Релятивистская квантовая механика / ДублЛекц8 релкв

Лекция №8 по релятивистской квантовой теории

«В начале была симметрия» – эта идея, безусловно, более правильная, чем тезис Демокрита: «в начале была частица». В. Гейзенберг

Локальная калибровочная инвариантность и лагранжиан квантовой электродинамики (КЭД)

Мы рассматривали существование сохраняющейся величины, заряда, как следствие глобальной калибровочной инвариантности (формула (8) лекции №7). Но поскольку  - постоянная величина, это калибровочное преобразование должно быть одним и тем же во всех точках пространства-времени. Когда мы совершаем вращение поля во внутреннем пространстве, в какой-либо одной точке на угол e, мы должны одновременно совершить то же самое вращение во всех других точках пространства-времени. Это не противоречит нерелятивистскому рассмотрению квантовой теории, поскольку скорость распространения физической информации в НКМ бесконечна. Однако если рассматривать такой сценарий всерьез в релятивистской области, то очевидно, что он противоречит духу и букве теории относительности, поскольку должно существовать минимальное временное запаздывание, равное времени прохождения светового сигнала. Чтобы обойти эту трудность, будем считать  произвольной функцией пространственно-временных координат, заменив константу  функцией (x_):   (x_)  (x). Впервые эта идея была высказана Янгом и Миллсом в их знаменитой работе, опубликованной в 1954 году в журнале Phys. Rev., 96, 191 (1954). Кстати, тогда мало кто из физиков обратил на эту работу серьезное внимание, но именно идея Янга и Миллса лежит в основе всех квантово-полевых теорий, ныне составляющих Стандартную модель. Поля Янга – Миллса из теоретического курьеза, каковым они казались при своем рождении, превратились сегодня в центральный объект теоретических исследований. По существу, все наши надежды на построение теории элементарных частиц связаны с калибровочными полями (абелевыми и неабелевыми). Это относится к единой теории слабых и электромагнитных взаимодействий, к глюонной теории сильных взаимодействий и, конечно, к возможному будущему объединению этих теорий.

Снова запишем лагранжианы свободных заряженных спинорных и скалярных частиц:

L_{0(спинор)} = i__ - m (*)

L_0(скал) = _*_ - m²* (**)

Преобразование:

  exp(ie(x)),   exp(-ie(x)) (1)

называется локальным калибровочным преобразованием.

Но лагранжианы заряженных частиц теперь перестают быть инвариантными относительно преобразования (1), так как при дифференцировании по x_ содержат производную _(x):

_(x)  _[exp(ie(x))(x)] = exp(ie(x))(_ + ie_)(x),

т. е. величина _ преобразуется нековариантно – не так, как само поле . Следовательно, и интеграл действия перестает быть инвариантным. Чтобы сделать лагранжианы и вместе с ними интеграл действия инвариантными относительно локального калибровочного преобразования, надо их “поправить” – для этого введем 4-вектор A_(x) (поскольку добавка _ представляет 4-вектор), который при локальном калибровочном преобразовании полей (1) одновременно преобразуется по закону:

A_(x)  A_(x) - _(x) (2)

Введем так называемую ковариантную (или, проще, “длинную”) производную D_:

D_ = (_ + ieA_(x)) (3)

и заменим всюду в лагранжианах _  D_ (обратите внимание, что _ или _ преобразуются в формы: D_ или D_, а _ или _* преобразуются как D_* или D_**). Покажем, что D_ меняется при локальном калибровочном преобразовании так же, как само поле  (формула (1)):

D_ = (_ + ieA_(x))(x)  (_ + ieA_(x) -ie_(x))exp(ie(x))(x) = exp(ie(x))(_+ie_-ie_+ +ieA_) = exp(ie(x))(_ + ieA_(x))(x)  exp(ie(x))D_.

Таким образом, чтобы скомпенсировать добавку _, приводящую к неинвариантности лагранжианов, мы вынуждены ввести векторное поле A_(x), называемое калибровочным, которое при локальном калибровочном преобразовании ведет себя по закону (2). Нетрудно видеть, что (2) представляет калибровочную инвариантность электромагнитного поля, так что A_(x) – это 4-потенциал электромагнитного поля.

Запишем лагранжианы заряженных спинорных и скалярных частиц материи, “поправив” их таким образом, чтобы они стали инвариантными относительно локального калибровочного преобразования (1), т. е. заменив в них производную _  D_.

