Релятивистская квантовая механика / Лекция7 релкв

Лекция №7 по релятивистской квантовой теории

Ежегодно в самом начале осени ученый мир чествует лауреатов Шнобелевской (шуточной Нобелевской) премии. Эта пародия на престижную награду появилась в 1991 году, вручают ее “за достижения, которые заставляют сначала засмеяться, а потом – задуматься”. Например, в 2012 году Шнобелевскую премию по психологии вручили группе ученых из Перу и Нидерландов за исследование “Почему Эйфелева башня кажется меньше, если наклонить голову влево, а не вправо”.

Лагранжева формулировка релятивистских квантовых теорий. Калибровочные симметрии и калибровочные поля

До сих пор мы рассматривали только поля, отвечающие свободным частицам. Но совершенно очевидно, что физика любого явления определяется взаимодействием. Поэтому огромное значение имеет вопрос, как описывать взаимодействия частиц в квантовой теории поля. В прежние времена, даже в 50-е и 60-е годы, допускался произвол в выборе взаимодействия. Одна из самых глубоких концепций современной квантовой теории поля состоит в том, что взаимодействия определяются принципами симметрии. Современные теории не допускают свободы в выборе взаимодействий – они исходят из того, что вид взаимодействий между полями (такими, как электроны, кварки, векторные бозоны и т. п.) определяется принципом локальной калибровочной инвариантности. Этот принцип вытекает из требования, чтобы сохраняющиеся величины сохранялись не только глобально, но и локально. Глобально закон сохранения заряда выполнялся бы, если бы он, например, вдруг исчез на Земле и одновременно появился на Луне. Однако под сохранением заряда мы обычно подразумеваем нечто большее. Такое исчезновение недопустимо, поскольку перенос заряда должен сопровождаться только появлением тока, благодаря которому и возможно появление заряда в другой точке.

Эти вопросы составляют содержание теоремы Нетер, которая связывает симметрии с законами сохранения. Исследование свойств симметрии и их связи с законами сохранения наиболее удобно рассматривать в рамках лагранжева формализма. В классической физике основой лагранжевой формулировки является принцип наименьшего действия, который приводит к динамическим уравнениям. Мы построим по той же схеме лагранжев формализм в рамках квантовой теории поля.

Вид лагранжиана определяет тип теории. Так, фотон является квантом электромагнитного поля и описывается 4-векторным потенциалом A_, электрон описывается спинорным полем . Лагранжиан взаимодействия между электронами и квантами электромагнитного поля L_int = e(x)_(x)A_(x), который мы получим в следующей лекции, полностью определяет квантовую электродинамику (КЭД) – теорию взаимодействия спинорных полей с электромагнитным полем. Форму теории определяет слагаемое в лагранжиане, задающее взаимодействие между различными полями. Лагранжиан является функцией, которая полностью определяет динамику частиц. Лагранжиан должен быть скаляром в любом рассматриваемом пространстве, инвариантным относительно преобразований пространства. Например, требование инвариантности лагранжиана относительно преобразований Лоренца гарантирует лоренцеву инвариантность всей теории.

В классической механике лагранжиан зависит от координат, скоростей и времени:

L_класс = L(q, qֺֹֹֹ, t). Интеграл действия: S =  L_классdt.

Уравнение Лагранжа, полученное из принципа наименьшего действия, в классической механике имеет вид:

d/dt(L/͘q) - L/q = 0.

В квантовой теории поля роль координаты играет полевая функция, задающая пространственно-временное состояние в данной точке 4-пространства x_: q  (x); роль скорости играет производная от полевой функции: ͘q  _(x), а роль параметра времени – 4-координата: t  x_. Таким образом, плотность полевого лагранжиана, например, для заряженного скалярного поля, подчиняющегося уравнению Клейна – Гордона, должна зависеть как от полевых функций (и их производных) для частиц (x), так и для античастиц *(x), причем обе полевые функции и их производные считаются независимыми.

