1. Правила Фейнмана для вычисления элементов S-матрицы в КЭД

1. Внешнему фермиону в конечном состоянии сопоставляется фактор: ū^(p)/2E. На диаграмме Фейнмана внешнему фермиону в конечном состоянии сопоставляется сплошная линия, выходящая из вершины. Указанной линии приписывается 4-импульс p. Здесь p – 4-импульс фермиона,  – спиральность, ū^(p) – дираковский сопряженный биспинор, описывающий спиновое состояние фермиона (точка на диаграмме всюду отвечает вершине взаимодействия).

 ū^(p)/2E

p

2. Внешнему фермиону в начальном состоянии сопоставляется фактор u^(p)/2E. На диаграмме Фейнмана внешнему фермиону в начальном состоянии сопоставляется входящая в вершину сплошная линия. Указанной линии приписывается 4-импульс p. Здесь u^(p) – биспинор, описывающий спиновое состояние фермиона.

 u^(p)/2E

p

3. Внешнему антифермиону в конечном состоянии сопоставляется фактор v^(p)/2E. На диаграмме Фейнмана ему сопоставляется входящая в вершину сплошная линия. Указанной линии приписывается 4-импульс (-p). Здесь v^(p) – биспинор, описывающий спиновое состояние антифермиона.

 v^(p)/2E

-p

4. Внешнему антифермиону в начальном состоянии сопоставляется фактор v^(p)/2E. На диаграмме Фейнмана ему сопоставляется выходящая из вершины сплошная линия, которой приписывается 4-импульс (-p).

 v^(p)/2E

-p

5. Поглощаемому реальному фотону с 4-импульсом k и типом поляризации () сопоставляется фактор ^()_/2. На диаграмме Фейнмана поглощаемому фотону сопоставляется волнистая линия, входящая в вершину, с указанием 4-импульса фотона k, ^()_ - 4-вектор его поляризации; 4-векторный индекс  совпадает с соответствующим индексом матрицы Дирака _ в вершине поглощения, индекс () отмечает тип поляризации поглощаемого фотона.

 () ^()_/2

k

6. Излучаемому реальному фотону с 4-импульсом k и типом поляризации () сопоставляется фактор ^()*_/2. На диаграмме Фейнмана ему сопоставляется волнистая линия, выходящая из вершины. 4-векторный индекс  совпадает с соответствующим индексом матрицы Дирака _ в вершине излучения.

() ~ ^()*_/2

k

7. Каждой вершине излучения (поглощения) фотона заряженным фермионом (антифермионом) сопоставляется фактор (-ie_) (здесь e – заряд электрона). Кроме того, в каждой вершине 4-импульсы пересекающихся (входящих и выходящих) линий удовлетворяют закону сохранения 4-импульса, т.е. p₁k=p₂, где p₁, p₂ – 4-импульсы входящей и выходящей из вершины фермионной линии (для антифермионной линии p₁-p₁, p₂-p₂), k – 4-импульс поглощаемого или излучаемого в вершине фотона. Каждой вершине соответствует фактор (2)⁴⁽⁴⁾(p₁k-p₂).

8. Внешнему электромагнитному полю сопоставляется фактор (-ie_)A_(q), где Фурье-компонента внешнего поля A_(q)=d⁴xe^i(qx)A_(x), где q=(p₂-p₁). Если поле A_(x) не зависит явно от времени, то вершине взаимодействия с ним сопоставляется фактор (-ie_)2(E₁-E₂)A_(q), где A_(q)=d³xe^-iqxA_(x), где q=p₂-p₁ -функция отражает закон сохранения энергии фермиона (антифермиона), взаимодействующего со стационарным внешним полем.

На диаграмме Фейнмана внешнему полю сопоставляется волнистая линия с крестиком на свободном конце и фактор (-ie_)A_(q) – для нестационарного внешнего поля; или фактор (-ie_)A_(q)2(E₁-E₂) – для стационарного внешнего поля.

9. Внутреннему (виртуальному) фермиону (антифермиону) сопоставляется пропагатор S₀(p)=-(p+m)/(p²-m²+i). На диаграмме Фейнмана виртуальному фермиону (антифермиону) сопоставляется сплошная линия, соединяющая две вершины. Здесь p – 4-импульс, переносимый фермионом. По 4-импульсам всех внутренних фермионных (антифермионных) линий проводится интегрирование d⁴p/(2)⁴i (используя ⁽⁴⁾-функции законов сохранения 4-импульсов в вершинах взаимодействия).

 d⁴p/(2)⁴i … [-(p̂+m)/(p²-m²+i)]

p

10. Внутреннему (виртуальному) фотону сопоставляется фотонный пропагатор D_=g_/(k²+i), где k – 4-импульс, переносимый виртуальным фотоном. На диаграмме Фейнмана виртуальному фотону соответствует волнистая линия между вершинами испускания и поглощения фотона. По 4- импульсам всех внутренних фотонных линий проводится интегрирование d⁴k/(2)⁴i (с учетом ⁽⁴⁾-функций, отражающих законы сохранения 4-импульсов в вершинах взаимодействия).

() ~~~~~~~ () d⁴k/(2)⁴i … [g_/(k²+i)]

k

11. Непрерывная последовательность фермионных линий на диаграмме Фейнмана снабжается стрелками, причем каждой внешней фермионной линии и каждому отрезку внутренней фермионной линии между вершинами взаимодействия приписывается 4-импульс p, а антифермионным – (-p). Антифермионной непрерывной последовательности линий приписывается стрелками обратное направление по сравнению с причинной последовательностью событий, то есть антифермионная линия направлена из будущего в прошлое.

Каждая пара антифермионных внешних концов (если эти концы представляют начало и конец одной последовательности антифермионных линий) вносят в амплитуду процесса фактор (-1).

/ /

(-p) (-p`)

12. Диаграммы процессов, содержащих тождественные фермионы (антифермионы) в начальных (конечных) состояниях следует антисимметризовать по любой паре начальных (конечных) тождественных частиц и сложить все диаграммы со всевозможными неэквивалентными перестановками внешних входящих (выходящих) концов с такими относительными знаками, которые обеспечивают указанную антисимметрию. В случае тождественных бозонов (фотонов), находящихся в начальных или конечных состояниях, диаграммы следует симметризовать, сложив все неэквивалентные диаграммы с переставленными входящими (выходящими) концами.

1. Примечания

а) В правилах Фейнмана везде фигурирует заряд электрона (заряд позитрона не фигурирует!), измеряемый в системе единиц Хевисайда. Этот заряд e связан с зарядом e₀, измеренным в гауссовской системе единиц, соотношением e=4e₀. e²/4=1/137.

б) В диаграммной технике КЭД в одной вершине сходятся две фермионные (антифермионные) линии и одна фотонная, что обусловлено структурой лагранжиана взаимодействия КЭД:

L_int = e(x)_(x)A_(x).

в) При аналитической записи элементов S-матрицы необходимо с помощью правил Фейнмана последовательно полностью описывать каждую фермионную (антифермионную) линию, начиная с конца выходящей стрелки и до ее начала, “двигаясь” вдоль линии в направлении, обратном направлению стрелки. Это приведет к правильной последовательности чередования матриц, так как все факторы, относящиеся к фермионным (антифермионным) линиям, являются матрицами.

3