Релятивистская квантовая механика / Лекция13 релкв

Лекция №13 по релятивистской квантовой теории

Макс Планк стал профессором Берлинского университета в 31 год. Он еще плохо ориентировался в новом для себя здании и однажды забыл, где проводятся занятия. Тогда Планк обратился к пожилому заведующему канцелярией с вопросом: “В какой аудитории профессор Планк сегодня читает свою лекцию?” Старик снисходительно похлопал Планка по плечу: “Юноша, не ходите туда, Вы еще слишком молоды, чтобы понимать лекции нашего мудрого профессора Планка”.

Некоторые вопросы, связанные с Комптон-эффектом.

Эффект Комптона – рассеяние фотона свободным электроном  + e^-   + e^- – является самым распространенным и наблюдаемым эффектом КЭД. Если пропускать пучок фотонов (электромагнитное излучение) через вещество, то основные потери (отклонение пучка от первоначального направления) обусловлены рассеянием фотонов на электронах внешних оболочек атомов, такие электроны слабо связаны с атомом и являются почти свободными. В низшем, втором порядке теории возмущений, Комптон-эффекту соответствуют две диаграммы Фейнмана (Рис.1), первая из которых называется рассеивательной диаграммой (s-канальная диаграмма), а вторая – обменной (t-канальная диаграмма).

Рис.1.

Запишем по правилам Фейнмана инвариантную амплитуду процесса. Сначала запишем амплитуду для первой диаграммы (для простоты опустим в полевых функциях электрона и фотонов поляризационные индексы).

iT₁ =  (d⁴p/(2)⁴i) [u(p₂)/2E₂][(-ie_)(2)⁴⁽⁴⁾(p₂+k₂-p)][_2*/2₂][-(p̂+m)/(p²-m²+i)]

[(-ie_)(2)⁴(p₁+k₁-p)][_1/2₁][u(p₁)/2E₁].

Проинтегрируем это выражение по d⁴p, например, с помощью дельта-функции, соответствующей левой вершине, и соберем все константы:

iT₁ = (-i)[e²/(16E₁E₂₁₂)^1/2]{u(p₂)̂₂*[(p̂₁+k̂₁+m)/((p₁+k₁)²-m²+i)]̂₁u(p₁)}(2)⁴⁽⁴⁾(p₁+k₁-p₂-k₂) (1)

Обратите внимание, что во всех полюсных (древесных) диаграммах, вершины всегда соединяются одной внутренней линией (пропагатором), число интегрирований по d⁴p на единицу меньше числа дельта-функций, стоящих в вершинах диаграммы. Поэтому интегрирование осуществляется тривиально с помощью какой-либо из дельта-функций, соответствующих закону сохранения энергии-импульса в вершине, и всегда остается еще одна дельта-функция, определяющая закон сохранения всего процесса в целом.

Наиболее важными, резко меняющимися факторами, для любого рассматриваемого процесса являются пропагаторы, содержащие полюса при значениях квадратов 4-импульсов, равных квадратам масс свободных частиц. Это значит, что физически процесс определяется одночастичным обменом.

Амплитуда (1) содержит в знаменателе переменную s=(p₁+k₁)² (поэтому она и называется s-канальной диаграммой), равную в системе центра процесса квадрату суммы энергий начальных частиц, и не зависит от угла рассеяния. Углом рассеяния в Комптон-эффекте называют угол между конечным k₂ и начальным k₁ импульсами фотонов. Знаменатель равен:

(p₁+k₁)²-m²=p₁²+k₁²+2p₁k₁-m²=2p₁k₁, (2)

так как p₁²=m², k₁²=0.

Фейнмановское доопределение в знаменателе “+i” в древесных диаграммах можно упустить, поскольку никаких интегрирований в инвариантной амплитуде больше не содержится.