L_полев = L_скал((x), _(x), *(x), _*(x), x_). (1)

Плотность полевого лагранжиана для спинорного (дираковского) поля зависит от полевых функций (x) и (x) и их производных, которые тоже рассматриваются как независимые.

L_полев = L_спинор((x), _(x), (x), _(x), x_). (1`)

Интеграл действия S_полев =  L_полев d⁴x.

Уравнение Эйлера – Лагранжа в квантовой теории поля, полученное тоже из принципа наименьшего действия, например, для скалярного поля, имеет вид:

d/dx_(L_полев/(_)) - L_полев/ = 0 (2)

Лагранжиан и уравнение Лагранжа для свободного нейтрального (действительного) скалярного поля

Из полевых функций и их производных надо сформировать релятивистски инвариантную скалярную величину, из которой в качестве уравнения Эйлера – Лагранжа получается уравнение Клейна – Гордона. Кроме того, для свободных частиц лагранжиан (или, точнее, плотность лагранжиана) не должен зависеть от 4-координаты x_ в силу пространственно-временной трансляционной инвариантности. Обозначим полевой лагранжиан свободных частиц L₀:

L₀ = ½(__ - m²²). (3)

Первое слагаемое является в каком-то смысле квантово-полевым аналогом кинетической энергии (зависит от квадрата “скорости”), второе слагаемое зависит от квадрата поля, а коэффициентом при нем является квадрат массы рассматриваемых скалярных частиц. Это слагаемое часто называют “массивным” (или “массовым”) слагаемым. Вообще в полевом лагранжиане Бозе-частиц, частиц с целым спином, обладающих массой, всегда присутствует слагаемое, содержащее квадрат соответствующего поля, коэффициент при котором пропорционален квадрату массы. Для безмассовых частиц подобное слагаемое отсутствует.

Нетрудно видеть, что уравнением Эйлера – Лагранжа (2) будет уравнение Клейна – Гордона. Действительно:

L₀/(_) = _, d/dx_(_) = _² L₀/ = m², так что получим

(_² + m²) = 0.

Лагранжиан и уравнение Лагранжа для свободного заряженного скалярного поля

Лагранжиан зависит от независимых переменных – полевых функций  и *, а также от их производных:

L_0(скал) = _*_ - m²* (4)

Производя в (4) дифференцирование по * и по _*, получим уравнение Клейна – Гордона для частиц, а при дифференцировании по  и _ - для античастиц.

Для частиц:

(_² +m²) = 0

Для античастиц:

(_² + m²)* = 0

Лагранжиан и уравнение Лагранжа для свободного заряженного спинорного (дираковского) поля

Лагранжиан спинорных частиц зависит от биспиноров  и , а также от их производных (1`).

Поскольку функция Лагранжа не наблюдаема и допускает произвол в выборе, лишь бы этот выбор не менял динамических уравнений Эйлера – Лагранжа, то можно выбрать полевой лагранжиан свободных спинорных (со спином 1/2) частиц наиболее простым образом, но так, чтобы он приводил к правильному динамическому уравнению – уравнению Дирака:

L_{0(спинор)} = i__ - m (5)

Покажем, что уравнение Эйлера – Лагранжа является уравнением Дирака.

L/(_) = 0, L/() = (i__ - m) = 0 – мы получили уравнение Дирака.

Лагранжиан электромагнитного поля и уравнения Максвелла

Квантами электромагнитного поля являются фотоны, которые описываются полевой функцией – 4-потенциалом электромагнитного поля A_. Фотоны безмассовые, поэтому лагранжиан не должен содержать слагаемого, содержащего квадрат поля.

Запишем тензор электромагнитного поля F_ = _A_ - _A_.

Лагранжиан электромагнитного поля записывается в виде:

L_э-м = -(1/4)F_F_ . (6)

Уравнение Эйлера – Лагранжа: d/dx_[L/(_A_)] - L/A_ = 0 из лагранжиана (6) с учетом условия Лоренца A_/x_=0 запишется в форме:

_²(A_) = 0.

