Релятивистская квантовая механика / Лекция3 релкв

Лекция №3 по релятивистской квантовой теории

Один из основоположников квантовой теории великий Макс Планк в молодости, в конце XIX века, пришел к 70-летнему профессору Филиппу Жолли и cказал ему, что решил заниматься теоретической физикой. “Молодой человек, - ответил маститый ученый, - зачем вы хотите испортить себе жизнь, ведь теоретическая физика в основном закончена... Стоит ли браться за такое бесперспективное дело?!” … И началась новая эпоха в физике, основоположником которой стал Макс Планк.

Уравнение Дирака

Уравнение Дирака – самое знаменитое и всеобъемлющее уравнение в квантовой теории. Это уравнение содержит “внутри себя” спин. Оно описывает частицы со спином S=1/2, т. е. все фундаментальные частицы материи – лептоны и кварки.

Первоначальная задача Дирака состояла в создании уравнения первого порядка по времени и по координатам (поскольку в релятивизме время и координаты должны входить в соотношения равноправно) – в “линеаризации” уравнения Клейна – Гордона. В уравнении первого порядка по времени плотность вероятности перестает зависеть от производных по времени и становится положительно определенной величиной. Таким образом Дирак предполагал избавиться от отрицательных плотностей вероятности, возникающих в уравнении Клейна – Гордона.

Наиболее глубокий вывод уравнения Дирака связан с использованием свойств группы Лоренца. Мы сделали это в курсе “Теория групп и ее приложения к квантовой теории”. Здесь же мы получим уравнение Дирака традиционным путем без использования групповых методов.

Запишем общий вид уравнения первого порядка по времени и координатам:

(/t+₁/x+₂/y+₃/z+im)(x)=0 или более кратко:

(/t++im)(x)=0 (1)

Здесь (₁,₂,₃) и  пока неизвестные числовые величины.

Найдем гамильтониан уравнения Дирака, для этого запишем (1) в форме уравнения Шредингера

i(/t)=H.

i(/t)=[(-i)+m] (1`)

Следовательно, дираковский гамильтониан имеет вид:

H_D=(-i)+m (2)

Решения уравнения Дирака должны удовлетворять уравнению Клейна – Гордона, так как последнее получено из правильного соотношения между энергией и импульсом релятивистской частицы E²=p²+m². Из этих соображений найдем числовые величины  и . Для этого домножим (1) на “сопряженный” оператор [/t –(+im)]:

[/t-(+im)][/t+(+im)] = [²/t² – (+im)²]=0 (3)

(+im)² = 1/2(_i_i+im)(_k_k+im)+1/2(_k_k+im)(_i_i+im) =

= 1/2(_i_k+_k_i)_i_k+im(_i+_i)_i-²m² (4)

Чтобы оператор уравнения (3) с учетом (4) соответствовал оператору в правой части уравнению Клейна – Гордона [²/t²-²+m²], необходимо положить:

²=1 (4`)

_i_k+_k_i=2_ik (4``), отсюда _i²=1

_i+_i=0 (4```)

Соотношения (4``), (4```) удовлетворяются, только если числовые формы _i и  являются матрицами. Поскольку дираковский гамильтониан H_D должен быть эрмитов (как и любой гамильтониан в квантовой теории), то входящие в него матрицы _i и  тоже должны быть эрмитовыми:

_i⁺=_i, ⁺=, а их квадраты равны единице.

Далее соотношение (4```) домножим слева на ^-1:

^-1_i=-_i. Возьмем след (сумму диагональных элементов матрицы) от обеих частей этого выражения (след цикличен!):

Sp(^-1_i)=- Sp_i или Sp_i=-Sp_i. Следовательно, Sp_i=0.

Домножив (4```) на _i^-1, получим, что Sp=0. Все четыре матрицы _i (i=1,2,3) и  бесследовые и эрмитовы. Любая эрмитова матрица может быть приведена к диагональной форме. Но так как квадрат каждой матрицы равен единице, то на диагонали приведенной к диагональному виду матрицы могут стоять только единицы или минус единицы, а в силу бесследовости матриц число единиц совпадает с числом минус единиц. Следовательно, ранг рассматриваемых матриц четный.

