Релятивистская квантовая механика / Лекция4 релкв

Лекция №4 по релятивистской квантовой теории

Ф. Дайсон: “Много лет назад Ричард Фейнман сказал мне: “Электрон делает все, что ему хочется. Он движется в любом направлении, с любой скоростью, вперед и назад по времени. А ты складываешь соответствующие амплитуды, и это дает тебе волновую функцию.” Я сказал ему: “ Ты сумасшедший.” Но он не был сумасшедшим – он был гением.

Сопряженный биспинор

Решением уравнения Дирака

(i__-m)(x)=0 (1)

является четырехкомпонентный спинор ₁(x)

₂(x) 

(x)= ₃(x) 

₄(x) 

Введем сопряженный биспинор =⁺₀=(₁*,₂*,-₃*, -₄*).

Биспинор  - это четырехкомпонентный столбик, а  - это четырехкомпонентная строка. Получим уравнение для сопряженного биспинора. Для этого эрмитовски сопряжем (1): (-i_⁺_⁺-m⁺)=0, умножим справа на ₀ и вставим ₀²=1 между ⁺ и _⁺. Используя пункт 3) алгебры матриц Дирака, получим:

i(_)_+m=0 (2)

Ток уравнения Дирака и уравнение непрерывности

Для получения уравнения непрерывности из уравнения Дирака умножим уравнение (1) слева на , а уравнение (2) - справа на , получатся соотношения:

[i_(_) - m]=0 (1`)

[ i(_)_ + m]=0 (2`)

Сложим (1`) и (2`), получим уравнение непрерывности:

_(_) + (_)_=0 или в компактной форме

_j_=0 (3)

Здесь j_ -ток уравнения Дирака:

j_=_ (4),

а соотношение (3) представляет уравнение непрерывности (закон сохранения вероятности – числа частиц) как следствие динамического уравнения Дирака.

Плотность вероятности, нулевая компонента 4-вектора тока:

j₀ =₀=⁺=||²0.

Таким образом, Дирак получил неотрицательные значения плотности вероятности, преодолев трудности с отрицательными плотностями вероятности в уравнении Клейна – Гордона.

Заметим, что структура =inv – является скаляром в 4-пространстве Минковского, и поэтому инвариантна относительно преобразований Лоренца.

Итак, мы познакомились с первым (и единственным) динамическим квантовым уравнением, которое описывает спин. И поскольку матрицы Дирака содержат матрицы Паули, т. е. спиновые операторы для частиц со спином 1/2, то уравнению Дирака подчиняются частицы со спином ½, фермионы. Это можно показать более строго: гамильтониан уравнения Дирака не коммутирует с оператором момента количества движения L, но коммутирует с суммарным оператором момента J=L+S, где S –оператор спина ½. Фермионы, подчиняющиеся уравнению Дирака, называют спинорными частицами, имея в виду, что дираковская полевая функция  является четырехкомпонентным спинором.

Решения уравнения Дирака для свободных частиц

В свободном пространстве сохраняется импульс p=const, для частицы с массой m введем 4-импульс p_(p₀, p). Свободные решения уравнения Дирака представляются плоскими волнами:

_p(x)=[u(p)/(2E)^1/2]exp(-i(px)) (5)

Нормировочный множитель 1/(2E)^1/2 получается, как и в уравнении Клейна – Гордона, из требования, чтобы в объеме V=1 находилась одна частица:

dV|_p|= dV_p⁺_p=(u⁺u)/2E=1 (6).

(px)p_x_=p₀t-px. Здесь u(p) – спиновая часть полевой функции частицы – четырехкомпонентный спинор, но уже не зависящий от x. Из (6) следует, что

u⁺u=2E. (7)

Получим уравнение для спиновой части полевой функции уравнения Дирака u(p). Подставим решение (5) в уравнение Дирака

[i__ - m]_p(x)=[i_(-ip_) - m]_p=(p̂ - m)u(p)=0. Уравнение

(p̂ - m)u(p)=0 (8)

является матричным алгебраическим уравнением для компонент биспинора u(p).

Введем сопряженный биспинор u(p)=u⁺(p)₀. Получим уравнение для u. Для этого эрмитовски сопряжем уравнение (8): u⁺(p̂⁺ - m)=0; вставим между u⁺ и p̂⁺ ₀²=1 и домножим полученное уравнение на ₀ справа. На основании алгебры матриц Дирака (пункт 3) получим:

u(p)(p̂-m)=0 (9)

Найдем явный вид биспинора u(p). Будем искать u(p) в виде: u(p)=N w(p)  (10)

 w`(p)

где w и w` в свою очередь обычные двухкомпонентные спиноры, с которыми мы знакомы в нерелятивистской квантовой механике и которые подчиняются условиям w<sup>+</sup>w=w`⁺w`=1; N – нормировочный множитель.

