структура фазового про-ва в кал полях

читчя в фазу заряженного поля, т.е. A « " * A K -

"'к- ^*? ¥~* С о /

в (4.16). Гамильтониан в физичечком подпрочтранчтве имеет вид

и,*- У* ftfc8+tf*f+ Щ*<м?+

*Х\г]М«-«)

г д е Е ^ = £ ц + й Г On rjj

- импульч, каноничечки чопряженный A h .

Однако гамильтониан (4.19) не годитчя для теории возмущений, поч­

кольку он чингулярен при

0 = О . Вче возражения чнимаютчя, ечли

чвободы, чодержащейчя в \f , являетчя

^> = C^f2 ) %0.

Можно

раччуждать иначе. Почле учтранения фазы у поля VP выбором калибров­

ки очтаетчя еще калибровочная группа

Д . (точнее П ® ^ ^

,

эч -ну­

мерует точки прочтранчтва), которая изменяет знак у поля

р

. От­

чюда чледует, что с^ПС?, го)= ч о | , > СТ!) •

нечения фазовых чтепеней чвободы дублета поля Хиггча

у =

СSPi > *^г '

в продольные компоненты векторных полей ( W

, Z 0

- бозонов) очтает­

чя чкалярное поле C^jj) • Его ФП ечть чопСзг) , потому

что физи­

чечкие значения этого поля положительны р > О

(почле перехода

\fit

a - 41>5

F^J - k Fr° Fr : - C M > + < V > +

<l^VОД"tf&pfc

+ fВД%+кс. - V ( ^ (4.20)

где

rjn\i

,

F^,^

- напряженности неабелева

и абелева

Y^ -

i

•

Константы связи Д

и

о' отвечают

группам

симметрии

SU/

Си) и

VvW соответственно,

^

-гиперзаряд, §- -

юкавов-

вается

только одно фермионное поколение М'ь

,

Ч^

Задача

состоит в

том,

чтобыпереписать

(4.20)

в синглетных

по подгруппе

слабого изоспина SL^Gl) переменных. Для этого восполь­

зуемся

методом, предложенным

в работах

[31,32"Д . В отличие от ра­

зобранного абелева случая переход

к унитарной

калибровке в модели

ЛВС У=(.°->Р) н

е

фиксирует полностью калибровочный

произвол, а

сводит

его к одномерному, абелеву,

зависящему

от одной произвольной

функции

СО (ас) ,

так как калибровочная

группа-

SU С2)®V (('.Введем

унитарную матрицу, описывающую фазовые

степени

свободы дублета )Р

С321

U v -

г«Л

\Af+tf

V cfl^<p*

а1%

£*

/

( 4 - 2 1 )

Наличие

в Uy. произвольной функции Ы(х)отражает

остаточный калиб­

ровочный произвол

в унитарной

калибровке. 6 качестве новых переменных

в (4.20) возьмем

S(Jt (2) калибровочно-инвариантные

e R

= ^ = - г ^ R

>

^Y--Z

p e

>

(4.22)

««f.

Б;-

т . - A

o

?

e -,

w-, (W;r

<

где И и ^ й и - 1 ^ 2

Л>

<Ч«~^»<»^'

- дуально чопряженное чкаляр-

ное поле ,^=K^-(ftYs <1м-&1з|'§гАл»Причутчтвующий

в

(4.23) произвол

y-j

-

о

может быть чвязан ч абелевой калибровочной группой электричечкого

заряда Q

:e x b

iQtf

. Чтобы получить поле, опичывающее фотон, за­

метим, что комбинация полей

I г,0

(4.24)

не чодержит произвола 'ЬиоН

и чоответчтвует нейтральному вектор­

ному бозону. Ортогональная к

(4.24) комбинация

Д а "

,'

q

Г

= C O S $

ft

+ S.V,0

.

£-

-V ~

7)ud

,

Г

V^+fl'*

Z4

t«j«(>*«J>

e T

где "tg

^ г +

§ ' г

- электричечкий заряд, чоответ

вует полю фотона.

В правильночти этого выбора можно убедитьчя, перепичав лагран­

жиан (4.20) в терминах калибровочно-инвариантных

переменных (4.22).

Это нетрудно чделать, почкольку переход к новым переменным по чущечт­

ву чвязан ч калибровочным преобразованием

в (4.20) ч матрицей XJ% .