Для дираковского, спинорного поля лагранжиан приобретает вид:

L_спин = i_D_ - m = i__ - m + (-e)_A_ (4)

Последнее слагаемое в лагранжиане (4) описывает взаимодействие дираковских заряженных частиц с электромагнитным полем (переименуем заряд -e  e – заряд электрона):

Lint = e(x)(x)A(x)  ej(x)A(x) (5)

Мы получили лагранжиан взаимодействия квантовой электродинамики (КЭД) – теории, описывающей взаимодействие дираковских частиц с электромагнитным полем.

Лагранжиан взаимодействия дираковских частиц с электромагнитным полем можно изобразить графически. Если обозначить полевую функцию дираковских частиц сплошной линией, а электромагнитное поле (или поле фотонов) – волнистой линией, то (5) означает, что в одной пространственно-временной точке x сходятся две сплошные и одна волнистая линия (L_int в просторечии называют “треххвосткой”).

Рис.1 Графическое изображение лагранжиана взаимодействия L_int квантовой электродинамики (КЭД)

Лагранжиан электромагнитного поля L_э.-м.=-(1/4)F_F_ тоже инвариантен относительно локального калибровочного преобразования (2), поскольку относительно этого преобразования инвариантен тензор электромагнитного поля F_.

Полный лагранжиан заряженных дираковских частиц состоит из трех слагаемых: лагранжиана свободных заряженных спинорных частиц L_0спин + лагранжиан электромагнитного поля L_э-м + лагранжиан взаимодействия дираковских частиц с электромагнитным полем L_int:

L = [i(x)__(x) - m(x)(x)] + [-1/4F_F_] + [e(x)_(x)A_(x)] (6)

Теорема Нетер с учетом требования локальной калибровочной инвариантности приводит снова к сохраняющемуся электромагнитному току:

J_=-ie{(L/(D_))-(L/(D_))}e_.

Выводы:

1 Накладывая на лагранжианы свободных заряженных полей материи требование локальной калибровочной инвариантности, мы приходим к теории взаимодействующих полей КЭД.

Чтобы ввести электромагнитное поле в теорию, надо в соответствующих лагранжианах заменить короткие производные _ ковариантными (длинными) производными D_=(_+ieA_).

2 Заряд e представляет с одной стороны константу связи электромагнитного взаимодействия, а с другой стороны – сохраняющуюся величину при локальном калибровочном преобразовании.

3 Мы приходим к новой интерпретации электромагнитного поля: это калибровочное, компенсирующее поле, которое необходимо ввести, чтобы гарантировать инвариантность относительно локальных калибровочных преобразований. Можно даже сказать: электромагнитное поле есть порождение локальной унитарной абелевой группы U(1).

4 Добавление массового слагаемого m²A_A_ к лагранжиану электромагнитного поля запрещено требованием локальной калибровочной инвариантности. Это слагаемое не инвариантно относительно преобразования (2). Поэтому фотон, квант электромагнитного поля, должен быть безмассовым!

---------------------------------------

Роль локальной калибровочной инвариантности является еще более фундаментальной для электрослабой теории и квантовой хромодинамики. Именно на основании идеи локальной калибровочной инвариантности Янгом и Миллсом были предсказаны три вида квантов слабого взаимодействия. Не забудьте – это был 1954 год, а открыты массивные калибровочные бозоны W⁺, W^- и Z⁰ были только в 1983 году в протон-антипротонных столкновениях экспериментальной группой Карло Руббиа. Это было одно из величайших физических открытий второй половины XX века!

В основе слабых взаимодействий лежит неабелева локальная калибровочная группа SU(2), в которой существуют три генератора (три матрицы Паули).Элементами группы SU(2) являются не U=exp(i), как в группе U(1), а элементы U=exp[i(₁X₁+₂X₂+₃X₃)], где X_i=_i – матрицы Паули. Поэтому при локальной калибровке, т. е. при замене параметров _i тремя функциями _i(x), требуется введение трех компенсирующих полей, квантами которых являются W⁺, W^- и Z⁰. Эти поля называются полями Янга - Миллса.

В основе квантовой хромодинамики лежит неабелева локальная калибровочная группа SU(3), в которой существуют восемь генераторов (восемь матриц Гелл-Манна), и поэтому при локальной калибровке требуется введение восьми компенсирующих полей, полей Янга -Миллса, квантами которых являются восемь глюонов.

Более того, идея Янга – Миллса предсказывает также характер взаимодействия фундаментальных частиц каждой из теорий Стандартной модели!