Релятивистская квантовая механика / Лекция10 релкв

Лекция №10 по релятивистской квантовой теори

Вольфганг Паули однажды расcказал такую притчу: “Когда я окажусь на небесах, спрошу я у Господа о двух вещах: об уравнении объединения всех физических полей и об описании атмосферных процессов. И ответит мне Господь: “Вот тебе уравнение объединения всех физических полей – это элементарно! А в атмосферных процессах я и сам ничего понять не могу!”

Метод функций Грина в релятивистской квантовой теории

В релятивистской квантовой теории наряду с состояниями частиц присутствуют состоянии античастиц, которые трактуются как состояния с отрицательной энергией и импульсом, направленным в противоположную сторону.

Далее слово “траектория” используется символически.

Схема допустимых “траекторий” в НКМ

Рис.1 Рассеяние частиц

Схема допустимых “траекторий” в РКТ

Рис.2. (а) Рассеяние частиц. (б) Рассеяние античастиц. (в) Аннигиляция и рождение пар.

Элементарные процессы в РКТ

Рис. 2`. (a) Движение частицы; (б) движение античастицы; (в) аннигиляция пары; (г) рождение пары; (д) замкнутая петля – флуктуация вакуума.

В релятивистской квантовой теории нам надо иметь не только амплитуду рождения, распространения и уничтожения электрона, но и те же характеристики для позитрона. Схемы на рисунках соответствуют распространению вперед по времени частиц и назад по времени – античастиц.

В релятивистской квантовой теории нам надо изменить два правила для функций Грина по сравнению с НКМ.

1 При вычислении матричных элементов перехода для античастиц полевые функции начального и конечного состояний надо поменять местами:

Для частиц: d⁴x_конF_нач,

Для античастиц: d⁴x_начF_кон.

2 Очевидно, что причинность в релятивистской квантовой теории тоже изменяется. Если в НКМ возможно было развитие физического процесса только из прошлого в будущее, то в релятивистской области формально античастицы описываются как частицы, движущиеся в противоположном направлении по времени. Поэтому причинная функция Грина должна содержать решения для частиц при t₂>t₁ и решения для античастиц при t₂<t₁. Функцию Грина для спинорных частиц принято обозначать S(x₂, x₁).

S(x₂, x₁) = _n _n⁽⁺⁾(x₂)_n⁽⁺⁾(x₁) при t₂>t₁,

S(x₂, x₁) = -_n _n^(-)(x₂)_n^(-)(x₁) при t₂<t₁.

Знак (-) от вклада античастиц будет получен позже.

Дифференциальное уравнение для функции Грина спинорных (дираковских) частиц

Запишем уравнение Дирака для свободных частиц:

(i__ - m)(x) = 0

Введем в уравнение Дирака взаимодействие с электромагнитным полем, для чего в соответствии с требованием локальной калибровочной инвариантности заменим _ на ковариантную производную D_=_ + ieA_(x), получим:

(i__ -e_A_ - m)(x) = 0 или (i__ - eÂ(x) – m)(x) =0

Составим по аналогии с НКМ дифференциальное уравнение для функции Грина дираковских частиц:

(i__2 - eÂ(x₂) – m) S(x₂, x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁) (1)

Для функции Грина свободных частиц S₀(x₂-x₁) дифференциальное уравнение будет иметь вид:

(i__2 - m) S₀(x₂-x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁) (2)

Интегральное уравнение для функции Грина спинорных частиц

По аналогии с НКМ запишем интегральное уравнение для функции Грина дираковских частиц:

S(x₂, x₁) = S₀(x₂, x₁) + d⁴x₃ S₀(x₂, x₃)(-ieÂ(x₃))S(x₃, x₁) (3)

Докажем справедливость интегрального уравнения (3).

Подействуем на обе части (3) оператором свободного уравнения Дирака (i__2 - m) и, с учетом уравнения (2) для функции Грина свободных частиц, получим:

(i__2 - m)S(x₂, x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁) + d⁴x₃ i⁽⁴⁾(x₂-x₃)(-ieÂ(x₃))S(x₃, x₁). Или

(i__2 - m)S(x₂, x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁) + eÂ(x₂)S(x₂, x₁), что совпадает с дифференциальным уравнением (1) для функции Грина.

Будем искать решение интегрального уравнения (3) в виде итераций – в виде ряда теории возмущений. Квантовая электродинамика (КЭД) – это квантово-полевая теория взаимодействия спинорных заряженных частиц с электромагнитным полем. Константой взаимодействия является постоянная тонкой структуры =e²/41/137 <<1, и поэтому теория возмущений прекрасно “работает” в КЭД.

Мы будем описывать физические процессы в импульсном представлении. Поэтому сначала получим функцию Грина свободной спинорной частицы в импульсном представлении. А затем сформулируем правила Фейнмана для диаграммной техники в КЭД.

Функция Грина свободной дираковской частицы (пропагатор) в импульсном представлении

Запишем уравнение Дирака

(i__ - m)S₀(x₂-x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁)

Для перехода к импульсному представлению проведем Фурье-преобразование – представим функцию Грина S₀ и дельта-функцию в виде интеграла Фурье.