Амплитуда второй диаграммы после интегрирования по d⁴p` приобретает вид (в ней фотоны меняются местами, т. е. ̂₂*̂₁):

iT₂ = (-i)[e²/(16E₁E₂₁₂)^1/2]{u(p₂)̂₁[(p̂₂-k̂₁+m)/((p₂-k₁)²-m²+i)]̂₂*u(p₁)}(2)⁴⁽⁴⁾(p₁+k₁-p₂-k₂) (3)

Знаменатель равен:

(p₂-k₁)²-m²=p₂²+k₁²-2p₂k₁-m²=-2p₂k₁. (4)

В качестве примера рассмотрим вопрос: куда летит рассеянный фотон по отношению к направлению движения начального фотона в системе центра инерции?

Для этого рассмотрим знаменатель второй диаграммы. В системе центра процесса сумма импульсов k₁+p₁=k₂+p₂=0, откуда p₂=-k₂.

2p₂k₁=2(E₂₁-p₂k₁)=2(E₂₁+k₂k₁)=2(E₂₁+₂₁cos) (5)

|k₁|=₁, |k₂|=₂, поскольку фотон безмассовый. Амплитуда имеет наибольшую величину там, где знаменатель мал, следовательно, такие конфигурации импульсов, которые приводят к минимальному значению знаменателя, определяют наибольшие значения сечения и, тем самым, дают наибольшие значения вероятности. Наименьшие значения (5):

E₂+₂cos0, когда cos-1.

Сечение Комптон-эффекта в системе центра должно быть максимально при конфигурации, когда рассеянный фотон летит назад. Действительно, экспериментально в сечении Комптон-эффекта в ц-системе наблюдается резкий пик назад. Этот пик наиболее ярко выражен в ультрарелятивистском случае ₁>>m, при этом E₂₂, и знаменатель (5) минимален.

Этот пример поучителен тем, что в ряде случаев можно предсказать конфигурации рассеянных частиц, рассматривая пропагаторы (функции Грина) системы, и не вычисляя сечения процесса, что сопряжено с техническими сложностями. Это не выглядит странным, так как физику древесных (полюсных) диаграмм определяет механизм одночастичного обмена.

К сожалению, в курсе не хватает времени для подробного вычисления сечения Комптон-эффекта. Все вычисления (весьма громоздкие) выполняются по аналогии с расчетом рассеяния электрона кулоновским полем ядра. Приведем конечный результат для дифференциального сечения Комптон-эффекта в л-системе, где начальный электрон покоится, а фотон налетает на него с энергией ₁. Сечение усреднено и просуммировано по поляризациям начального и конечного электрона и усреднено по поляризациям фотонов. Формула впервые получена Клейном и Нишиной и носит их имя.

d/d = (²/2m²)(_2/₁)²(₂/₁ + _1/₂ – sin²)

Порядок величины сечения определяется размерным параметром – классическим радиусом электрона r₀²=²/m² = (2,810^-13 cм)².

Полное сечение Комптон-эффекта равно:

при низких энергиях:

  (8/3)r₀² – томсоновское сечение. (6)

при высоких энергиях:

  r₀²(m/₁)[ln(2₁/m) + ½] ~1/₁. (7)

Cечение “вымирает” при энергии фотона ₁500 МэВ. Фотоны с более высокой энергией проходят через вещество, не рассеиваясь на электронах, а в потерях энергии существенную роль начинает играть механизм образования электрон-позитронных пар в кулоновском поле ядра:

 + Z  e⁺ + e^- + Z.

Поведение полного сечения Комптон-эффекта в зависимости от энергии налетающего фотона изображено на Рис. 2.

Рис.2.

Проверка калибровочной инвариантности диаграмм Комптон-эффекта

При локальной калибровочной инвариантности полевые функции спинорных частиц меняются по законы:

(x)  exp[ie(x)](x); (x)  exp[-ie(x)](x).

Это не меняет лагранжиана взаимодействия КЭД L_int =(x)_(x)A_ и не меняет инвариантную амплитуду процессов КЭД, поскольку T_fi ~_fR_i.

Однако калибровочная инвариантность электродинамики определяется условиями, наложенными на 4-потенциалы электромагнитного поля: A_  A_ - _(x). Если 4-потенциал описывает полевую функцию фотона, то в импульсном представлении условие калибровочной инвариантности приводит к соотношению:

_  _ + (k²)k_ (8)

Добавление второго слагаемого (k²)k_ не должно сказываться на физических результатах и должно приводить к нулевому вкладу.