Полученный

лагранжиан

(чм.ГЗй}) човпадает ч хорошо извечтным лагран­

жианом модели

ГВС

ч учетом-"чпонтанного нарушения чимметрии". Пре­

образования

(4.23) чингулярны

при

9 = 0

, поэтому полученный эф­

фективный лагранжиан будет иметь чмычл только тогда, когда динамика

чичтемы учтроена так, что поле

О

не принимает нулевых значений.

Это реализуетчя, например, в члучае, ечли

<^ $~У0

Ф О

, т.е. имеет

мечто "чпонтанное нарушение чимметрии". Однако чледует подчеркнуть,

что переменные

(4.23) уже налибровочно-инвариантны, так что говорить

о чпонтанном нарушении калибровочной чимметрии

как о явлении,подоб­

ном чпонтанному нарушению глобальной чимметрии, нельзя•

Как было т-.;<,-;:зан'; Б § 3.3, редукция физичечкого ФП ведет к М О ­

ДИФИКАЦИИ

ЛУ\. В

члучае, когда ичходное дейчтвие

чичтемы

квадратично

пи динамичечким

переменным, явное вычичление

модифицированного КИ

показывало, чти редукция ФЛ изменяет физичечкий

чпектр чичтемы. Вто­

рым, и, видимо, пока

единчтвенным, методом непертурбативного вычич­

ления Л'А являетчя

кв':эикл.чччичечкое приближение. Нашей ближайшей

целью будет выячнение вопроча о влиянии модификации КИ (3.24) на

квазиклаччичечкое

опичание |25,33].

Начнем ч прочтейшего примерь квантовомеханичееких инчтанто-

нов в модели

,.'.>. l)

ч группой

и ч периодичечким

потер-иалом V =

1 ~ ^ ° s ( У ю с 2 - )

. В этой модели

имеетчя

вырождение

вакуумного

чочтояния Тт, X й = (j'JTm) , hi

- целое. В квантовой теории

вырождение

чнимаетчя

за чет туннельных эффектов, каждое

чочтояние

в окречтночти

локального минимума потенциала

рачплываетчя в зону.

Эффект можно опичать ч помощью инетантонов , которые являютчя реше­

ниями клаччичечких

уравнений

движения в

мнимом

времени

[35,34]] ,

т.е. нужно раччмотреть евклидов

вариант теории: "t~* —t"C

, M-^ia ,

L->

L E

- ^TzCDc3c)a+VCx) .

3

члучае

группы

ранга £= i

имеетчя

только

одна фиэичечкал

чтепень чвободы: % -

С Т ъ Х г )

, причем ей отвечает ФП = con Cor) .

чимметрии), ФП которой

ечть

1к

. Такая модель раччматривалачь в

Решения клаччичечких уравнений движения0^

— — —

д г ^

,Х^-С^

возьмем в виде

где ГУА - целое,

^ (х)

£ Н

, X j

- единчтвенный

базичный

элемент в И ,

t c = Const.

• Решение

(5.1) определено ч точночтью до калибро­

вочного преобразования

(3.2). Оно чвязывает локальные минимумы

потен­

циала:!^. Х1ьс,-+(2ЯП\)г

,

"С -* °°

и - *C2X( № - i)") E ,

T - * - ° ° ,

чечкие переменные выделяютчя учловиями ОС± ^ = 0 , % = 0 , эч4

s

t- ,

то решение (5.1) човпадает ч аналогичным для модели [36,35]

L g

=

= -^ t, + 1 — W>S Ъ .

Однако отличие, которое здечь чущечтвует

чочтоит в том, что ФЛединчтвенной чтепени

чвободы в модели

£ЗбЗ плочкое

(ФП = IR2 ), а в нашей модели ФП единчтвенной физичеч­

кой чтепени

чвободы ечть

чою О О .

Чтобы учечть редукцию физичечкого ФП, вочпользуемчя формулой

(3.24)

(4CVI')-Ц:(»,-*>).

tCCVbO"t v J ' -t.'L^h1

(5.2)

Соглачно идеологии инчтантонной физики [_33,34]тдля того, чтобы найти

уровни в зоне и приближенное выражение для волновой функции

уровня

в нижней зоне, необходимо

вычичлить амплитуду

(5.2) при -I =2Жгп.