Произвольную функцию четырех переменных f(x)=f(t,x) можно представить в форме интеграла Фурье:

f(x) = [d⁴p/(2)⁴] f(p)exp[-i(px)]. Здесь (px)p_x_=p₀t-px. Фурье-образ f(p) – обратное преобразование Фурье: f(p) = d⁴x f(x)exp[i(px)].

Представим S₀ в виде разложения в интеграл Фурье, обозначим x₂-x₁=x (традиционно из Фурье-образа S₀ выносится мнимая единица -i):

S₀(x₂-x₁)  S₀(x) = [d⁴p/(2)⁴i] S₀(p)exp[-i(px)]; (4)

Разложение дельта-функции: ⁽⁴⁾(x) = (d⁴p/(2)⁴)exp[-i(px)] (4`)

Подставим (4) и (4`) в уравнение Дирака:

(i__2 - m)(d⁴p/(2)⁴i) S₀(p)exp[-i(px)] = i(d⁴p/(2)⁴)exp[-i(px)]

Внесем оператор уравнения Дирака под знак интеграла (оператор дифференцирует только экспоненту):

(d⁴p/(2)⁴i) (_p_ - m)S₀(p)exp[-i(px)]. Отсюда:

S₀(p) = (-1)/(p̑-m).

Но такая форма записи S₀(p) бессмысленна по двум причинам: (a) легко устранимая причина – операции деления на матрицы не существует; (б) в S₀(p) содержатся полюса, которые следует должным образом обходить (смотрите дальнейшие рассуждения).

Устраним первую некорректность в записи S₀(p), домножив числитель и знаменатель S₀(p) на ‘сопряженное’ выражение (p̑+m) (вспомните, что p̑²=p²):

S₀(p) = (-1)(p̑+m)/(p̑-m)(p̑+m) = -(p̑+m)/(p²-m²) (5)

В формуле (5) содержатся два полюса:

p² - m²  (p_² - m²) = (p₀² – p² - m²) = 0  p₀^(пол) = (p² + m²)^1/2 = E, где E – энергия свободной частицы. Полюс p₀=+E соответствует частицам, полюс p₀=-E – античастицам. При интегрировании по переменной p₀ (d⁴p=dp₀d³p) в формуле (4) для S₀(x) полюса лежат на действительной оси p₀ и их следует правильным образом обходить. Критерием правильности для нас является причинность: при t₂>t₁ вклад в S₀(x₂-x₁) должны давать частицы, а при t₂<t₁ – античастицы. Для этого надо доопределить знаменатель формулы (5). Это сделал Ричард Фейнман: он ввел в знаменатель формулы (5) дополнительное бесконечно малое слагаемое “+i”. Это ‘доопределение’ так и называется – ‘фейнмановское доопределение’.

С учетом доопределения Фейнмана S₀(p) принимает окончательный вид:

S₀(p) = -(p̑+m)/(p²-m²+i) (6)

Теперь нам следует доказать, что фейнмановское доопределение действительно приводит к правильной концепции причинности.

Прежде всего поймем, что “происходит” с полюсами при фейнмановском доопределении. Рассмотрим знаменатель формулы (6):

p²-m²+i = p₀²-E²+i = 0  p₀^(пол) = (E²-i)^1/2 = E(1-i/E²)^1/2  E(1-i`/E), где `=/2E – бесконечно малая величина, которую без потери общности можно снова обозначить буквой . Таким образом, S₀(p) содержит два полюса:

p₀⁽¹⁾ = +E - i

p₀⁽²⁾ = -E + i

Очевидно, что благодаря фейнмановскому доопределению оба полюса переместились с действительной оси p₀ в комплексную плоскость p₀ (смотрите рисунок 3), причем полюс с p₀=+E (полюс, соответствующий частицам) переместился в нижнюю часть комплексной плоскости p₀, а полюс p₀=-E (полюс, соответствующий античастицам) переместился в верхнюю часть комплексной плоскости p₀. Следовательно, убрав полюса с действительной оси p₀, мы сделали формулу для S₀(p) осмысленной в математическом смысле.

Рис. 3.

Далее покажем, что фейнмановское доопределение приводит к правильной концепции причинности.

1. Рассмотрим случай t₂>t₁.

Подставим выражение (6) для S₀(p) в формулу (4):

S₀(x)  S₀(x₂-x₁) = (d⁴p/(2)⁴i) [-(p̑+m)/(p²-m²+i)] exp[-i(p(x₂-x₁))] =

= (d³p/(2)³)exp[ip(x₂-x₁)] _-^ (dp₀/2i){-(p₀₀-p+m)/[p₀-(E-i)][p₀-(-E+i)]}exp[-ip₀(t₂-t₁)] (7)

Вычислим интеграл по p₀ с помощью теории функций комплексного переменного – используя вычет в нижней полуплоскости (“cрабатывает” вычет в точке p₀=E-i). Замкнем контур полуокружностью бесконечного радиуса в нижней полуплоскости (Рис. 4). Интеграл по замкнутому контуру пропорционален вычету в точке p₀=E-i:

