Релятивистская квантовая механика / Лекция15 релкв

Лекция №15 по релятивистской квантовой теории

“Есть только две бесконечные вещи: это Вселенная и глупость. Хотя насчет Вселенной я не уверен.” Альберт Эйнштейн

“Бесконечность – темница мира!” Александр Блок

Перенормировки

Учет низших порядков теории возмущений вполне достаточен для предсказаний экспериментов в КЭД с точностью не хуже 10%. То, что мы обращаемся к обсуждению высших порядков теории возмущений, вызвано не потребностью повысить точность расчетов, а желанием разобраться в некоторых трудностях, которые возникают в связи с использованием теории возмущений. Ряд теории возмущений устроен таким образом, что члены более высоких порядков содержат все большее число внутренних интегралов, и, следовательно, существует возможность возрастания степени расходимости. Очевидно, чтобы теория поля вообще имела смысл, проблемы, связанные с расходимостями, должны быть разумным образом разрешены.

Основная идея теории перенормировок состоит в том, что расходимости при высоких энергиях (их называют ультрафиолетовыми расходимостями) теории поля должны компенсироваться перенормировками параметров теории.

Таким образом возникают две проблемы, не зависящие на первый взгляд друг от друга.

Первая проблема заключается в необходимости выяснить смысл параметров массы m и заряде e, которые фигурируют в лагранжианах. В низших порядках теории возмущений мы приняли, что они играют роль массы и заряда электрона. Однако теперь надо внести уточнения в эти понятия. Действительно, по своей сущности исходные уравнения Максвелла и Дирака содержат константы m и e, которые представляют заряд и массу свободного электрона, т. е. электрона, полностью изолированного от взаимодействия с электромагнитным полем. В таком случае масса и заряд являются характеристиками некого гипотетического “голого” электрона, не взаимодействующего ни с каким полем.

Взаимодействие между полями должно приводить к отличию энергетического спектра от спектра свободных полей. Поэтому масса “голого” электрона должна отличаться от массы реального электрона, от минимальной энергии однозарядового состояния взаимодействующих полей. То же справедливо и по отношению к заряду. Поэтому возникает фундаментальная задача о выяснении связи между массой и зарядом “голого” электрона и массой и зарядом реального физического электрона m_R и e_R (буква R означает Renormalization – перенормировка). Если в принципе это возможно проделать, то мы найдем соотношение вида: e=e(e_R) и m=m(e_R, m_R) И с их помощью исключим параметры e и m, выразив их через наблюдаемые m_R и e_R.

Такое исключение нефизических параметров с помощью введения наблюдаемых величин называется перенормировкой и является составной частью любой квантово-полевой теории.

Вторая проблема возникает в связи с появлением расходящихся интегралов в высших порядках теории возмущений.

Однако совершенно удивительным образом оказывается, что если сначала перенормировать заряд и массу, то во всех наблюдаемых выражениях расходимости не появляются. Мы продемонстрируем это ниже на примере вычисления радиационных поправок (высших порядков теории возмущений). Тем не менее мы будем совершать насилие над обычной математической процедурой – мы будем складывать, вычитать, делить расходящиеся интегралы, как если бы они были конечными. Нашим оправданием является тот факт, что после выполнения этих манипуляций результаты оказываются конечными и с замечательной точностью согласуются с экспериментом. Это говорит о том, что за нашим неуклюжим методом извлечения конечного ответа из выражений, которые выглядят бесконечными, кроется какая-то истина!

Возможно, мы имеем дело с плохо определенными произведениями нескольких операторов, относящихся к одной пространственно-временной точке, или бесконечности возникают как результат разложения в ряд по параметру заряда e, при этом матричные элементы могут оказаться неаналитическими функциями e в окрестности e=0, а, может быть, бесконечности являются фундаментальным изъяном в основном благополучной теории? Ответов на эти вопросы пока нет. Но мы твердо знаем, что все расходимости связаны с пространственно-временной структурой на малых расстояниях, расстояниях порядка длины Планка ~10^-33 cм (или несколько большими?).

Ныне созданы теории суперсимметрии и суперструн, позволяющие уменьшить расходимости. Но все они не имеют ни малейшего экспериментального подтверждения.

