Релятивистская квантовая механика / Лекция5 релкв

Лекция №5 по релятивистской квантовой теории

Джеймс Джойс писал свою самую авангардную книгу в мире “Поминки по Финногану” 16 лет. Вставил туда лексику 70 языков мира, и кроме того, придумывал свои слова. На французский роман переводили 30 лет. Гелл-Манн листал роман и наткнулся на реплику одного из персонажей: “Три кварка, три кварка для мастера Марка!” Так родилось название – кварки.

Поляризационные состояния свободных дираковских частиц. Спиральность.

Гамильтониан дираковских частиц H_D=(-i)+mp+m, в отличие от шредингеровского гамильтониана, не содержащего операторов спина, не коммутирует с оператором z-компоненты спина _z из-за зависимости H_D от спиновых операторов – матриц  и . Поэтому в случае уравнения Дирака нельзя квантовать проекцию спина на произвольное направление. Мы знаем из общих положений квантовой механики, что две физические величины могут иметь одновременно определенные значения, если их операторы коммутативны. Следовательно, нам надо найти такую комбинацию спиновых операторов, которая коммутирует с гамильтонианом H_D.

Введем четырехрядное обобщение оператора :  =   0  = -₅₀.

 0  

Определим оператор спиральности – удвоенную проекцию спина на импульс: p/|p|=n, где n –единичный вектор вдоль направления импульса. Легко проверить, что этот оператор коммутирует с дираковским гамильтонианом.

Запишем уравнение на собственные функции и собственные значения для оператора спиральности n:

nu^(p)=u^(p) (1) –для спиновой части полевой функции частиц.

-nv^(p)=v^(p) (2) – для спиновой части полевой функции античастиц (знак минус обусловлен тем, что для античастиц необходимо сделать замену p-p или n-n).

Подставим в (1) найденную в предыдущей лекции формулу для u(p):

n 0 (E+m)^1/2w^  =  (E+m)^1/2nw^  =  (E+m)^1/2w^  (3)

0 n(E-m)^1/2nw^ (E-m)^1/2(n)(n)w^ (E-m)^1/2nw^

(n)(n)=n²=1

Повторно применив к (1) или (2) оператор спиральности ((n)²=1  ²=1), получим для собственных значений спиральности: =+1 – это правая или положительная спиральность; и =-1 – это левая или отрицательная спиральность.

В двухкомпонентной форме из (3) получим соотношение, аналогичное НКМ:

nw^ = w^ (4)

Для античастиц из (2):

nw`<sup></sup> = -w`^ (4`)

Если ось z выбрать вдоль вектора импульса, то (4) приобретет вид:

_zw^=w^ (5)

Решения уравнения (5) хорошо известны в НКМ:

w^=1=1 w^=-1=0 это решения для частиц p₀>0: _p⁽⁺⁾=(1/2E)^1/2u^(p)exp(-ipx) (6).

0 1

Те же преобразования для (2) дают:

w<sup>`=-1</sup>=1 w`^=1=0 это решения для античастиц p₀<0: _p^(-)=(1/2E)^1/2v^(p)exp(ipx) (7).

0 1

Нетрудно проверить, что

u^u<sup>`</sup>=2m<sub>`</sub> ; v^v<sup>`</sup>=-2m<sub>`</sub> ; _(u^u^ - v^v^)=2m1 .

Для покоящихся частиц p0, Em биспиноры u и v имеют совсем простой вид:

u^=1 = (2m)^1/2 1 u^=-1 = (2m)^1/20 v^=-1 = (2m)^1/2 0 v^=1 = (2m)^1/2 0 (8)

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Итак, фундаментальные решения уравнения Дирака для свободных частиц, образующие полную систему полевых функций, имеют вид:

_p⁽⁺⁾(x) = (1/2E)^1/2 u^(p)exp(-ipx) – положительно-частотное решение, описывающее частицы.

_p^(-)(x) = (1/2E)^1/2v^(p)exp(ipx) – отрицательно-частотное решение, описывающее античастицы.

Проекционные операторы

Введем оператор P₊=_=1 (u^(p)u^(p)) – этот оператор обладает тем свойством, что (a) его квадрат равен самому себе с точностью до константы; (б) он равен (p̂+m); (в) его действие на состояния античастиц (p₀<0) равно нулю, а состояния частиц он оставляет неизменными. Такой оператор называют проекционным, т. е. проецирующим на состояния с положительной энергией, а именно, состояния частиц. Получим свойства (а), (б) и (в).

(а) P+2=`</sub><sub></sub>u<sup></sup>u<sup></sup>u<sup>`</sup>u`</sup>=2m<sub></sub><sub>`u <sub>`</sub>u<sup>`=2muu=2mP+

Докажем соотношение (б):

(б) P₊=_ u^(p)u^(p) = p̂ + m (9).

Поскольку оператор P₊ не зависит от лоренцевых индексов, он является лоренцевым скаляром, и, следовательно, его можно вычислить в любой системе отсчета. Самой простой для частицы является система покоя. Используя простейшие биспиноры (8) для покоящейся частицы (p̂=p₀₀=m₀) и суммируя по двум значениям спиральности, легко получить результат в правой стороне равенства (9). Формула (9) постоянно используется при расчете процессов с неполяризованными фермионами.

