Релятивистская квантовая механика / Лекция14 релкв
.docxЛекция №14 и дополнительный семинар по релятивистской квантовой теории
“Отец” ядерной физики Эрнест Резерфорд утверждал, что все науки можно разделить на две группы – физику и собирание марок. Однако Нобелевскую премию ему вручили по химии. Его открытия привели к невероятному на тот момент выводу: химический элемент способен трансформироваться в другие вещества. Впоследствии ученый сказал, что из всех превращений, которые ему удалось наблюдать, “самым неожиданным стало собственное превращение из физика в химика”.
Тормозное излучение. Мягкие фотоны. “Инфракрасная катастрофа”
Наиболее важным механизмом замедления электронов высоких энергий служит тормозное излучение – процесс, сопровождающий любое изменение состояния движения заряженной частицы.
Из рассмотрения классической электродинамики очевидно, что заряженная частица, испытывающая взаимодействие в каком-либо физическом процессе, должна излучать электромагнитные волны. На квантовом языке это означает испускание тормозных фотонов, которые должны сопровождать любой процесс КЭД c участием заряженных частиц. Чем меньше энергия заряженного фотона, тем легче его испустить.
Рассмотрим тормозное излучение фотона при рассеянии электрона кулоновским полем ядра.
e- + (Z) e- + (Z) +
Две
диаграммы Фейнмана в низшем порядке
теории возмущений изображены на Рис.1.
Рис.1.
Амплитуда процесса по правилам Фейнмана записывается в виде:
iT = (-i/(2E12E22)1/2){u2(-ie)*[-(p̑2+k̑+m]/[(p2+k)2-m2+i](-ie0)A0(q)u1 +
+ u2(-ie0)A0(q)[-(p̑1-k̑+m]/[(p1+k)2-m2+i](-ie)*u1}(2)(E1-E2-)
Здесь A0(q) = -Ze/q2. (q=p2+k-p1)
После некоторого упрощения амплитуда запишется в виде:
iT = (i/(2E12E22)1/2)(Ze3/q2){u2[̑ *(p̑2+k̑+m)0/(2p2k)]u1] +
+ u2[0(p̑1-k̑+m)̑ */(-2p1k)]u1}2(E1-E2-) (1)
Упростим полученное выражение с учетом того, что испускаемый фотон – мягкий, имеет малую энергию <<m и импульс |k|=<<m. При упрощении амплитуды использованы перестановочные соотношения pk( + ) = (p̑k̑ + k̑p̑) = 2gpk =2pk, отсюда p̑k̑ = -k̑p̑ +2pk. Использованы также уравнения Дирака для биспиноров u и u: (p̑-m)u=0 или p̑u=mu и u(p̑-m)=0 или up̑=mu.
u2̑ *(p̑2+k̑+m)0u1 =u2(-p̑2̑ * + 2p2* + ̑ *k̑ + m̑ *)0u1 u2(2p2*)0u1,
u20(p̑1-k̑+m)̑ *u1 =u20(-̑ *p̑1+2p1* - k̑̑ * + m̑ *)u1 u2(2p1*)0u1.
После учета малости энергии и импульса тормозного фотона амплитуда примет вид (q=p2-p1):
iT = (iZe3/q2(2E12E22)1/2){u2 [(p2*)/(p2k) – (p1*)/(p1k)]0 u1}(2)(E2-E1) (2)
iT = {(iZe2/q2(2E12E2)1/2) [u20u1](2(E2-E1)}{e/(2)1/2[(p2*)/(p2k) – (p1*)/(p1k)]} =
= i TeZT . (3)
Амплитуда процесса в пределе мягких фотонов равна произведению амплитуд процесса рассеяния электронов в кулоновском поле ядра и процесса излучения тормозного фотона. Говорят – амплитуда излучения тормозного фотона факторизуется (распадается на произведение амплитуд независимых процессов). Следовательно, факторизуется и сечение. Испускание каждого последующего мягкого фотона приводит также к факторизации сечения. Это утверждение называется теоремой Лоу. Физически это означает независимость излучения мягких фотонов и является особенностью только теории КЭД. Эта особенность связана с сохраняющимся электромагнитным током.