Однако ясно, что даже при отсутствии бесконечностей в теории, ее необходимо перенормировать. Происхождение перенормировки связано с тем, что состояния системы описываются с помощью невозмущенных “голых” волновых (полевых) функций, хотя в реальном физическом мире мы никогда не можем выключить взаимодействие между полями. Единственное требование, налагаемое на физически разумную теорию, заключается в том, чтобы S-матрица после перенормировки была конечной.

Рассмотрим примеры диаграмм высших порядков теории возмущений в КЭД, например, радиационные поправки к ee-рассеянию.

Рис1.

В отличие от диаграмм низших порядков теории возмущений, диаграммы высшего порядка содержат петли. 4-импульс, циркулирующий по петле, не определен. Соответствующий интеграл по петле расходится при больших значениях 4-импульсов (так называемые ультрафиолетовые расходимости).

Основные расходящиеся диаграммы КЭД

1 Поляризация вакуума П (перенормирует заряд фермиона)

Рис.2.

П ~  d⁴p [(p̑+m)/(p²-m²+i)][(p̑-k̑+m)/((p-k)²-m²+i)] ~ p³dp/p²  квадратично расходится.

2 Собственная энергия фермиона  (перенормирует массу фермиона)

Рис.3.

 ~ d⁴p`[1/((p-p`)²+i)][(p̑`+m)/(p`²-m²+i] ~ p`<sup>3</sup>dp`/p`³  линейно расходится.

3 Вершинная функция  (участвует в перенормировке массы фермиона)

Рис.4.

 ~ d⁴k`[1/(k`²+i)][(p̑-k̑`+m)/((p-k`)²-m²+i)][(p̑`-k̑`-k̑+m)/((p`-k`-k)²-m²+i)] ~

~ k`<sup>3</sup>dk`/k`⁴  логарифмически расходится.

Подсчет расходимостей диаграмм КЭД

Определим размерность D интеграла как разность полного числа 4-импульсов в числителе и знаменателе. Условие сходимости тогда будет соответствовать D<0

Пусть в какой-либо диаграмме n-ного порядка теории возмущений содержатся:

Fe – число внешних фермионных линий,

Be – число внешних бозонных (фотонных) линий,

Fi – число внутренних фермионных линий,

Bi – число внутренних бозонных линий.

В диаграмме n вершин.

Вычислим размерность D интеграла, определяющего инвариантную амплитуду, соответствующую данной диаграмме.

Вершина _ не содержит 4-импульсов. Внешние линии диаграммы также не содержат 4-импульсов и не влияют на расходимость. На расходимость влияют следующие факторы:

1 Каждая внутренняя фермионная и бозонная (фотонная) линия дает фактор в числителе d⁴p. Fi внутренних фермионных и Bi внутренних фотонных линий дают вклад:

4(Fi+Bi)

2 В каждой вершине стоит четырехмерная дельта-функция ⁽⁴⁾(p_j), которая при интегрировании сокращает число импульсов на 4. Но одна дельта-функция выражает закон сохранения энергии-импульса всего процесса в целом и не приводит к уменьшению размерности подынтегрального выражения. Таким образом, вершины дают вклад

-4(n-1)

3 Каждая внутренняя фермионная линия содержит пропагатор ~1/p. Fi линий дают

-Fi

4 Каждая внутренняя фотонная линия содержит пропагатор ~ 1/k². Bi линий дают

-2Bi.

Подсчитаем D:

D = 4(Fi+Bi) – 4(n-1) - Fi - 2Bi = 2Bi +3Fi – 4(n-1)

Выразим величину D через число внешних линий диаграммы.

В каждой вершине в диаграммах КЭД сходятся 2 фермионные и одна фотонная линия.

Число концов фермионных линий, следовательно, равно удвоенному числу вершин n, причем каждая внутренняя фермионная линия дает 2 вершины (соединяет две вершины), а каждая внешняя фермионная линия дает одну вершину. Отсюда:

2n = Fe + 2Fi.

Число концов фотонных линий равно числу вершин:

n = Be + 2Bi.