(в) Подействуем оператором P₊ на состояние античастицы v(p). Так как v(p) подчиняется уравнению

(p̂ + m)v(p)=0, то P₊v(p)=0.

Подействуем P₊ на состояние частицы u(p). Так как u(p) подчиняется уравнению (p̂ - m)u(p)=0 или p̂u=mu, то P₊u=(p̂+m)u=2mu.

Аналогично вводится оператор

P_-=_ v^(p)v^(p) = p̂ - m (10)

Этот оператор обладает теми же свойствами, что и P₊, но проецирует на состояния с отрицательной энергией, т. е. на состояния античастиц. Формула (10) постоянно используется при расчете процессов с неполяризованными антифермионами.

Левые и правые биспиноры. Описание нейтрино.

Введем левые u_L и правые u_R биспиноры:

u_L = (1/2)(1+₅)u^ – левый биспинор, описывающий частицы.

u_R = (1/2)(1-₅)u^ – правый биспинор, описывающий частицы.

v_L = (1/2)(1-₅)v^ - левый биспинор, описывающий античастицы.

v_R = (1/2)(1+₅)v^ - правый биспинор, описывающий античастицы.

Рассмотрим подробнее левый биспинор для частиц:

u_L=(1/2)(1+₅)u^=(1/2) 1 -1  (E+m)^1/2w^ = (1/2)(E+m)^1/2w^ - (E-m)^1/2nw^  (11)

 -1 1 (E-m)^1/2nw^  -(E+m)^1/2w^ + (E-m)^1/2nw^

Если обозначить (E+m)^1/2w^-(E-m)^1/2nw^, где  - двухкомпонентный спинор, то

u_L=  

- 

Очевидно, что u_L определяется не четырехкомпонентным, а двухкомпонентным спинором, и, следовательно, “как бы имеет вдвое меньше степеней свободы”. То же справедливо и в отношении правого биспинора.

Наиболее интересно поведение левых и правых биспиноров в ультрарелятивистском приближении E>>m.

Имея в виду (4), формула (11) для левого биспинора приобретает вид:

u_L  (E^1/2/2)w^-w^  (12)

-w^+w^

В ультрарелятивистском приближении “выживает” только левая спиральность =-1. Состояния с правой спиральностью обращают (12) в нуль. В правом биспиноре в ультрарелятивистском случае, напротив, “выживает” только правая спиральность.

Таким образом, в ультрарелятивистском случае левый биспинор u_L является “чистым состоянием”, собственным состоянием, отвечающим левой спиральности =-1, а правый биспинор u_R является собственным состоянием, отвечающим правой спиральности =+1.

Рассмотрим биспинор v_L для античастиц:

v_L = (1/2)(1-₅)v^ = (1/2)1 1(E-m)^1/2nw`<sup></sup> = (1/2)(E-m)<sup>1/2</sup>w`^ + (E+m)^1/2nw`<sup></sup> ` (11`)

1 1(E+m)^1/2w`<sup></sup>  (E-m)<sup>1/2</sup>w` + (E+m)^1/2nw`<sup></sup> `

В ультрарелятивистском приближении имеем:

v_L  (E^1/2/2)w`<sup></sup>-w`^

w`<sup></sup>-w`^

“Выживает” только левая спиральность =-1.

Эти биспиноры использовались Вейлем для описания нейтрино, поскольку нейтрино, можно рассматривать как частицу в ультрарелятивистском приближении, если оно и обладает массой, то эта масса чрезвычайно мала. Спиноры Вейля двухкомпонентные. Все нейтрино обладают левой спиральностью, антинейтрино – правой.

Киральность

Введем также понятие киральности. Киральные состояния – это собственные состояния оператора ₅. (₅²=1)

₅u_L =(1/2) ₅(1+₅)u = u_L; ₅u_R =(1/2)₅(1-₅)u = -u_R (13)

Поэтому левые и правые биспиноры являются собственными состояниями оператора киральности с собственными значениями +1 и -1.

Пространственная инверсия P

Определим операцию пространственной инверсии P (замена x на –x).

P(x,t)=(-x,t)`; P<sup>-1</sup>`=(x,t); PP^-1=P^-1P=1.

Найдем оператор P.

Запишем уравнение Дирака:

(i₀/t - i(-) - m)(x,t)=0 (14)

Запишем уравнение Дирака для функции `(x,t)=(-x,t) с заменой x-x.

(i₀/t - i - m)(-x,t)=0 (15)

Умножим (14) слева на P и вставим перед  соотношение P^-1P=1, получим:

P(i₀/t - i(-) - m)P^-1P(x,t)=(iP₀P^-1/t - iPP^-1(-) - m)(-x,t)=0 (14`)

Чтобы (14`) совпадало с (15), необходимо положить P₀P^-1=₀; PP^-1=-.