Сечение тормозного излучения фотонов получено Бете и Гайтлером.
Дифференциальное сечение, определяющее излучение тормозного фотона, запишется в форме:
d = e2[(p2*)/(p2k) – (p1*)/(p1k)]2 [|k|2d|k|dk/((2)32)] ~ d/, (4)
так как (p1k)~, (p2k)~, |k|=
Сечение процесса логарифмически расходится. Эта логарифмическая расходимость сечения при энергии тормозных фотонов, стремящейся к нулю, называется “инфракрасной катастрофой”.
Можно ввести обрезающую расходимость частоту min, которая обычно находится за пределами чувствительности приборов, и сделать искусственно интеграл хорошо определенным.
~ ln(/min). (5)
В действительности никакой катастрофы не происходит. Анализ показывает, что причина появления расходимости связана не с физикой, а с использованием теории возмущений. Эта расходимость в сечении компенсируется такой же расходимостью в высших порядках теории возмущений.
Вычисленный нами результат получен в предположении, что излучение одного мягкого фотона более вероятно, чем излучение двух и более фотонов. В случае излучения длинноволнового фотона теория возмущений КЭД оказывается неправомерной, когда параметр ln(E/) становится больше единицы. Множественное излучение мягких фотонов и учет высших порядков теории возмущений к процессу рассеяния снимают проблему “инфракрасной” катастрофы.
Образование мюонных пар в электрон-позитронных столкновениях
На электрон-позитронных коллайдерах, на встречных электрон-позитронных пучках, чрезвычайно важным становится процесс образования пар частиц, когда электрон и позитрон сталкиваются, в результате образуется фотон (а при высоких энергиях наряду с фотоном образуется Z0-бозон – такой процесс обусловлен слабым взаимодействием), а затем фотон распадается на пару любых частиц и их античастиц. Такого рода процесс с образованием пар новых частиц является одним из самых важных в физике высоких энергий. Он служит фундаментальной основой для поиска и открытия новых частиц, в том числе бозонов Хиггса, для исследования новой физики за пределами Стандартной модели на e+e- -коллайдерах (например, на SLAC с E=50 ГэВ, на LEP (Церн) c E=60 ГэВ).
Мы вычислим подробно в низшем порядке теории возмущений сечение процесса КЭД
e+ + e- + + -
Диаграмма Фейнмана процесса в низшем порядке теории возмущений изображена на Рис.2.
Рис.2.
Масса электрона m, масса мюона M.
iT = (d4k/(2)4i){[v2(p2)/(2E2)1/2][-ie(2)4(4)(p1+p2-k)][g/(k2+i)][u1(p1)/(2E1)1/2]}
{[u`1(q1)/(2E`1)1/2][(-ie)(2)4(4)((k-q1-q2)][v`2(q2)/(2E`2)1/2]} (6)
После взятия интеграла с помощью одной из дельта-функций и простых упрощений получим:
iT=[ie2/(2E12E22E`12E`2)1/2][v2(p2)u1(p1)][1/k2][u`1(q1)v`2(q2)](2)4(4)(p1+p2-q1-q2) (7)
Здесь k2=(p1+p2)2=(q1+q2)2
Эрмитово сопряженная амплитуда:
-iT+ = [-ie2/(2E12E22E`12E`2)1/2][u1(p1)v2(p2)][1/k2][v`2(q2)u`1(q1)](2)4(4)(p1+p2-q1-q2) (7`)
Квадрат модуля амплитуды, усредненной по поляризациям начальных частиц и просуммированный по поляризациям конечных частиц (эти процедуры приводят к следам, шпурам) примет вид:
<|T|2> = [e4/(2E12E22E`12E`2)][1/k4]{(1/4)Sp(p̑2-m)(p̑1+m)}{Sp(q̑2-M)(q̑1+M)}
(2)4(4)(p1+p2-q1-q2) (8)
Теперь надо вычислить оба следа – первый след связан с поляризациями электрон-позитронной пары, второй – с поляризациями мюонной пары.
