Релятивистская квантовая механика / Лекция6 релкв

Лекция №6 по релятивистской квантовой теории

Уравнения, которые изменили лицо мира:

1 + 1 = 2 Первобытный человек.

A² + B² = C² Пифагор 570-476 гг. до н.э.

F = G(m₁m₂/r²) Исаак Ньютон 1642 – 1727 гг.

rotE = (-1/c)H/t Джеймс Кларк Максвелл 1831 – 1879 гг.

S = klogW Людвиг Больцман 1844 – 1906 гг.

E = mc² Альберт Эйнштейн 1875 – 1955 гг.

Электромагнитное поле. Фотоны

Мы переходим к описанию полей, создаваемых заряженными частицами материи.

Считается, что фундаментальными полями природы являются спинорные поля (лептоны и кварки) и калибровочные поля (электромагнитное, слабое и глюонное – сильное цветовое поле). Наиболее изученным является, очевидно, электромагнитное поле, создаваемое частицами, обладающими электрическим зарядом или магнитным моментом. Электромагнитное поле, создаваемое зарядами или внутренней электромагнитной структурой частиц (дипольными, квадрупольными, магнитными моментами и т. д.), необходимо, чтобы ввести взаимодействие между ними.

Будем пользоваться хэвисайдовской системой единиц. В этой системе постоянная тонкой структуры

 = e²/4  1/137. (1).

Фотон, квант электромагнитного поля, обладает спином S=1 и масса его строго равна нулю.

Фотон, как и любое электромагнитное поле, описывается системой уравнений Максвелла, которые в хэвисайдовской системе имеют вид:

(а) divH = 0; (б) rotE = -H/t; (2)

(в) divE = ; (г) rotH = j + E/t.

Уравнение (а) свидетельствует об отсутствии магнитных зарядов. Уравнение (б) выражает закон Фарадея – изменение магнитного поля ведет к возникновению электрического поля. Уравнение (в) выражает теорему Гаусса – Остроградского – полный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности, можно получить интегрированием нормальной составляющей вектора E по этой поверхности (поток вектора E). Уравнение (г) выражает закон Ампера rotH = j, в который Максвеллом введен дополнительный член E/t, учитывающий, что изменение электрических полей приводит к возникновению магнитных полей.

Введем 4-потенциал электромагнитного поля A_ = (U, A), где U – скалярный потенциал, а A – векторный потенциал электромагнитного поля. Напряженности магнитного и электрического поля выражаются через потенциалы:

H = rotA; E = -gradU - A/t. (2`)

Уравнения (а) и (б) будут удовлетворяться автоматически, так как div(rotB)  0, rot(gradB)  0, где В – произвольный вектор, зависящий от координат.

Введем также тензор электромагнитного поля:

F_=_A_-_A_ (,=0,1,2,3) (3).

Здесь F_0i = -E_i, F_ij = -_ijkH_k. (i,j,k=1,2,3).

Где _ijk – абсолютно антисимметричный тензор Леви – Чивиты.

Неоднородные уравнения Максвелла (в) и (г) в ковариантной форме запишутся в виде:

_F_ = j_ , (4)

где j_ = (, j).

Хорошо известно, что электродинамика калибровочно инвариантна: замена 4-потенциала

A_A_ - _(x) (5)

не меняет уравнений Максвелла и всех наблюдаемых величин, т. е. напряженностей полей E и H, а также тензора электромагнитного поля F_ (здесь (x) – произвольная скалярная функция координат и времени). Таким образом, потенциалы определены неоднозначно и на них можно наложить дополнительное условие. Обычно на потенциалы накладывается ковариантное условие – условие калибровки Лоренца:

_A_=0. (6)

Говорят, мы работаем в лоренцевой калибровке.

При таком выборе калибровки (6) уравнение (4) принимает вид:

 A_  _²A_  (²/t² - ²)A_ = j_ (7)

Иногда удобнее пользоваться кулоновской калибровкой: divA=0.

Фотоны являются решениями уравнений Максвелла в вакууме =0, j=0. Обозначим 4-импульс фотона k_ = (k₀=, k). С учетом условия Лоренца (6) уравнение (4) для полевой функции фотонов, т. е. 4-потенциала A_(x), приобретает вид:

_²A_(x)=0 (7`)

Решениями уравнения (7`) являются полевые функции фотона:

A_(x) = _^()exp(-i(kx))/(2)^1/2. (8)

Полевая функции фотона (частицы со спином S=1) A_ представляет 4-вектор. Поэтому частицы со спином S=1 – фотоны, глюоны, калибровочные бозоны слабого взаимодействия – называют векторными частицами.

Мы уже говорили о том, что фотон – это истинно нейтральная частица, т. е. он не имеет внутренней электромагнитной структуры и является собственным состоянием оператора зарядового сопряжения C. Поэтому действие на его полевую функцию оператора зарядового сопряжения снова дает полевую функцию фотона. Но оператор зарядового сопряжения всегда меняет положительно-частотное решение на отрицательно-частотное: оператор C обязательно содержит операцию комплексного сопряжения. Поэтому полевая функция A_*(x) тоже описывает фотон:

A_*(x) = _^()*exp(i(kx))/(2)^1/2 (8`)

Здесь _^() - единичный 4-вектор поляризации, описывающий поляризационные состояния  фотона ( описывает тип поляризации).

