Релятивистская квантовая механика / Лекция9 релкв

Лекция №9 по релятивистской квантовой теории

Эпиграмма XVIII века:

“Был этот мир глубокой тьмой окутан. Да будет свет! И вот явился Ньютон.”

Эпиграмма XX века:

“Но сатана недолго ждал реванша. Пришел Эйнштейн – и стало все, как раньше.”

Метод функций Грина и создание квантовой электродинамики (КЭД)

В задачах рассеяния, распада и прочих процессах наше внимание сосредоточено на нестационарных решениях, которые развиваются во времени из заданных в отдаленный момент t- начальных состояний. Характерная постановка задачи такова: по заданному в отдаленный момент времени волновому пакету, описывающему приближающуюся к источнику взаимодействия частицу, определить, как будет выглядеть волна в далеком будущем t.

Функции Грина в нерелятивистской квантовой механике (НКМ)

Рассмотрим уравнение Шредингера:

i(x)/t = Ĥ(x) (1)

Здесь xx_(t, x), т. е. (x) зависит от координат и времени.

Будем рассматривать (x₁) как известную функцию и искать ее изменение (x₂) за некий промежуток времени t₂ - t₁ (t₂>t₁). Чрезвычайно важно условие t₂>t₁, поскольку именно в нем заложена причинная связь: любое конечное состояние в НКМ развивается из начального состояния (а не наоборот!). Следовательно, при t₂<t₁ состояние (x₂) не может существовать.

Обе волновые функции являются решениями уравнения (1), но в разных пространственно-временных точках.

Запишем интегральное уравнение с учетом причинности:

(x₂) =   d³x₁ K(x₂, x₁) (x₁) при t₂>t₁ (2)

 0 при t₂<t₁

Здесь K(x₂,x₁) – это функция Грина уравнения Шредингера, являющаяся функцией двух пространственно-временных точек x₁ и x₂. С физической точки зрения эта функция описывает амплитуду вероятности перехода частицы из точки x₁ в точку x₂. Это корреляционная функция или ее еще называют функцией распространения - пропагатором (от английского слова ‘propagation’ – ‘распространение’).

Пусть гамильтониан Ĥ системы не зависит от времени, тогда полная волновая функция

_n(x) = _n(x)exp(-iE_nt) подчиняется временнóму уравнению Шредингера (1), а _n(x) описывается стационарным уравнением Шредингера:

H̑_n(x) = E_n_n(x). (3)

Собственные функции _n(x) ортонормированы:

d³x_n*_m=_mn (4)

и подчиняются условиям полноты:

_n_n(x)_n*(x`) = <sup>(3)</sup>(x-x`) (4`)

Разложим начальное состояние (x₁) по собственным функциям _n гамильтониана Ĥ:

(x₁) = _n c_n_n(x₁)exp(-iE_nt₁) (5)

Коэффициенты c_n определяются стандартной формулой:

c_n = {d³x₁_n*(x₁)(x₁)}exp(iE_nt₁) (6)

Разложим теперь конечное состояние по тем же собственным функциям _n, взятым в точке x₂. Коэффициенты разложения останутся теми же, так как обе волновые функции описываются одним уравнением Шредингера (1).

(x₂) = _n c_n_n(x₂)exp(-iE_nt₂) (7)

Подставим в (7) значение коэффициентов c_n из (6), получим:

(x₂) = _n [d³x₁_n*(x₁)(x₁)]exp(iE_nt₁)[_n(x₂)(x₂)]exp(-iE_nt₂) =

= d³x₁{_n _n(x₂)_n*(x₁)exp(-iE_n(t₂-t₁))}(x₁). (8)

Сравнивая формулы (8) и (2), найдем значение K(x₂, x₁):

K(x₂, x₁) = _n _n(x₂)_n*(x₁)exp(-iE_n(t₂-t₁) = _n _n(x₂)_n*(x₁) (9)

Сумма берется по полной системе собственных функций гамильтониана Ĥ.

При t₂=t₁ из соотношения (4`) следует, что

K(x₂, x₁) = ⁽³⁾(x₂-x₁) (9`)

Чтобы явно учесть проблему причинности (состояние (x₂) развивается из состояния (x₁) только при t₂>t₁), удобно доопределить функцию Грина K(x₂, x₁), образовав причинную функцию Грина G:

G(x₂, x₁) = K(x₂, x₁)(t₂-t₁), (10)

где ступенчатая тета-функция (t) определяется соотношением:

(t) =  1 при t>0. По определению d(t)/dt=(t)

 0 при t<0

Для справок: фурье-разложение (t): (t) = _-^(d/2) exp(-it)

Причинная функция Грина на основании формулы (9) имеет вид:

G(x₂,x₁) = _n_n(x₂)_n*(x₁)(t₂-t₁) (11)

Еще раз подчеркнем, что в формуле (11) сумма берется по полной системе собственных функций гамильтониана Ĥ.