_-^(dp₀/(2i)){-(p₀₀-p+m)/[p₀-(E-i)][p₀-(-E+i)]} exp[-ip₀(t₂-t₁)] +

+ _CR (dp₀/2i){-(p₀₀-p+m)/[p₀-(E-i)][p₀-(-E+i)]} exp[-ip₀(t₂-t₁)] =

= (-2i)ResF(E-i)|_0

Здесь F обозначена подынтегральная функция. Знак минус в множителе (-2i) возникает потому, что обход контура происходит по часовой стрелке. Интеграл по полуокружности C_R обращается в нуль по лемме Жордана, так как содержит затухающую экспоненту:

exp[-i(Rep₀+iImp₀)(t₂-t₁)]~exp[(Imp₀)(t₂-t₁)]0 на C_R (Imp₀<0, t₂-t₁>0).

Рис.4.

Напоминаем, что вычет первого порядка в точке b вычисляется по формуле

ResF(b) = lim_zb{F(z)(z-b)}. Используя эту формулу, получим:

_-^(dp₀/(2i)) {-(p₀₀-p+m)/[p₀-(E-i)][p₀-(-E+i)]}exp[-ip₀(t₂-t₁)] =

= (-2i)/(2i){-(E₀-p+m)/2E}exp[-iE(t₂-t₁)] = {(p̑+m)/2E}exp[-iE(t₂-t₁)] (8)

Имея в виду, что (p̑+m) = _u^(p)u^(p) (-спиральность), подставим (8) в соотношение (7):

S₀(x₂-x₁) = _d³p/(2)³ {[u^(p)/2E]exp[-i(Et₂-px₂)}{[u^(p)/2E]exp[i(Et₁-px₁)]} =

= _p, ⁽⁺⁾_p(x₂)⁽⁺⁾_p(x₁). (9)

Таким образом, мы показали, что при t₂>t₁ свободная функция Грина фермионов, спинорных частиц, S₀(x₂-x₁) содержит сумму по положительно-частотным решениям, которые описывают частицы, что и требуется причинностью.

2 Рассмотрим случай t₂<t₁.

Вычисления аналогичны случаю t₂>t₁ с некоторыми изменениями. Во-первых, замкнем контур интегрирования в комплексной плоскости переменной p₀ полуокружностью бесконечного радиуса в верхней полуплоскости. Теперь “срабатывает” полюс p₀=-E+i. Интеграл по полуокружности С`_R обращается в нуль по лемме Жордана, так как опять содержит затухающую экспоненту (t₂-t₁<0, Imp₀>0). Обход контура интегрирования происходит против часовой стрелки. Получим формулу, аналогичную (8), для интеграла по переменной p₀.

_-^(dp₀/(2i)){-(p₀₀-p+m)/[p₀-(E-i)][p₀-(-E+i)]}exp[-ip₀(t₂-t₁)] =

= {-(-E₀-p+m)/(-2E)}exp[iE(t₂-t₁)] (10)

Подставим (10) в формулу (7), где сделаем замену импульса p на -p.

S₀(x₂-x₁) = (d³p/(2)³)exp[-ip(x₂-x₁)]{(-E₀+p+m)/2E}exp[iE(t₂-t₁)] (11)

Величина (-E₀+p+m) = -(p̑-m) = -_ v^(p)v^(p) (11`)

Подставляя (11`) в формулу (11), окончательно получим:

S₀(x₂-x₁) = -_p ^(-)_-p-(x₂)^(-)_-p-(x₁)

Мы показали, что свободная функция Грина S₀(x₂-x₁) спинорных частиц при t₂<t₁ содержит сумму по отрицательно-частотным решениям, которые описывают античастицы, но со знаком минус.

Дополнение (не входит в экзаменационные вопросы)

Таким образом, при t₂>t₁ свободная функция Грина S₀(x₂-x₁) описывает распространение свободного фермиона из пространственно-временной точки x₁ в точку x₂, а при t₂<t₁ – распространение свободного антифермиона с положительной энергией E из x₂ в x₁, т.е. снова в положительном направлении по времени.

Решение уравнения Дирака, развивающееся во времени из состояния ⁽⁺⁾(x₁) с p₀>0 для t₂>t₁ имеет вид (по аналогии с НКМ):

⁽⁺⁾ (x₂) = d³x₁ S₀(x₂-x₁)₀⁽⁺⁾(x₁) при t₂>t₁.

Матрица ₀ возникает потому, что вместо ⁺ в НКМ в релятивистской области мы используем =⁺₀. Или можно объяснить это так: во временном уравнении Шредингера стоит оператор дифференцирования по времени: i/t, а в уравнении Дирака: i₀/t.

При отсутствии взаимодействия состояние с положительной энергией при t₂>t₁ содержит только состояния с E>0. При включении взаимодействия это утверждение не верно, так как может происходить рождение фермион-антифермионных пар.

При t₂<t₁ решение для античастиц описывает развитие состояния с p₀<0 в “обратном” направлении по времени:

^(-)(x₂) = - d³x₁ S₀(x₂-x₁)₀^(-)(x₁) при t₂<t₁.