Поскольку электромагнитное поле в вакууме поперечно, то для реального (наблюдаемого) фотона с k_²=0 существуют два состояния поляризации, ортогональные по отношению к направлению импульса фотона k. Если ось z направить по импульсу фотона k, то плоскостью поляризации будет плоскость (xy), в которой можно ввести два взаимно ортогональных орта, вектора поляризации, направленные по осям х (=1) и y (=2). У реального фотона, таким образом, существуют два типа поляризации =1,2 – это так называемые физические (наблюдаемые) поляризации.

Для реального фотона k__^(=1,2) = 0.

У виртуального фотона (ненаблюдаемого на опыте k_²0), который испускается одной частицей и поглощается другой, т. е. его время жизни ограничено (обычно в электродинамике оно составляет ~10^-16-10^-19 сек), в 4-пространстве Минковского можно ввести 4 независимых взаимно ортогональных вектора:

⁽¹⁾ = (0,1,0,0) – физическая поперечная поляризация по оси x; (9)

⁽²⁾ = (0,0,1,0) – физическая поперечная поляризация по оси y;

⁽⁰⁾ = (1,0,0,0) – нефизическая скалярная поляризация;

⁽³⁾ = (0,0,0,1) – нефизическая продольная поляризация по оси z.

В случае реального фотона состояния с продольной и скалярной поляризацией отсутствуют. Кстати, их всегда можно исключить, используя калибровочную инвариантность 4-потенциала электромагнитного поля.

В дальнейшем при выводе правил Фейнмана и расчете сечений физических процессов нам понадобится формула суммирования по поляризациям фотона:

_ _^()_^() = _⁽¹⁾_⁽¹⁾ + _⁽²⁾_⁽²⁾ +_⁽³⁾_⁽³⁾ - _⁽⁰⁾_⁽⁰⁾ = -g_. (10)

Уравнение для массивных калибровочных векторных бозонов – уравнение Прокá

Массивные поля со спином 1 – это калибровочные бозоны W^ и Z⁰, кванты слабого взаимодействия, описываются уравнением Прокá.

Обозначим векторное поле массивных калибровочных бозонов B_. Уравнение Прока (без вывода):

(_² + m²)B_ = 0 (11)

Выполняется условие Лоренца _B_=0.

Однако из-за слагаемого, пропорционального квадрату массы в (11), уравнение Прока для массивных частиц со спином 1 не является калибровочно-инвариантным.

Отступление. О процессе измерения в релятивистской квантовой теории

Глубокие изменения претерпевает в РКТ процесс измерения координаты. В РКТ она определяется с точностью, не превышающей некоторого минимального предела. Понятие о локализации, например, электрона существенно меняется. В математическом формализме теории это проявляется в существовании античастиц, решений с p₀<0. В разложение волнового пакета, отвечающего электрону, войдут полевые функции как с p₀>0, так и с p₀<0, являющиеся полной системой фундаментальных решений. Появление решений с p₀<0 отражает неизбежность образования электрон-позитронных пар в процессе измерения, не контролируемое самим процессом измерения, и тем самым лишает смысла сам процесс измерения.

Релятивизм сопоставляет частице массы m импульс ~mc. По соотношению неопределенности px~ħ и x~ħ/mc (ħ/mc=_к – комптоновская длина волны, для электрона _k~3,810^-11 см). На масштабах длины, меньших комптоновской длины волны частицы, понятие точечной частицы приводит к затруднениям.

Так как эффективный импульс p~mc, то эффективная энергия при измерении E~mc², поэтому для фиксации положения частицы потребуется энергия того же порядка, что ее масса покоя – это есть порог рождения электрон-позитронных пар.

Релятивизм дает ограничение и на предельную точность измерения импульса. Пусть p – неопределенность в изменении импульса электрона за время измерения t; v-v`- разность скоростей электрона до и после измерения. Тогда x~(v-v`)t~ct; px~ħ; отсюда p~ħ/(ct) – это соотношение определяет наилучшую принципиальную возможность точности измерения импульса в РКТ при продолжительности измерения t.

Итак, в РКТ координаты частицы не могут быть динамическими переменными. Что касается импульса, то точное его измерение требует достаточно длительного времени, так что следить за ходом его изменения в процессе оказывается невозможным. Весь аппарат НКМ становится неадекватным. Понимаемые в своем прежнем смысле волновые функции (x), как носители информации, не могут фигурировать в РКТ.

Импульс может быть введен только по отношению к свободным частицам (живущим бесконечно долго t~t). Временной ход процессов взаимодействия описать невозможно, поскольку не существует точно определенных характеристик даже в пределах обычной квантовомеханической точности НКМ. Описание процессов во времени так же иллюзорно, как, например, введение классических траекторий в квантовой механике.

Характерная постановка задачи в релятивистской квантовой теории такова: определить амплитуды вероятности переходов, связывающих начальные и конечные состояния микросистемы.