Соотношение (2) с помощью причинной функции Грина запишется в виде:

(x₂) = d³x₁ G(x₂, x₁)(x₁) (2`)

Дифференциальное уравнение для причинной функции Грина G(x₂, x₁)

Получим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция Грина G(x₂, x₁). Для этого подействуем оператором уравнения Шредингера (i/t – Ĥ(x)) на обе части соотношения (11), дифференцируя по пространственно-временной точке x₂ (имеем в виду, что _n(x) является решением уравнения Шредингера (1), и учитываем соотношение (10)):

(i/t₂ – Ĥ(x₂))G(x₂, x₁) = _n {(i/t₂ -Ĥ(x₂))_n(x₂)}_n*(x₁)(t₂-t₁) + i_n _n(x₂)_n*(x₁)(t₂-t₁) =

= i(t₂-t₁) _n _n(x₂)_n*(x₁) = i(t₂-t₁)⁽³⁾(x₂-x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁).

Итак, дифференциальное уравнение для причинной функции Грина в НКМ удовлетворяет обычным требованиям для функции Грина – в данном случае это неоднородное уравнение Шредингера с правой частью, представляющей четырехмерную дельта-функцию:

(i/t₂ – Ĥ(x₂))G(x₂, x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁) (12)

Гамильтониан Ĥ=Ĥ₀(x)+V(x) – есть сумма гамильтониана свободной частицы Ĥ₀ плюс взаимодействие V(x).

Функция Грина свободной частицы в НКМ

Функция Грина свободной частицы в силу трансляционной инвариантности пространства при отсутствии взаимодействия должна зависеть только от такой комбинации пространственно-временных точек x₁ и x₂, которая не содержит вектор трансляции, т. е. от разности обеих точек. Обозначим функцию Грина свободной частицы G₀(x₂-x₁).

Дифференциальное уравнение для функции Грина свободной частицы получается, естественно, из уравнения (12), если заменить полный гамильтониан Ĥ на гамильтониан Ĥ₀=(-i)²/2m свободных частиц:

(i/t₂ – Ĥ₀(x₂))G₀(x₂-x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁) (13)

G₀(x₂-x₁) можно представить как сумму (11) по свободным решениям уравнения Шредингера, плоским волнам _p(x)=Nexp[-i(Et-px)]. Здесь E=p²/2m, N – нормировочный множитель.

G₀(x₂-x₁) = |N|² _p exp{-i[E(t₂-t₁) – p(x₂-x₁)]}(t₂-t₁) (14)

Нетрудно видеть, что при замене x₂ на x₁:

G₀(x₂-x₁) = G₀*(x₁-x₂). Если обозначить x=x₂-x₁, то

G₀(x) = G₀*(-x). (15)

Интегральное уравнение для причинной функции Грина в НКМ

В дальнейшем при выводе правил Фейнмана нам понадобится именно интегральное, а не дифференциальное уравнение для функции Грина.

Пусть функция Грина удовлетворяет дифференциальному уравнению (12):

(i/t₂ – Ĥ₀(x₂) – V(x₂))G(x₂, x₁) = i⁽⁴⁾(x₂—x₁). (12)

Покажем, что интегральное уравнение для функции Грина записывается в виде:

G(x₂, x₁) = G₀(x₂-x₁) +  d⁴x₃ G₀(x₂-x₃)(-iV(x₃))G(x₃, x₁). (16)

Подействуем на обе части соотношения (16) оператором (i/t₂ – Ĥ₀(x₂)) и, учитывая соотношение (13), в результате получим дифференциальное уравнение (12):

(i/t₂ – Ĥ₀(x₂))G(x₂, x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁) + d⁴x₃ i⁽⁴⁾(x₂-x₃)(-iV(x₃))G(x₃, x₁),

(i/t₂ – Ĥ₀(x₂))G(x₂, x₁) =i⁽⁴⁾(x₂-x₁) + V(x₂)G(x₂, x₁)

В последнем соотношении перенесем последнее слагаемое справа в левую часть и получим уравнение (12). Следовательно, интегральное уравнение (16) справедливо. С математической точки зрения это интегральное уравнение Фредгольма.