Это уравнение для полевой функции фотонов A_ мы получили из уравнений Максвелла в лекции №6.

Лагранжиан массивного векторного поля и уравнение Прока

В заключение, для полноты изложения, запишем лагранжиан массивных калибровочных бозонов (квантов слабого поля W^- и Z⁰-бозонов, частиц со спином 1), который в качестве уравнения Эйлера – Лагранжа приводит к уравнению Прока`.

Массивное векторное поле описывается 4-потенциалом B_. По аналогии с электромагнитным полем введем тензор F_= _B_ - _B_, с помощью которого записывается лагранжиан векторных бозонов:

L_вект = -(1/4)F_F_ + (1/2)m²B_B_. (7)

Из (7) с учетом (2) и условия Лоренца следует уравнение Прока`:

(_² + m²)B_=0

Глобальная калибровочная инвариантность

Мы знаем, что из инвариантности относительно временных сдвигов (трансляций) следует закон сохранения энергии, пространственных сдвигов (трансляций) – закон сохранения импульса, поворотов – закон сохранения углового момента. Это составляет суть теоремы Нетер в классической механике. Мы не будем исследовать эти свойства инвариантности в квантово-полевом аспекте, поскольку в этом разделе нас интересуют не они, а преобразования внутренней симметрии, не затрагивающие пространственно-временных координат.

Заряженные частицы со спином 0 или ½ описываются комплексными полями. Их лагранжианы (4), (5) инвариантны относительно калибровочного преобразования – хорошо известной нам неоднозначности волновой функции в НКМ e^i |e^i|=1, связанной с ненаблюдаемостью фазы волновой функции:

(x)  exp(ie)(x) или (x)  exp(ie)(x); (8)

(x)  exp(-ie)(x) или *(x)  exp(-ie)*(x).

Здесь  - произвольная действительная константа, для удобства дальнейшего изложения мы переопределили константу , заменив ее на e, где e – заряд рассматриваемых частиц. Производные _, _, _, _* меняются при калибровочном преобразовании по тому же закону (e=const).

По сути, это преобразование калибрует фазу полевой функции. Такое преобразование неосуществимо на опыте и относится к категории так называемых мысленных экспериментов. Мысленные эксперименты, несмотря на свою реальную неосуществимость, не противоречат никаким физическим принципам.

Данное преобразование называется калибровочным преобразованием первого рода.

Можно придать калибровочному преобразованию (8) геометрическую форму. Представим, например, комплексное скалярное поле в форме:

 = (₁ + i₂)/2; * = (₁ - i₂)/2, (9)

Из соотношения (4) получим:

L_0(скал) = _₁_₁ + _₂_₂ – m²(₁² + ₂²). (9`)

Теперь запишем поле  в виде вектора:

 = i₁ + j₂, (10)

т.е. в виде вектора в двумерном пространстве с ортонормированными базисными векторами i и j. Лагранжиан принимает вид:

L_0(cкал) = (_)(_) – m². (10`)

Калибровочные преобразования запишутся в виде:

₁` + i<sub>2</sub>` = exp(ie)(₁ + i₂) (11)

₁` - i<sub>2</sub>` = exp(-ie)(₁ - i₂)

или в эквивалентном виде

`<sub>1</sub> = <sub>1</sub>cos(e) - <sub>2</sub>sin(e) (11`)

`₂ = ₁sin(e) + ₂cos(e)

(11`) определяет вращение двумерного вектора  в плоскости (1,2) на угол (e).

Преобразование (8) U=exp(ie) – унитарное: UU⁺=1, U представляется в виде одномерной матрицы.

Совокупность элементов образует группу, если в данной совокупности задана операция группового умножения, которая не выводит элементы за пределы этой совокупности, кроме того, в совокупности существует единичный элемент e, представляющий тождественное преобразование, а также обратный элемент U^-1, такой, что UU^-1=U^-1U=e.