Из этих двух соотношений выразим Bi и Fi через Be и Fe и подставим в D:

D=3(n - Fe/2) + (n – Be) - 4n + 4

D = 4 – 3F_e/2 - B_e. (1)

Следовательно, степень расходимости диаграмм Фейнмана КЭД не зависит от числа вершин, т. е. от порядка теории возмущений, а определяется только числом внешних линий диаграммы. Это позволяет предположить, что степень расходимости не увеличивается с ростом порядка теории возмущений. Это обстоятельство является необходимым условием перенормируемости квантово-полевой теории.

В действительности, в КЭД содержатся только логарифмические расходимости.

Точная функция Грина фотона. Уравнение Дайсона.

Рассмотрим распространение фотона из пространственно-временной точки x₁ в точку x₂ с учетом всех процессов взаимодействия с собственным электрон-позитронным полем. Мы получим точную функцию Грина фотона – функцию Грина с учетом всех допустимых взаимодействий.

Обозначим точную функцию Грина фотона D жирной волнистой линией. Функцию Грина (пропагатор) свободного фотона D₀ будем обозначать тонкой волнистой линией. Изобразим графически все процессы, дающие вклад в точную функцию Грина фотона (Рис.5).

+ ... и т.д.

Рис.5.

D(k) можно представить в виде суммы вкладов диаграмм, содержащих все более высокие степени ^s – электромагнитной константы связи – постоянной тонкой структуры =e²/4.

D_(k) = _s=0^ D_^(s)

Во втором порядке теории возмущений ~ e²~ получим диаграмму (Рис.6)

Рис.6.

Компактными называются диаграммы, которые нельзя разрезать на части, соединенные только одной линией (фотонной, электронной). Компактные диаграммы описывают связные флуктуации, происходящие за короткое время.

Введем для фотона понятие поляризационного оператора П_(k) как сумму всех компактных диаграмм без внешних фотонных линий (Рис.7).

Рис.7.

Разрежем (мысленно) каждую диаграмму, начиная со второй, входящую в точную функцию Грина фотона, по фотонной линии, стоящей за первым поляризационным оператором (Рис.8)

Рис.8.

Тогда можно записать точную функцию Грина фотона в виде интегрального уравнения. Символически уравнение примет вид

D = D₀ + D₀ПD (2)

Полученное уравнение (2) представляет интегральное уравнение – уравнение Дайсона для точной функции Грина фотона. Его можно получить с помощью итерационной процедуры, суммируя последовательность фейнмановских диаграмм:

D = D₀ + D₀ПD₀ + D₀ПD₀ПD₀ + ... = D₀{1 + (ПD₀) + (ПD₀)(ПD₀) + ... } = D₀/(1 - ПD₀) (3)

Сумма в фигурных скобках представляет формально бесконечную геометрическую прогрессию.

Умножим уравнение Дайсона (2) слева на D₀^-1 и справа на D^-1, получим:

D₀^-1 = D^-1 + П или

D^-1 = D₀^-1 - П (4)

Функция Грина (пропагатор) невзаимодействующего фотона равен D₀ =1/(k²+i), D₀^-1=k²+i

Из соотношения (4) находим точную функцию Грина фотона:

D(k) = 1/[k²+i - П(k)] = [1/(k²+i)][1/(1 – П(k)/k²)] (5)

Мы оперировали со всеми величинами так, как если бы они были конечными, и намеренно не обращали внимание на то, что в теории встречаются бесконечности. При фактическом вычислении D по теории возмущений встречаются расходящиеся выражения, которым без привлечения дополнительных соображений нельзя приписать какого-либо определенного значения. В появлении таких ультрафиолетовых расходимостей проявляется логическое несовершенство КЭД.

Однако в теории можно установить определенные предписания, позволяющие однозначно “обходить” такие расходимости и в результате получать конечные выражения для всех величин, имеющих физический смысл. В основе этих предписаний лежат очевидные физические требования: (a) масса фотона должна равняться нулю; (b) заряд и масса электрона должны быть равны их наблюдаемым значениям.

Тогда на точный фотонный пропагатор D(k) следует наложить условие – пропагатор должен иметь полюс при k²=0, совпадающий с квадратом массы реального фотона. Из (5) следует, что П(0)=0.

Способ устранения бесконечностей состоит в приписывании расходящимся выражениям наперед заданных значений, установленных физическими требованиями. Об этой процедуре говорят как о перенормировке соответствующих величин.