Если обозначить какую-либо амплитуду процесса, содержащего свободный фотон с поляризацией _, буквой M, то M=J__. При замене (8): M  M`=J__ + (k²)J_k_. Второе слагаемое не должно давать вклада, поэтому J_k_=0. В силу произвольности функции (x) это означает, что замена в амплитуде поляризации фотона _ на его 4-импульс k_ (_k_) должна давать нулевой результат.

Проверим калибровочную инвариантность Комптон-эффекта, например, по налетающему фотону. (Тот же нулевой результат получится и при проверке калибровочной инвариантности по рассеянному фотону.) Для этого запишем полную амплитуду Комптон-эффекта, равную сумме соотношений (1) и (3), и заменим в амплитуде _1 на k_1:

J_k_ ~ [1/(2p₁k₁)]{u₂̑₂*[p̑₁+k̑₁+m]k̑₁u₁} + [1/(-2p₂k₁)]{u₂k̑₁[p̑₂-k̑₁+m]̑₂*u₁}. (9)

В первом слагаемом поменяем местами сомножители p̑₁ и k̑₁ (p̑₁k̑₁=-k̑₁p̑₁ +2p₁k₁) воспользуемся уравнением Дирака для u: p̑₁u₁=mu₁ и равенством нулю массы фотона k₁²=0. Во втором слагаемом меняем местами сомножители k̑₁ и p̑₂ и пользуемся уравнением Дирака для u:u₂p̑₂=mu₂, а также нулевой массой фотона. Получим:

u₂̑₂*[(-mk̑₁+mk̑₁+2p₁k₁)/(2p₁k₁)]u₁ + u₂[(-mk̑₁+mk̑₁+2p₂k₁)/(-2p₂k₁)]₂*u₁ = 0. (10)

Калибровочная инвариантность диаграмм выполняется в каждом порядке теории возмущений для любого процесса КЭД.

О рассеянии электрона на электроне

Диаграммы процесса eeee изображены на Рис.3.

Рис.3.

Амплитуда процесса iT пропорциональна:

iT ~ {[u(p₁`)(-ie<sub></sub>)u(p<sub>1</sub>)](1/q<sup>2</sup>)[u(p<sub>2</sub>`)(-ie_)u(p₂)] – [u(p₂`)(-ie<sub></sub>)u(p<sub>1</sub>)](1/q`²)[u(p₁`)(-ie_)u(p₂)]}

(2)⁴⁽⁴⁾(p₁+p₂-p₁`-p<sub>2</sub>`) (11)

Первая диаграмма t-канальная, вторая диаграмма u-канальная. (

Кинематика процесса в системе центра инерции:

p_1  p₁ = (E,p), p_2  p₂ = (E, -p), p_1` p<sub>1</sub>` = (E, p`), p<sub>2</sub>`  p₂` = (E, -p`).

При этом |p|=|p`|p₀. E=(p₀²+m²)^1/2E₀.

При упругом рассеянии двух одинаковых частиц их начальный импульс равен конечному по абсолютной величине, конечные импульсы повернуты на угол рассеяния  по отношению к начальному направлению сталкивающихся частиц.

Знаменатели пропагаторов в (11) равны:

q² = (p₁`-p<sub>1</sub>)<sup>2</sup> = t =p<sub>1</sub>`²+p₁² - 2p₁`p₁= 2m²- 2E₀²+2p₀²cos = -2p₀²+2p₀²cos = -4p₀²sin²(/2).

q`<sup>2</sup> = (p<sub>2</sub>`-p₁)² = u = 2m² – 2p₂`p₁ = 2m²-2E₀² +2p₀²cos(-) = -2p₀²-2p₀²cos = -4p₀²cos²(/2).

Таким образом, амплитуда пропорциональна:

T ~ (1/sin²(/2) – 1/cos²(/2)),

а дифференциальное сечение процесса пропорционально:

d/d ~ {1/sin²(/2) – 1/cos²(/2)}²

В сечении процесса наблюдаются два пика – при рассеянии назад (=) и при рассеянии вперед (=0).