Теория возмущений

Преимущество интегрального уравнения (16) состоит в том, что его можно решать итерациями в случае, когда потенциал взаимодействия V(x) можно считать малым. Характерная величина потенциала должна быть мала по сравнению с характерной кинетической энергией системы в эффективной области взаимодействия. Представим его решение в виде ряда теории возмущений по потенциалу:

G(x₂, x₁) = _k=0 ^ G^(k)(x₂, x₁). (17)

Нулевое приближение (~V⁰):

G⁽⁰⁾ = G₀(x₂-x₁) (18)

– описывает свободное перемещение системы из пространственно-временной точки x₁ в точку x₂. Для графической интерпретации сопоставим этому слагаемому сплошную линию со стрелкой, указывающей направление движения по времени (время “течет” слева направо); линия “выходит” из точки 1 и “приходит” в точку 2. Такой рисунок называется диаграммой процесса. Каждому порядку теории возмущений сопоставляются соответствующие диаграммы

Рисунок, изображающий перемещение частицы без взаимодействия – соответствует свободной функции Грина G₀(x₂-x₁).

Первое приближение (~V):

G⁽¹⁾ = d⁴x₃ G₀(x₂-x₃)(-iV(x₃))G₀(x₃-x₁) (19)

– описывает перемещение системы из точки 1 в точку 2 с однократным взаимодействием в произвольной точке 3 (по координатам x₃ и времени t₃ происходит интегрирование). Первая поправка к свободному движению получается, если в интегральном уравнении (16) заменить G под знаком интеграла нулевым приближением G⁽⁰⁾. Графическая интерпретация соответствует сплошной линии со стрелкой по направлению времени от точки 1 до 3, в точке 3 происходит взаимодействие, которому сопоставляется волнистая линия с “крестиком” на конце, и опять сплошная линия со стрелкой, направленная из точки 3 в точку 2.

Рисунок диаграммы первого порядка теории возмущений.

Символически G⁽¹⁾ можно записать в виде:

G⁽¹⁾ = G⁽⁰⁾VG⁽⁰⁾.

Второе приближение (~V²):

G⁽²⁾ = T{d⁴x₃d⁴x₄ G₀(x₂-x₃)(-iV(x₃))G₀(x₃-x₄)(-iV(x₄))G₀(x₄-x₁)} (20)

– описывает перемещение системы из точки 1 в точку 2 с двукратным взаимодействием в произвольных точках 3 и 4. Поскольку интегрирование происходит как по времени t₃, так и по времени t₄, то взаимодействие в точке 3 может произойти или раньше взаимодействия в точке 4, или позже. Таким образом, допустимы оба случая t₃>t₄ и t₃<t₄. Чтобы учесть одновременно обе возможности, вводят операцию хронологического произведения или упорядочения операторов по времени – оператор, зависящий от более позднего времени, стоит слева от оператора, зависящего от более раннего времени. Операция обозначается знаком “T”. Операция хронологического произведения определяется следующим образом:

T{V(x)V(x`)} = V(x)V(x`), если t>t` (21)

V(x`)V(x), если t`>t

Рисунок двух диаграмм, соответствующих второму порядку теории возмущений.

Символически поправку второго порядку к функции Грина можно записать в виде:

G⁽²⁾ = T{G⁽⁰⁾VG⁽⁰⁾VG⁽⁰⁾}

Интегральное уравнение для функции Грина (16) можно записать графически (Рис.1.):

Рис. 1.

Если “мысленно” разрезать каждую диаграмму, начиная со второй (показано пунктирной линией), так, чтобы слева осталась сплошная линия G₀ и одна акция взаимодействия V, то вся бесконечная совокупность диаграмм справа даст снова функцию Грина G, и мы получим интегральное уравнение (16) в графической форме. Символически: G = G₀ + G₀VG.

S-матрица. Инвариантная амплитуда.

S-матрица преобразует начальное состояние квантово-механической или квантово-полевой системы в отдаленном прошлом (t-) _нач в конечное состояние в отдаленном будущем (t) _кон.

Определим оператор S следующим образом:

S_кон = _нач. (22)

Пусть начальное состояние характеризуется набором квантовых чисел i, _нач=_i, и возможен переход в какое-либо состояние из совокупности конечных состояний {_n}.

Разложим начальное состояние _i по полной системе конечных состояний _n:

_i(x) = _n c_n_n(x)  _n S_ni_n(x)

S_ni = d³x_n*(x)_i(x) (23)

S_ni – матричные элементы S-матрицы для перехода из состояния _i в состояние _n; они образуют элементы S-матрицы. Поскольку совокупности начальных и конечных состояний представляют полную систему собственных функций, то S-матрица унитарна:

S⁺S=SS⁺ =1. (24)

Из совокупности конечных состояний n выберем конкретное состояние с n=f и запишем (23), используя формулу (2`). Мы получим общее определение элемента S-матрицы в форме:

S_fi = d³x₂ _f*(x₂)_i(x₂) = (lim_t1-)(lim_t2)d³x₂d³x₁ _f*(x₂)G(x₂, x₁)_i(x₁) (25)

Представим в (25) функцию Грина G в виде ряда теории возмущений (17).