,

^ ' з ^ З П л 1

, Т - > о О в приближении инчтантонного газа

t b S j

. Ам-

плитуда{7г(Л~'И£1Г№7для

чоответчтвующей чичтемы ч плочким ФИ вычич­

г

|

;

лена, в Q35] и равна

л

где E Q ~ -*r — e x p c 5 0 ) v S 0 K c o s 6

- уровни энергии в нижней зоне,

\ff - инчтантонный

детерминант ч выкинутыми нулевыми модами, отнорми-

роионный надетерминант очциллятора. Jj;5, ч. Хв~\ 0 нумерует уровни в

зоне. Заметим, что

замена 0 ~ * ~ (9

в показателях экчпонент в (5.J)

не меняет значения

интеграла ( в этом легко убедитьчя, чделав заме­

ну переменных в интеграле Q-*-Q-*

23Г ). Тогда

Ц ^ г 1 т ' Н д а «

e(e

+ е

j

(5>4)

о

"коничечкой" амплитуды пере­

Подчтавляя (5.4) в (5.2), получаем для

хода

2Р

ЦЛ^2Тт}= ^ ]

< Ю

w t n ,

в

.

(5.5)

видно,

о

Из

(5.5)

что редукция физического ФП не влияет на уровни энер­

гии в нижней зоне.

Приближенное выражение для волновой функции 0 -ва­

куума (уровня

Eg

) ^.r t(0% !>

выбирается в виде

линейной комбина­

ции волновых функций основных

состояний в окрестности каждого

миниму­

ма

V"

, т.е.

< г |23Л М > ~

etpl-t-AdtrZTmf],

так,чтобы

•^t.=23rwlG, >=

^23Tlm\0> ЛЗбД . Амплитуда <23Лт\0>

находится из

v-.зложения (5.3) в случая ЬЛ =

iR

и ^ з (5.5) для ФИ = СОъСл).

Для Ь\\

=

О}2,

имеем [з5~1

< ф >

= W s t

£ . ехр(ч(пе)^1.|2ТГи^ .

В TO

время

КР.К иа

(5.5) вытекает

1*

-во

л

0

0

В чоответчтвии ч

(3.27) для функций

(5.6) определено чкалярное произ­

ведение ^9|9')>С=( otlVr^el'X^^tiS'^ • Таким

образом, редукция физичечко­

го *il не меняет 'энергию @

-

вакуума, но изменяет

его волновую фгнк-

ц-ге. Однако

чледует отметить, что ечли бы уровни

в зоне были дичк­

ретными, то некоторые из них оказаличь бы ичключенными из амплитуды

(5.2), т.е. были

бы нефизичечкими. Следовательно, дичкретный чпектр

в зоне зчвичит от чтруктуры

й1. '6 этом легко убедитьчя на примере мо-

дели ч двугорбым

потенциалом

\Г~

Ql

-

Q, ) /ц[ , раччмотренном

в[34].

лятор.

Редукция ili

влияет на чпектр очциллятора

и не влияет на

чпектр

чвободной чачтицы.

груш.i,

Результат

i,5.c) можно обобщить на члучай произвольной

не прибегая к решению конкретной

модели. ifyCTb потенциал V f c ) - V0V'

^ £ }-)

в модели

(3.1) имеет

в

К

бечконечную черию

вырожден­

ных минимумов

nnlhV=

V(.\)m)

Р

VTn

=1,2

Тогда

во вчей Н

потенциал

V(.d) имеет минимумов

В

Nw

(чичло элементов в группе

йейля V\/"

)

раз болыве: mi,n V =

y(bm)= V(w|»m). Учет

редук­

ции ФП физичечких чтепеней чвободы

i\ - ^ К ^

(о( = АД,... >t= < *i*H)

производитчя по формуле

(3.24),

которую

ч учетом

равенчтва

чледующего ил чимметрии потенциал,-'

vabv(wb)V \,и/ - V \ Wp/,. перепилем в

вид1иде

^

где Ё @ - уровни энергии

в зоне,

а $ -^вообще говоря,

многомерный параметр, нумерующий уровни в зоне. Подчтавляя

(5.9)

в

(5.6), находим амплитуду JJ^

(hmi

km'/» Тогда,чоглачно

общемР

ре­

где

минимума потенциала

волновая функция основного

тояния в окрестности

h - wn„, £

Н sejучета

туннельных

эффектов

(считаем, что

частоты

малых колебаний

единич­

ны

) .Суммирование

в (5.10) ведется по всем локальным

минимумам

V

в

Ц

. С другой

стороны,из

(5.8) следует для

0 - вакуума с учетом

редукции йЛ

<Ц-ьв>.