Общее правило. От каждой фермионной (антифермионной) линии, идущей от начала одной внешней линии до конца другой внешней линии в диаграмме Фейнмана, в квадрате модуля амплитуды возникает след.
Вычислим след от электрон-позитронной пары:
Sp(e) =Sp(p̑2-m)(p̑1+m) = Sp(p̑2p̑1 -m2) = p2p1Sp() – m2Sp() =
= 4p2p1(gg + gg - gg) - 4m2g = 4{p2p1 + p2p1 - ((p1p2) + m2)g}.
След от мюонной пары вычисляется полностью аналогично следу Sp(e):
Sp() = Sp(q̑2-M)(q̑1+M) = 4{q2q1 + q2q1 - ((q1q2) + M2)g}.
Перемножим оба следа:
Sp(e)Sp() = 32{(p2q1)(p1q2) + (p1q1)(p2q2) – (p1p2)((q1q2)+M2) – (q1q2)((p1p2)+m2) +
+ 2((q1q2)+M2)((p1p2)+m2)} (9)
Рассмотрим кинематику процесса в системе центра.
Электрон и позитрон сталкиваются с одинаковыми энергиями E и с одинаковыми, направленными в противоположные стороны, импульсами p0. Оба мюона разлетаются в разные стороны тоже с одинаковыми энергиями E` и одинаковыми, направленными в противоположные стороны, импульсами p0`. Угол рассеяния, угол между импульсом p0 начального электрона и импульсом конечного мюона p0` обозначим .
p1 = (E, p0), p2 = (E, -p0); q1 = (E`, p0`), q2 = (E`, -p0`).
Из закона сохранения энергии следует 2E=2E`, то есть энергии всех участвующих в процессе частиц одинаковы и равны E.
(p1p2) = E2+p02, (q1q2) = E2+p0`2, (p1q1) = E2 – p0p0`cos, (p1q2) = E2 +p0p0`cos,
(p2q1) = E2 +p0p0`cos, (p2q2) = E2 – p0p0`cos. (10)
Диаграмма Рис.2 – s-канальная. k2=s=(p1+p2)2= 4E2 (11)
Дифференциальное сечение процесса:
d = (1/)<|T|2> /jнач d3q1/(2)3d3q2/(2)3 (12)
E1E2jнач = v1E1E2 (л.с.) =|p1|E2 (л.с) =m|p1|=((p1p2)2 - p12p22)1/2 – лоренц-инвариантное выражение.
В системе центра имеем: ((E2+p02)2-m4)1/2 =[(E2+p02+m2)(E2+p02-m2)]1/2 = (2p022E2)1/2 =2p0E. (13)
В лабораторной системе (электрон налетает, позитрон покоится): ((p1p2)2-p12p22)1/2 =
=((mE1)2-m4)1/2 = m|p1|
Подставляем произведение следов (9), кинематические соотношения (10), (11) и (13) в усредненный по поляризациям квадрат амплитуды (8), получим после интегрирования по импульсу q2 с помощью трехмерной дельта-функции, по энергии E1 – с помощью дельта-функции от энергии, записав
d3q1=|q1|2d|q1|d=|q1|E1dE1d, d=2d(cos)
получим выражение для дифференциального сечения в зависимости от угла рассеяния :
d/d = [e4/((2)264E6)][p0`/p0][E4 +p02p0`2cos2 + E2(m2+M2)] (14)
Введем константу =e2/4 - постоянную тонкой структуры. Введем скорость начального электрона
v0 = p0/E, m2/E2 = (E2-p02)/E2 = 1 – v02,
а также скорость конечного мюона
v0` = p0`/E, M2/E2 = (E2-p0`2)/E2 = 1 – v0`2.
