Дополнение. Каноническое квантование действительного скалярного поля Клейна–Гордона

(Дополнение не входит в экзаменационные вопросы.)

Уравнение Клейна – Гордона для действительного скалярного поля (x) описывает частицы с зарядом, равным нулю (нейтральные частицы). Поскольку классическая аналогия отсутствует, поле (x), вообще говоря, является строго квантовым полем. Рассматривая сначала это поле как классическое, мы далее поймем, что это квантовое поле и будем считать его оператором, подчиняющимся определенным коммутационным соотношениям, аналогичным соотношениям коммутации обычной квантовой механики – соотношениям для операторов рождения и уничтожения, введенных при рассмотрении вторичного квантования одномерного квантового осциллятора. Мы займемся квантованием поля, а не движением отдельной частицы, как это было в квантовой механике. В этой интерпретации величина ||² пропорциональна числу имеющихся частиц. После квантования поля отпадают трудности, связанные первоначально с уравнением Клейна – Гордона.

Квантование поля заставляет нас интерпретировать поле как квантовую систему – поле рассматривается как эрмитов оператор, разложение Фурье которого можно записать в виде:

(x) = d³p/((2)³2E_p) [a(p)e^-ipx + a⁺(p)e^ipx] (15)

где E_p=(p²+m²)^1/2. Коэффициенты a(p) и a⁺(p) являются операторами. (p_² = p₀² – p²=m²)

Полевая функция (x) играет в квантовой теории поля роль, аналогичную вектору положения x в квантовой механике. В НКМ коммутаторы задаются гейзенберговскими соотношениями:

[x_i, p_k] = i_ik, [x_i, x_k] = [p_i, p_k] = 0. (16)

Импульс p_i в лагранжевом формализме определяется канонически как L/͘x_i.

Полевой аналог импульса в непрерывном пределе (x)=L_полев/͘, (16*)

где L_полев – плотность лагранжиана скалярного поля.

Одновременные коммутационные соотношения, по аналогии с HКМ (16), в непрерывном пределе примут вид:

[(x,t), (x`,t)] =i(2)<sup>3</sup><sup>(3)</sup>(x-x`) (17)

[(x,t), (x`, t)] = [(x, t), (x`,t)] = 0. (18)

Используем эти соотношения, чтобы найти коммутационные соотношения для операторов a(p) и a⁺(p), которые входят в выражение (15).

Плотность лагранжиана скалярного поля (подробно будем говорить об этом в последующих лекциях), которая с помощью принципа наименьшего действия приводит к правильному уравнению Эйлера – Лагранжа, а именно к уравнению Клейна – Гордона, имеет вид:

L_полев = [1/2(_)² - (m²/2)²] =1/2[(₀)² – ()² - m²²] (19)

Отсюда с учетом (16*): (x)=͘(x). (19*)

Используя ортонормированную (14) систему функций (12), мы можем разложить (x) по системе этих функций, подставив их в разложение (15):

(x) = d³p/[(2)³(2E_p)^1/2][_p(x)a(p) + _p*(x)a⁺(p)]. (20)

Обращая это разложение с помощью соотношения (14), находим:

a(p) = d³x [2E_p]^1/2_p*(x)i₀^(x), (21)

a⁺(p`) = d<sup>3</sup>x[2E<sub>p</sub>]<sup>1/2</sup><sub>p</sub>(x`)i₀^<sub>p`</sub>(x`). (22)

С учетом формул (17), (18), (19*), (21) и (22) получим коммутатор:

[a(p), a⁺(p`)] = (2)<sup>3</sup>2E<sub>p</sub><sup>(3)</sup>(p-p`) (23)

Нетрудно показать, что

[a(p), a(p`)] = [a<sup>+</sup>(p), a<sup>+</sup>(p`)] = 0. (23`)

Операторы a⁺(p) и a(p) называются операторами рождения и уничтожения квантов поля.

Можно образовать, как при вторичном квантовании осциллятора в НКМ, оператор числа частиц (или, точнее, оператор плотности числа частиц):

N(p)=a⁺(p)a(p). Вся алгебра оператора числа частиц, операторов рождения и уничтожения полностью совпадает с алгеброй квантовомеханического осциллятора.

[N, a⁺] = a⁺ (24`)

[N, a] = -a (24``)

Обозначим собственные функции оператора числа частиц |n(p)>, тогда:

N(p)|n(p)> = n(p)|n(p)> (25)

a(p)|n(p)> = n(p)^1/2|n(p)-1> a(p)|0>=0 (26`)

a⁺(p)|n(p)> = (n(p)+1)^1/2|n(p)+1>. (26``)

Зная лагранжиан L_полев, можно по общим правилам определить гамильтониан действительного скалярного поля H: H = [L/(_)]_ - L. Для гамильтониана скалярного поля, с учетом (19), отсюда получим:

H_полев = (1/2)[(₀)² + ()² + m²²]d³x (27)

Подставляя в (27) формулы (20-22), получим:

H_полев = (d³p/2E_p(2)³) [N(p) + 1/2]E_p. (28)

Очень важно отметить, что гамильтониан скалярного поля неотрицателен (N(p)0).

Таким образом, поле Клейна – Гордона эквивалентно бесконечной сумме осцилляторов. Никаких состояний с отрицательной энергией не возникает.

Состояние |0> - это вакуумное состояние, не содержащее ни одной частицы с ненулевым импульсом.