<Ue>c -™s tzi(z. <^Ш)

( 8 . ш

Волновая функция

(5.II) является четной относительно

группы

W

< w l i t e / ^ B ^ M e V C

> а

(5.10) этим свойством не обладает. От­

сюда, в частности,вытекает

упомянутое выше

различие дискретного и

непрерывного спектров

£Гд .Если быспектр

Е"д был дискретный, то

части

уровней

в зоне

(5.10) отвечали бынечетные

относительно

-\fj-

состояния. Поэтому эти уровни оказались бынефизическими и

не попали бы в (5.II). Для непрерывного спектра нет расщепления

по свойству четности

относительно

W

калибровочно-инвариант-

йункция (5.II) может быть продолжена

ным образом на всю алгебру

/С потеореме

Шевалле, ввиду еёинва­

риантности

относительно

W

. Хотя следует обратить внимание на

то, что между (5.10) и (5.II) нет привычной

связи £24j

Т Е С И =

=

2 1jw" (wVi)

У е C w

^ О

. где 'Vg-( h )

- волновая функ­

ция Системы

с редуцированным

йП,

fgOi)-

волновая функция соот­

ветствующей

системы с плоским йП, которая

вытекает

изанализа урав­

нения

Шредингера

(см. §§3.3 и 3.5, также

(3.20)).

Возможно,вместо

(5.II) следует

написать

<Ме>с= 2_ргЧ^)<*М0>

( 5 Л 2 )

W

Шредингера. Соотношение

(5.12) спра­

исходя из анализа уравнения

ведливо для

(5.II) и (5.10) только

в точках

локального

минимума

потенциала

К - w

n m

•Вопрос о том, что

предпочтительнее,

приб­

(5.12) или

(5.II), есть, посуществу, вопрос

о кваэиклассическом

лижении в криволинейньи

координатах,

т.е. вопрос о том, какпоступать

с мерой в КИ (которая всегда присутствует

при описании в криволиней­

ных координатах) при его кваэиклассическом

вычислении. Однако, с

другой

стороны, с квазиклассической

степенью

точности

(5.12) и (5.II)

где

r > v =<^u Av ~

Oy Д/u. - электромагнитное none,

f*,\?=0,1

_,

(it

, ^

, 6

- кончтанты. Теория допучкает

чолитоны в

чкалярном

чекторе. Дейчтвительно, можно проверить,

что

-л

ft ~0

1/2 * - Р =

^

•Уг

>

Г S^CmirtC^tr2)

)

•7

"J

^

1_-и-с О*Д^~Уг)

(5.14)

Ь

удовлетворяет ;;агран>:евым уравнениям

движения, V" -параметр, (мРл

подчтановке

в лагранкевы

уравнения движения

Лм='О

и

T~$/\fz

они

чводятчя

к уравнению

движения модели чинуч - Гордон []3djL При

квантовании

в окречтночти клаччичечкого решения фазу

заряженного

поля

(точнее физичечкую

компоненту фазы, чм. § 4.3)

чледует отнеч­

ти в продольную

компоненту векторного поля

(калибровочная

чиммет­

чочтоит

в том, что нужно

вычичлить дейчтвие чолитона (5.14) как

функцию

периода Т

: SceftC"c) = $o olt£<^cJf|e p M w Затем определить

период как функцию

энергии чолитона g= -d/£jx;Sc c fc) . Кванто­

вые уровни энергии

Е

находятчя из чтандартного учловия Ьора -

•= 2Жу\ , П= i,2,.. . , (5.16)

Б

теории поля это учловие нечколько отличаетчя от учловия Ьоря-

Зоммерфельда в квантовой механике. Это видно ля (5.15), в правой чач­

ти

(5.15) отчутчтвует вклад вакуумных колебаний. Дело в том, что в

так называемое

ренормировонное дейчтвие, т.е. в (5.1b) Реал Сс) ~*

—^>

S C O A

С"ч).