В нулевом порядке получим:

S_fi⁽⁰⁾ =  d³x₂d³x₁ _f*(x₂)G₀(x₂, x₁)_i(x₁) (26)

Используя формулу (2`), интеграл d³x₁G₀(x₂, x₁)_i(x₁) = _i(x₂). Функция Грина G₀ переносит волновую (полевую) функцию _i(x₁) из точки x₁ в точку x₂ без взаимодействия, т. е. не меняет квантовых чисел i.

S_fi⁽⁰⁾ = d³x₂ _f*(x₂)_i(x₂) = _if, (26`)

Действительно, соотношение ортогональности (26`) выполняется, так как _i и _f в бесконечном прошлом и бесконечном будущем, т. е. бесконечно далеко от источника взаимодействия, являются обычными плоскими волнами, отвечающими движению свободных частиц. Все эти волновые функции ортонормированы.

Определим инвариантную амплитуду (или амплитуду рассеяния) T_fi следующим образом:

S_fi = _fi + iT_fi (27)

Очевидно, что инвариантная амплитуда определяет динамику взаимодействия. При отсутствии взаимодействия T_fi=0.

Из (25) в первом порядке теории возмущений, c учетом формулы (19), получим:

iT_fi⁽¹⁾ = d³x₂d³x₁ _f*(x₂) {d⁴x₃G₀(x₂-x₃)(-iV(x₃))G₀(x₃-x₁)}_i(x₁) (*)

Интегрирование по x₁ на основании формулы (2`) c заменой G на G₀ дает:

d³x₁ G₀(x₃-x₁)_i(x₁) = _i(x₃) (**)

Интегрирование по x₂ на основании формулы (2`) и свойства (15) для свободной функции Грина G⁽⁰⁾(x)=G⁽⁰⁾*(-x) приводит к выражению:

d³x₂_f*(x₂)G₀(x₂-x₃) = d³x₂G₀*(x₃-x₂)_f*(x₂) = _f*(x₃) (***)

Подставляя оба выражения (**) и (***) в формулу для инвариантной амплитуды, получим:

iT_fi⁽¹⁾ = d⁴x₃ _f*(x₃)(-iV(x₃))_i(x₃) Индекс “3” теперь можно убрать:

iT_fi⁽¹⁾ = d⁴x _f*(x)(-iV(x))_i(x) (28)

Формула (28) соответствует в квантовой механике первому борновскому приближению (первому порядку теории возмущений) для амплитуды рассеяния.

Сравним формулу (28) с формулой (19) для функции Грина в первом порядке теории возмущений, имеющей вид:

G⁽¹⁾ = d⁴x₃ G₀(x₂-x₃)(-iV(x₃)G₀(x₃-x₁) (19)

Легко понять, что для получения инвариантной амплитуды в первом порядке теории возмущений надо заменить функции Грина свободных частиц на волновые (полевые) функции частиц соответственно в конечном состоянии (слева от взаимодействия V(x)) и в начальном состоянии (справа от V(x)).

Аналогичное правило мы получим для инвариантной амплитуды во втором порядке теории возмущений из соотношений (2`) и (20):

iT_fi⁽²⁾ = T{d⁴x₃d⁴x₄ _f*(x₃)(-iV(x₃))G₀(x₃-x₄)(-iV(x₄))_i(x₄)} (29)

Снова надо заменить функции Грина свободных частиц слева и справа на волновые (полевые) функции в конечном и начальном состояниях.

Не забудьте, что стоящий перед интегралом оператор T – это оператор хронологического произведения.

Эту процедуру получения инвариантной амплитуды по функции Грина можно продолжить.

Итак, сформулируем общее правило получения инвариантной амплитуды по функции Грина.

Правило получения инвариантной амплитуды в n-ном порядке теории возмущений

Для получения инвариантной амплитуды в n-ном порядке теории возмущений необходимо найти из интегрального уравнения для функции Грина (16) функцию Грина в n-ном порядке теории возмущений, заменив в полученном выражении функции Грина свободных частиц, стоящие в начале и конце выражения для G(n), соответственно волновыми (полевыми) функциями начального нач и конечного *кон состояний.

Вероятность перехода в единицу времени. Сечение процесса.

По определению вероятность перехода из начального состояния с квантовыми числами i в конечное состояние с квантовыми числами f :

dW_fi = (1/) |T_fi|² _k{d³p_k/(2)³} (30)

Здесь _k{d³p_k/(2)³} – произведение конечных состояний частиц,  - нефизическое время наблюдения.

Дифференциальное сечение рассеяния определяется соотношением

d_fi = dW_fi/j_нач (31)

j_нач – плотность потока начального пучка частиц.