Запишем уравнение (8) более подробно в двухкомпонентной форме:

(p̂ - m)u(p)=(p₀₀ - p - m)u(p)=I 0p₀ - 0  p – 1 0m u(p)=0 или:

0-I  - 0  0 1 

(p₀-m); -p Nw =0

p; -(p₀+m)  w`

В двухкомпонентной форме получим систему двух линейных однородных алгебраических уравнений относительно w и w`:

 (p₀-m)w - pw`=0 (11)

 pw –(p₀+m)w`=0

Система линейных однородных уравнений имеет нетривиальные решения, если ее определитель равен нулю.

 = (p₀-m); -p = 0 Отсюда p₀²=p²+m² и p₀=E. (Из свойства матриц Паули (А): (p)(p)=p² ).

p;-(p₀+m) 

Таким образом, как и уравнение Клейна – Гордона, уравнение Дирака содержит два типа энергий – положительные и отрицательные. Мы уже знаем, что отрицательные энергии формально следует приписать античастицам.

Решения уравнения Дирака, так же, как и уравнения Клейна – Гордона, содержат решения для частиц и для античастиц.

1. Рассмотрим решения для частиц с p₀=+E.

_p⁽⁺⁾=(1/2E)^1/2u(p)exp{-i(Et-px)}=(1/2E)^1/2u(p)exp(-i(px)) (12) – положительно-частотное решение, описывающее частицы. Здесь (px)p_x_.

Подставляем в (11) p₀=+E:

 (E-m)w - pw`=0 (13)

 pw –(E+m)w`=0 (14)

Выразим w` из (14):

w`=(1/(E+m))pw=(1/(E+m))n|p|w=[(E²-m²)^1/2/(E+m)]nw=[(E-m)/(E+m)]^1/2nw,

где n – единичный вектор, направленный вдоль импульса частицы n=p/|p|. Тогда:

u(p)=N w ; u(p)⁺=N*(w⁺, [(E-m)/(E+m)]^1/2 w⁺⁺n).

[(E-m)/(E+m)]^1/2nw 

Учитывая, что ⁺ = , найдем:

u⁺u = |N|²{w⁺w + [(E-m)/(E+m)]w⁺(n)(n)w}=|N|²(1+(E-m)/(E+m))=|N|²2E/(E+m)=2E; отсюда N=(E+m)^1/2.

При вычислении полученной выше формулы использовалось свойство матриц Паули: _i_k=_ik+i_ikl_l, (A)

Отсюда (n)(n)=n²=1.

Окончательно для четырехкомпонентного спинора u(p) получим формулу (где пока не определены компоненты двухкомпонентного спинора w):

u(p) =  (E+m)^1/2w  (15)

 (E-m)^1/2(n)w

Нетрудно проверить, что соотношение u(p)u(p)=2m является скаляром, инвариантом относительно преобразований Лоренца.

Алгебраические уравнения для u(p) и u(p) получены выше:

(p̂ - m)u(p)=0 (8) и u(p)(p̂ - m)=0 (9)

Из вида биспинора (15) ясно, что в нерелятивистском приближении Em две нижние компоненты биспинора исчезают, и биспинор в нерелятивистском пределе превращается в обычный двухкомпонентный спинор, описывающий частицы. Напротив, в ультрарелятивистском приближении E>>m две верхние и две нижние компоненты становятся одного порядка.

2. Рассмотрим решения для частиц с p₀=-E.

Но, как следовало при рассмотрении операции зарядового сопряжения для уравнения Клейна - Гордона, эти решения соответствуют античастицам, при этом надо изменить еще и импульс на противоположный (формально!) p-p.

Биспинор u(-p) принято именовать v(p); u(-p)v(p) – спиновая часть полевой функции античастиц.

Полевая функция античастиц имеет вид:

_p^(-)(x) = (1/2E)^1/2v(p)exp{i(Et-px)}= (1/2E)^1/2v(p)exp(i(px)) (16)

– отрицательно-частотное решение, описывающее античастицы.

Вычисления, полностью аналогичные проделанным в пункте 1, с заменой E-E и p-p, приводят к следующему виду биспинора v(p):

v(p) =  (E-m)^1/2(n)w`  (17)

 (E+m)^1/2w` 

v(p)v(p)=-2m

Алгебраические уравнения для v(p) и v(p) имеют вид:

(p̂ + m)v(p)=0 (18)

v(p)(p̂ + m)=0 (19)

Из вида биспинора (17) очевидно, что в нерелятивистском приближении Em две верхние компоненты биспинора исчезают. Компоненты двухкомпонентного спинора w` пока не определены.

Итак, уравнение Дирака для свободных частиц имеет два типа фундаментальных решений:

_p⁽⁺⁾(x) = (1/2E)^1/2 u(p)e^-i(px)

_p^(-)(x) = (1/2E)^1/2 v(p)e^i(px),

Это решения, описывающие частицы и античастицы ((px)=p_x_=Et-px). Дираку удалось избежать отрицательных значений плотности вероятности, но уравнение по-прежнему содержит положительные и отрицательные значения энергии. Последние, как мы уже поняли, формально соответствуют античастицам.