Совокупность преобразований U образует группу. Действительно, произведение элементов U₁=exp(ie₁) и U₂=exp(ie₂) снова представляет элемент совокупности U=U₁U₂=exp(ie(₁+₂)). Единичный элемент e соответствует =0 (U=1). Обратным элементом по отношению к U=exp(ie) является U^-1=exp(-ie). Эта группа называется группой U(1). “U” означает, что группа унитарная, а значок “(1)” означает, что элементы группы являются числами, т.е. матрицами 11. Поскольку число  не зависит от координат и времени, то такую симметрию называют глобальной. Это означает, что если мы повернули в какой-нибудь пространственно-временной области полевые векторы состояния, то они одновременно повернутся на тот же угол во всей Вселенной. Элементы группы при умножении перестановочны, коммутативны – такие группы называются абелевыми.

Таким образом, группа внутренней глобальной калибровочной симметрии лагранжианов заряженных скалярных и спинорных частиц (4) и (5) для КЭД – это абелева унитарная группа U(1).

Теорема Нетер

Теорема Нетер утверждает, что если интеграл действия не меняется при каком-либо преобразовании симметрии, то это приводит к существованию сохраняющихся (или сохраняющейся) величин. Теорема Нетер играет чрезвычайно важную роль в теории поля и в физике элементарных частиц. Из нее вытекают не только законы сохранения энергии, импульса, момента, но и законы сохранения других “квантовых” чисел: электрического заряда, изотопического спина, цветового заряда кварков и т. п. (Однако в квантовой теории поля существуют сохраняющиеся величины другого типа, которые являются топологическими по своей природе, такие, как монополь Дирака или инстантоны, их сохранение не связано с теоремой Нетер.)

Рассмотрим инфинитезимальное калибровочное преобразование (8) (<<1) для дираковского поля:

exp(ie)(1+ie), отсюда =ie, =-ie, (_)=ie_, (_)=-ie(_). (8`)

Запишем вариацию лагранжиана и во второй строке заменим L/ из уравнения Эйлера – Лагранжа на d/dx_[L/(_)] и то же для :

L = (L/) + (L/(_))(_) + ()(L/) + (_)(L/((_)) =

=d/dx_[L/(_)]+[L/(_)][d/dx_()]+()d/dx_[L/(_)]+[d/dx_()][L/(_)]=

=ied/dx_{[L/(_)] – [L/(_)]} = 0. (12)

Запишем сохраняющуюся величину – электромагнитный ток:

J_ = -ie{[L/(_)] -[L/(_)]}. (13)

Коэффициент пропорциональности выбран так, чтобы ток J_ соответствовал плотности тока электронов, полученной из уравнения Дирака, J_=e_. Действительно, из лагранжиана спинорных частиц (5) следует, что ток, определяемый соотношением (13),

J_ = e_. (14)

Здесь и всюду в дальнейшем изложении заряд электрона будет обозначаться e, он включает в себя отрицательный знак.

Для комплексного скалярного поля получим из (13) с заменой  на  и  на * электромагнитный ток скалярных частиц:

J_ = ie(*_ - _*). (15)

Итак, глобальная калибровочная инвариантность приводит к сохраняющемуся 4-мерному току, а, следовательно, к сохранению заряда.

Теорема Нетер определяет фундаментальное условие: сохранение заряда означает, что он не просто исчезает, скажем, на Земле и появляется на Луне. Теорема Нетер говорит о существенно большем: такое изменение невозможно без существования тока, благодаря которому и возможно возникновение заряда в другой точке.

С физической точки зрения возникновение некой симметрии связано с неизмеримостью какой-либо величины, и потому, с определенным произволом в ее выборе. Например, инвариантность относительно сдвигов в пространстве означает, что мы не можем определить абсолютное положение в пространстве. Глобальная калибровочная инвариантность означает, что фаза полевых (и волновых) функций неизмерима и не существует ее абсолютного значения – она может быть выбрана произвольно. Фиксировав фазу , мы задаем ее во всем пространстве-времени – это и есть глобальная калибровочная инвариантность.