Подставим полученные соотношения в дифференциальное сечение:
d/d = [2/16E2][v0`/v0][(3 – v02 – v0`2) + v02v0`2cos2] (15)
Полное сечение процесса равно:
= [2/4E2][v0`/v0][(3-v02-v0`2) + v02v0`2/3] (16)
В ультрарелятивистском случае E>>M, когда v0~1 и v0`~1, дифференциальное сечение имеет вид:
d/d = 2/4s (1 + cos2) (17)
Полное сечение в ультрарелятивистском случае принимает вид:
= 42/3s (18)
Спиральная структура амплитуды процесса e+ + e- + + -
uL = (1/2)(1+5)u, uR = (1/2)(1-5)u; uL =u(1/2)(1-5), uR =u(1/2)(1+5);
vL = (1/2)(1-5)v, vR = (1/2)(1+5)v; vL =v(1/2)(1+5), vR =v(1/2)(1-5).
T ~ (vu)(u`v`) = {(vL +vR)(uL + uR)}{(u`L +u`R)(v`L + v`R)} =
= {(vLuR) + (vRuL)}{(u`Lv`R) + (u`Rv`L)}.
Очевидно, что vLuL=vRuR =u`Lv`L =u`Rv`L = 0, так как (1+5)(1+5)=0, (1-5)(1-5)=0.
Следовательно, допустимы только процессы с указанными ниже поляризациями (спиральностями):
T1 ~ (vLuR)(u`Lv`R) eL+ eR- L-R+ ; d/d ~ (1 - cos)2
T2 ~ (vLuR)(u`Rv`L) eL+eR- R-L+ ; d/d ~ (1 - cos)2
T3 ~ (vRuL)(u`Lv`R) eR+eL- R+L- ; d/d ~ (1+cos)2
T4 ~ (vRuL)(u`Rv`L) eR+eL- R-L+ ; d/d ~ (1+cos)2.
Расчет процесса eL+ + eR- L- + R+ в ультрарелятивистском приближении
T ~ (vLuR)(u`Lv`R) = [v(1/2)(1+5)(1/2)(1-5)u][u`(1/2)(1-5)(1/2)(1+5)v`] =
= (1/4)[v(1+5)u][u`(1+5)v`]
[v(1+5)u]+ = u+02+(1+5)+0+v =u(1-5)v
T+ ~ [u(1-5)v][v`(1-5)u`]
<|T|2> ~ (1/4)Sp(e){(p̑2-m)(1+5)(p̑1+m)(1-5)}Sp(){(q̑1+M)(1+5)(q̑2-M)(1-5)}
В ультрарелятивистском приближении E>>M |p1|=|p2|p0 |q1|=|q2|p`0 E0 получим:
<|T|2> ~ (1/4)Sp(e){p̑2p̑1(1-5)} Sp(){q̑1q̑2(1+5)} =
= 4{p2p1 + p2p1 - (p1p2)g - ip2p1}{q1q2 + q1q2 - (q1q2)g + iq1q2} =
= 4{2(p1q1)(p2q2) + 2(p1q2)(p2q1) – 2(p1p2)(q1q2) – 2(p1p2)(q1q2) + 4(p1p2)(q1q2) +
+ q1q2p2p1} = 16(p1q1)(p2q2) = 16[E02 – p0p`0cos]2
16E04(1 – cos)2.
При вычислении использована свертка тензоров:
q1q2p2p1 = q2q1p2p1 = q2q1p2p12(gg - gg) =
= 2(p1q2)(p2q1) – 2(p2q2)(p1q1)
Справка:
Sp(5) = 0
Sp(5) = 4i.
= | g g g g |
| g g g g |
| g g g g |
| g g g g |
Теорема Фарри
Диаграммы, содержащие замкнутые фермионные петли, дают нулевую амплитуду, если число входящих и исходящих фотонов в них нечетно. Это утверждение является следствием зарядового сопряжения С. Если диаграмма содержит N вершин, то к ней подходит N фотонных линий. Зарядовая четность каждого фотона отрицательна С=-1. Нечетное число фотонов означает разную зарядовую четность начального и конечного состояний, что невозможно из-за сохранения зарядовой четности.