Попробуем взять матрицы минимального четного ранга N=2. В пространстве комплексных матриц 2x2 существуют три фундаментальные матрицы Паули и единичная матрица (это система линейно независимых матриц):

₁=01, ₂=0-i, ₃=10 , I=10 .

10 i 0  0-1 01

_i_k=_ik+i_ikl_l (A)

Матрицы Паули подчиняются такому же антикоммутационному соотношению, как (4``): _i_k+_k_i=2_ik.

Но единичная матрица коммутирует со всеми матрицами Паули, и соотношение (4```) не выполняется.

Поэтому попробуем рассматривать матрицы следующего четного ранга N=4. Выбрать четырехрядные матрицы, удовлетворяющие условиям (4``), (4```) можно несколькими способами. Мы будем работать в представлении, называемом стандартным:

_i =0 _i , =I 0, 1=I 0

_i 0 0-I 0 I

Нетрудно проверить, что так выбранные матрицы _i и  удовлетворяют соотношениям (4``) и (4```). Здесь 1 – единичная четырехрядная матрица, I – единичная двурядная матрица.

Уравнение Дирака – дифференциальное и одновременно матричное уравнение, оно содержит спиновые матрицы 4х4, которые выражаются через матрицы Паули. Решением уравнения Дирака является четырехкомпонентный спинор или биспинор.

Поэтому частицы, подчиняющиеся уравнению Дирака, называют спинорными. Все фундаментальные частицы материи – спинорные частицы.

Уравнение Дирака в ковариантной форме

Получим уравнение Дирака в ковариантной форме, которой будем пользоваться в дальнейшем. В ковариантной форме координаты и время должны входить в уравнение совершенно симметрично. Для этого введем новые четырехрядные матрицы: ₀ и =. Образуем 4-матричный вектор _(₀,).

Умножим уравнение (1) слева на матрицу i и введем новые матрицы _.

Уравнение Дирака в этих обозначениях примет ковариантный вид (которым в дальнейшем всегда будем пользоваться):

[i__-m](x)=0 (5)

Из (4``) и (4```) следует, что -матрицы Дирака подчиняются антикоммутационному соотношению:

__+__=2g_1. (6)

Алгебра матриц Дирака

Мы ввели четыре матрицы Дирака _ (=0,1,2,3), подчиняющиеся антикоммутационным соотношениям:

__+__=2g_1

₀=I 0; _i=0 _i; ₀²=1; ₀⁺=₀; _i²=-1; _i⁺=-_i (i=1,2,3); Sp_=0.

0 -I -_i 0

Введем еще пятую матрицу ₅=-i₀₁₂₃=0 -I; ₅²=1; ₅⁺=₅; Sp₅=0.

-I 0

Матрица ₅ антикоммутирует с матрицами _:

_₅+₅_=0 (7)

Полезные соотношения:

1. Покажем, что _²=4. Действительно: _²=₀²-₁²-₂²-₃²=1-(-1)-(-1)-(-1)=4

2. Введем обозначение p̂=p__. Покажем, что p̂²=p². Действительно:

p̂²=(1/2)(p__p__+p__p__)=(1/2)p_p_2g_=p². (Компоненты 4-вектора p_ перестановочны с матрицами.)

3. Покажем, что ₀_⁺₀=_. Для =0 ₀₀⁺₀=(₀²)₀=₀. Для =1 (то же для =2,3) ₀₁⁺₀=-₀₁₀=₁(₀²)=₁

4. Покажем, что _â_=-2â (a_ - произвольный 4-вектор (не матрица!), его компонентами являются числа).

_â_= =___a_=(-__+2g_)_a_=-â_²+2a__=-4â+2â=-2â.

(Перестановка матриц _ и _ осуществляется с помощью соотношения (6).)

5. Покажем, что _âb̂_=4ab (a_, b_ - произвольные 4-векторы).

_âb̂_=____a_b_=(-__+2g_)(-__+2g_)a_b_=(__²_-__2g_-__2g_+4g_g_)a_b_=(4__-2__-2__+4g_)a_b_=4a_b_4ab.

Очень полезная формула для матриц Дирака (попробуйте доказать самостоятельно!):

___ = g__ + g__ - g__ - i__₅

Много примеров вычислений с алгеброй матриц Дирака содержится в задачнике:

Ломоносова, Никитин “Сборник задач по квантовой электродинамике”, изд. МИФИ.