Из алгебры матриц Дирака следует, что

P=₀, P^-1=₀

Из ₀⁺=₀ имеем P⁺P=1, т. е. P – унитарное преобразование.

Так как P=₀=`, то <sup>+</sup>P<sup>+</sup>=<sup>+</sup><sub>0</sub>=`⁺; умножим последнее выражение на ₀ справа: `=P=₀.

Билинейные комбинации, входящие в лагранжианы Стандартной модели

В лагранжианы различных моделей квантовой теории поля входят следующие билинейные комбинации: , где  принимает значения: 1, ₅, _, _₅, _=(1/2)(__-__).

Однако в современных квантовых теориях, составляющих стандартную модель, наиболее употребительны комбинации: векторная V_=_ (КЭД) и аксиально-векторная A_=_₅

Взаимодействие (V-A) входит в теорию электрослабых взаимодействий.

Покажем, что при пространственной инверсии P пространственные компоненты V_ меняют знак, т. е. V_ ведет себя при пространственных отражениях как полярный вектор. Действительно:

_`<sub></sub>`=₀_₀, меняет знак для пространственных индексов =1,2,3.

Напротив, комбинация A_ при пространственных отражениях не меняет знака для пространственных индексов и поэтому ведет себя как аксиальный вектор.

Операция зарядового сопряжения для дираковских частиц

(Не входит в экзаменационные вопросы.)

Прочитайте!

Для спинорных частиц действие оператора зарядового сопряжения должно менять в положительно-частотных решениях не только exp(-ipx) на exp(ipx), но и биспинор u(p) на биспинор v(p). Поэтому, кроме комплексного сопряжения, как это имело место для скалярных частиц, операция зарядового сопряжения должна содержать матричные операторы, действующие на биспиноры.

В уравнение Дирака для свободных частиц введем взаимодействие с электромагнитным полем, заменив производную i_ на производную i_ - eA_(x). Уравнение Дирака для частиц с зарядом e приобретет вид:

(i__ - eÂ(x) - m)^(e)(x) = 0 или

(i__ -e_A_ - m)^(e)=0 (16)

Для античастиц с зарядом (-e) уравнение Дирака:

(i__ + e_A_ - m)^(-e) = 0 (16`)

Найдем связь между полевыми уравнениями для частицы (16) и античастицы (16`). Для этого комплексно сопряжем уравнение (16):

(-i_*_ - e_*A_ - m)^(e)* = 0

Домножим слева это уравнение на ₂ и переставим местами ₂ c _*. Матрицы _ при ֺ2 действительны, а ₂*=-₂, перестановка ₂_=-_₂, кроме =2. В результате получим:

(i__ + e_A_ - m)(₂^(e)*) = 0 (16``)

Полученное уравнение совпадает с уравнением (16`) для античастиц. Поэтому (₂^(e)*) с точностью до фазового множителя  совпадает с ^(-e).

^(-e) = ₂^(e)*. (17)

Вспомним, что =⁺₀*^T₀. Выразим отсюда *: *=(₀)^T =₀^T()^T=₀()^T. Подставим это соотношение в (17):

^(-e) = ₂₀(^(e))^T=С(^(e))^T, (17`)

где обозначено С=₂₀.

Чтобы найти коэффициент , в качестве полевых функций частиц и античастиц возьмем решения для свободных частиц:

^(e)_p⁽⁺⁾=(1/2E)^1/2u^(p)exp(-ipx); ^(-e)_p^(-)=(1/2E)^1/2v^(p)exp(ipx).

Подействуем в соответствии с (17) на (⁽⁺⁾)^* матрицей ₂ и сравним полученный результат с

^(-), отсюда получим значение .

₂_p⁽⁺⁾* = (1/2E)^1/2 exp(ipx)0 ₂ (E+m)^1/2 w^* =(1/2E)^1/2exp(ipx)(E-m)^1/2(₂)nw^*

-₂ 0(E-m)^1/2nw^* (E+m)^1/2(-₂)w* 

Выберем конкретную спиральность =1 и направим ось z вдоль импульса p: nw^(=1)=w^(=1)=1

0

₂w^(=1)=0 -i1=i0.

i 00 1 Отсюда

₂_p=1⁽⁺⁾* = (1/2E)^1/2exp(ipx) (-i)-(E-m)^1/2w^(=-1) (18)

(E+m)^1/2w^(=-1)

_p(=1)^(-) = (1/2E)^1/2exp(ipx) -(E-m)^1/2w`<sup>(=1)</sup> (18`)

(E+m)^1/2w`^(=1)

Но из формул (6) и (7) следует, что w^(=-1) = w^`(=1).

Сравнивая (18) и (18`), получим =i.

Таким образом операция зарядового сопряжения C для дираковских частиц имеет вид

C = i₂₀ и дейcтвует на ()^T C(^(e))^T = ^(-e).

Выводы.

В релятивистской квантовой теории необходимо отойти от трактовки уравнений Клейна – Гордона, Дирака и др. как одночастичных уравнений. Последовательный подход состоит в том, чтобы рассматривать решения этих уравнений как соответствующие поля.