Решение уравнения Клейна – Гордона для свободных частиц
Для свободных частиц с массой m (при отсутствии сил) сохраняется импульс p=const. Введем 4-импульс p(p0,p). Обозначим пока нулевую компоненту 4-импульса p0. Решения для свободных частиц представляются в виде плоских волн:
p(x)=Nexp{-i(px)}=Nexp{-i(p0t-px)}. (8)
Здесь и в дальнейшем (px)=px=p0t-px; N – нормировочный множитель.
Подставим (8) в уравнение (2):
(2+m2)p=(-p02+p2+m2)p=0. Отсюда p02=p2+m2=E2; p0=E.
Итак, в релятивистской области существуют решения как с положительной, так и с отрицательной (!) энергией.
Рассмотрим решения с положительной энергией p0=+E:
p(+)=Nexp{-iEt+ipx}. (9)
Если энергию и импульс устремить к нерелятивистским значениям, то (9) будет соответствовать обычной плоской волне для нерелятивистской частицы. Поэтому естественно назвать это решение решением для частиц. Но уравнение (2) содержит также решения для античастиц, которые получаются из решений для частиц с помощью операции зарядового сопряжения – для уравнения Клейна – Гордона это операция комплексного сопряжения. Определим решения для античастиц:
p(-)=Nexp{iEt-ipx}=Nexp{-i(-E)t+i(-p)x} (10)
Из (10) следует, что решения для античастиц (впервые эта интерпретация дана Ричардом Фейнманом и Штюкельбекером) можно представить как решения для частиц, но (чисто формально!) с отрицательной энергией и импульсом, направленным в противоположную сторону по отношению к движению частиц.
Формально позитрон с массой m, энергией E и импульсом p можно трактовать как электрон с энергией –E и импульсом –p. В данной интерпретации Фейнмана (формально!) античастица эквивалентна частице с отрицательной энергией, которая движется “вспять по времени”.
позитрон с E, p эквивалентен электрону c –E, -p
(время течет вверх)
Откуда же берутся отрицательные плотности вероятности? Для этого вычислим p:
p()=i[p()*(/t)p()-p()(/t)p()*]=2|N|2E (11)
Итак, очевидно, что отрицательные плотности вероятности соответствуют античастицам.
Решения (9) для частиц называются положительно-частотными решениями, а решения (10) для античастиц – отрицательно-частотными решениями.
Квантовые релятивистские уравнения, в отличие от уравнения Шредингера, имеют вдвое больше фундаментальных решений для свободных частиц – они соответствуют частицам и античастицам.
В заключение получим нормировочный множитель N. Условимся решения нормировать так, чтобы в единичном объеме V=1 находилась ровно одна частица.
dV|p|=1 (интеграл берется по единичному объему). Подставляя сюда p из (11) (эта величина не зависит от объема), найдем для N значение: N=(1/2E)1/2.
Итак, окончательно: уравнение Клейна – Гордона имеет два типа фундаментальных решений:
p(+)(x)=(1/2E)1/2exp{-i(px)} – положительно-частотное решение, отвечающее частицам (12)
p(-)(x)=(1/2E)1/2exp{i(px)} –отрицательно-частотное решение, отвечающее античастицам (13)
Положительно-частотные решения, так же, как и отрицательно-частотные решения, образуют ортонормированную систему:
p(+)*0p`(+)(x)d3x = (2)3(3)(p-p`) (14)
Оператор 0 действует следующим образом:
A(t)0B(t) = A(t)(B(t)/t) – (A(t)/t)B(t).
В связи с уравнением Клейна – Гордона были обнаружены следующие трудности: (a) имелись решения с отрицательной энергией; (b) ток j не был связан с положительно определенной плотностью вероятности , как это было в случае уравнения Шредингера. По этим причинам мы вынуждены отказаться от интерпретации уравнения Клейна – Гордона как одночастичного уравнения. Однако скалярные частицы, частицы со спином 0, существуют (-мезоны, K-мезоны, -мезоны, бозон Хиггса и т. д.), так что, несомненно, должна быть возможна разумная интерпретация этого уравнения.