следовательно, полюс Ландау никогда не достигается. Из этого критерия следуют ограничения на предельные импульсы и параметры обрезания в КЭД.

(_R/3)ln|k²_max/m²| < 1 или

k_max ~ L  mexp(3/2_R)  m10²⁸⁰.

Полученное число чрезвычайно велико. Если учесть, что по современным оценкам масса Вселенной составляет приблизительно M_{вселенной}  m10⁸⁰, то полученное значение на 200 порядков превышает массу Вселенной. Если в соотношение для перенормировки заряда поставить в качестве обрезающего параметра даже массу Вселенной, то величина (/3)ln(L²/m²) составит всего лишь величину, существенно меньшую единицы - 0,285.

Квантовые радиационные поправки приводят к зависимости зарядов, определяющих каждое из существующих взаимодействий, к их зависимости от энергии, но эта зависимость слабая – логарифмическая.

Согласно современному сценарию на масштабах порядка массы Планка

M_P = G_N^-1/2  10¹⁹ГэВ В обычных единицах M_P=(ħc/G_N)^1/2

(G_N – ньютоновская константа гравитационного взаимодействия), на которых становятся существенными квантовые гравитационные эффекты, имеется колоссальное многообразие частиц и взаимодействий между ними. До энергий E << M_P доживают лишь самые легкие из частиц и лишь перенормируемые взаимодействия. На доступных пока для нас энергиях мы видим сложившийся, привычный мир, состоящий из лептонов и кварков с присущими им электрослабыми и сильными взаимодействиями, и находимся на пути осмысления квантовой гравитации.

Стандартная модель (СМ) фундаментальных взаимодействий, получившая триумфальное завершение с открытием хиггсовского бозона, по-прежнему содержит много загадок и нерешенных проблем. Их разрешение потребует приложения больших усилий в течение многих лет и, возможно, в процессе их исследования будут получены новые результаты, лежащие за пределами Стандартной модели, будут открыты новые частицы и взаимодействия, которые приведут к расширению Стандартной модели.

К ближайшим задачам исследований в области физики элементарных частиц в целом и экспериментальных исследований на Большом адронном коллайдере, в частности, относятся:

1 Изучение свойств сектора хиггсовских бозонов с максимально достижимой точностью;

2 Поиск любых отклонений от Стандартной модели, указывающих на существование новой физики;

3 Поиск новой физики на ТэВ-ной шкале энергий. Например, поиск суперпартнеров известных нам частиц, существование которых предсказывает модель суперсимметрии.

Выполнение этой программы, возможно, потребует строительства электрон-позитронного коллайдера в дополнение к Большому адронному коллайдеру.

К этому следует добавить и неускорительные эксперименты по исследованию свойств нейтрино и поиску темной материи, астрофизические эксперименты по исследованию свойств Вселенной.

Мы живем в интересное время и имеем шанс приоткрыть завесу тайны!