Далее мы подробно рассмотрим перенормировку заряда. Квантово-полевой процесс, “ответственный” за перенормировку заряда – это рождение виртуальными фотонами короткоживущих состояний, пар заряженных частиц e⁺e^-. То есть перенормировку заряда генерирует поляризационный оператор П(k).

Действительно, рассмотрим какую-либо частицу с зарядом e₀, являющимся источником электромагнитного поля. Назовем заряд e₀ “затравочным” или “голым” зарядом. Фотоны, представляющие кванты электромагнитного поля “голой” частицы могут распадаться виртуально на пары. Если начальный затравочный заряд, например, отрицательный, то он будет притягивать к себе компоненты пар с положительными зарядами, а отрицательные заряды отталкивать на физическую бесконечность. Вокруг затравочного заряда образуется облако зарядов противоположного знака, которые экранируют затравочный заряд. Каждая заряженная частица в квантово-полевом смысле – это сложнейшее “распухшее образование”, состоящее из начального затравочного заряда, окутанного облаком зарядов противоположного знака, а также фотонами, квантами поля исходного заряда, со всеми допустимыми в КЭД взаимодействиями между заряженными компонентами виртуальных пар, между фотонами и заряженными частицами пар и т. д.

Что же “увидит” фотон, испущенный, например, пучком пролетающих электронов, если он будет зондировать это сложнейшее по структуре квантово-полевое “образование”?

Мягкий фотон с большой длиной волны, много большей размеров этого “образования”, увидит все распухшее образование как целое. Он увидит постоянную тонкой структуры =1/137 (что и видели Кулон и Герц, Максвелл и Томсон). Жесткий высокоэнергичный фотон сможет проникнуть внутрь этого образования в облако экранировки и “видеть” все больший заряд. Однако до точки расположения затравочного заряда он проникнуть не сможет (собственная энергия затравочного заряда e²/r, когда r0). В этом смысле затравочный, голый заряд оказывается неизмеримым.

Таким образом, перенормировка заряда обязана квантово-полевому процессу образования пар виртуальными фотонами, следовательно, для проведения процедуры перенормировки нам необходимо вычислить поляризационный оператор П_(k).

Некоторые обсуждения. Тождество Уорда. (не входят в экзаменационные вопросы)

Очевидно, что диаграмма Рис.2 дает вклад в заряд, который не зависит от природы рассеиваемой частицы. Но этого нельзя сказать о диаграммах Рис.3 и Рис.4, в которых рассеиваемая частица является частью петли. Может показаться, что мы придем к разным переопределениям заряда e, например, для электрона и мюона. Это было бы серьезной проблемой, так как экспериментально заряды электрона и мюона одинаковы. Именно здесь проявляется вся мощь КЭД. Полные вычисления показывают, что модификация заряда за счет вершинной диаграммы (Рис.4) магическим образом полностью сокращается с модификацией, связанной с диаграммами собственной энергии фермиона (Рис.3). Изменение заряда происходит только за счет поляризации вакуума. Такое сокращение повторяется во всех порядках теории возмущений, и заряды электрона и мюона оказываются в точности одинаковыми. Во взаимосвязи диаграмм Рис.3 и Рис.4 отражается одна очень существенная закономерность всех калибровочных теорий поля, называемая тождеством Уорда. Тождество Уорда в КЭД играет важную роль при устранении расходимостей и является непосредственным следствием закона сохранения тока и калибровочной инвариантности теории.

В низшем порядке теории возмущений обратная величина пропагатора фермиона равна:

S₀^-1=(p__-m). Отсюда

S₀^-1/p_ = _

В произвольном порядке теории возмущений S^-1 = S₀^-1 - .

Тождество Уорда в обобщенной форме для произвольного порядка теории возмущений имеет вид:

(p`-p)<sub></sub><sub></sub>(p`,p) = -[(p`) - (p)].

Смысл этого выражения заключается в том, что вершинную функцию _(p`,p) можно получить из собственно-энергетической диаграммы -(p), суммируя все диаграммы высших порядков для собственной энергии фермиона и вершинной функции во всех порядках теории возмущений. Тождество Уорда связывает между собой эти два процесса и указывает на возможность устранения расходимостей.