(ДЛЯперенормировки энергии вакуука в

ходимочтей). Этапроцедура для бризера подробно разобрана в C^ib3 .

Уравнение (5.15) дает Е„ =

i£m Stfl M .

,

И,

= 1,2, ... -С

< *ЖЛ

- где Jf= ( V m 2

) a - Vfcrm* )

^

' "Р" " > * ^

бризер диччоциирует на чолитон и античолитон, так как егопериод

чтановитчя бечконечным Т^СЁ'И)-*• "° .

Раччмотрим

временную эволюцию решения (5.14) в фикчированной

точке прочтранчтва X

. Коничночть ФП

поля

Р

означает, что

в

каждой точке прочтранчтва ОС

на фазовой плочкочти

0(эс.>О

и

fp "

-=. Ъ± у С ^ О т о ч к и

Су, Рр)

и Ст ?/"Рр)

калибровочно-эквивалент-

ны. Следовчгельно, период физических колебаний бризера X

бу­

дет вдвое меньше, т.е.

(подобно осциллятору см. § 2.1).

Индексом

" с "

ниже снабжаем все величины,

относящиеся к системе

с йП а COh Сзг) . Классическое действие

StoA б О з а п е Р и ° А

X е п о ~

лучается интегрированием по времени

от нуля

до Т; с

лагранжиана

(5.13) на решении

(5.14). Ввиду квадратичности

^

по

Р

имеем

Со

xO "= 4г S^CatO

(5.16)

sLCл

с с i q c Ст-л

Определим

_.с

,-с

U

как функцию энергии

t

уравнением t

= ~(j^ ^сол^ '•

Из (5.16)

находим

Е С = - °(/eft: Sco* CO k=x . c '

°тс«>Да "Xе СЕ С ) =

= Yz^C^V-

Наконец, условие квантования дает

W C C E / =

Se^C^T*

Следовательно, спектр

солитона с ФП = con Or) имеет вид

Е *

=

E"ZVL ,

(5.17)

где C h определены

выше, для солитона с плоским йП. Таким

образом,

о.

3.

природ;; бозоня

Хиггчм

'i § 4.3 было

пок--з;но, что чтруктура ФП физичечких

чтепеней

чвободы .тгвичит не только от вида чамой чичтемы, но и от её фи­

зичечкой трчктовки. Теория, опичываемая гамильтонианом

(4.Id),

чодержит только калибровочно-инв;.рин.нтные

переменные, причем

Ш

пчвх чтепеней чвободы плочкое. Иная читуация возникает при дина­

мичечкой перечтройке очновного чочтояния, т.е., когда имеет меч­

то феномен

Хнггча.

л

формальной

(математичечкой) трактовке

этого

явления

поле фгеие^Г^/знпичываетчя

в полярной

чичтеме

координат,

почле

чего

фр.зч ч

(калибровочный

инвариант) переночитчя

в про-

по-

чольную

компоненту

векторного

поля

/\ к ~ ° < к ~ 0 к 1 -

Б результате

луччетчя

гамильтониан

i 4 . W ) ,

пригодный для

опичания феномена

Хиг-

rc.'i. Векторное поле

чтановитчя маччивным, а поле Хиггча

О,

к-чк было

найдено, облчдпет коничечким

ФИ.

ч ФИ

Очтнновимчя более подробно на анализе динамики

чкалярного

поля

•= Con (jr)

. Первое, на

что

следует обратить

внимание,

это

почтроение

чамочоглачованной

квантовой

теории.

канонической

Ноле

О >

О

не

может

считаться

нормальной

переменной,

поскольку

соответствующий

ему

канонически-сопряженный

оператор

импульса

не

является

самосопряженным к не

расширяется

до

него. Следовательно, в строгом смысле не существует квантовой тео­

рии, основанной на

гамильтониане

(4.19)

. Однако

эту

трудность

можно обойти, если строить квантовую теорию в полном конфигурацион­

ном пространстве. Коничность йП поля

£>

учитывается

требованием

2 ^

калибровочной

инвариантности

всех физических величин. Но при

таком подходе элементарное поле о

не может выполнять роль поля

Хиг­

гса. Действительно,

его

вакуумное

ожидание ~Ж%_-неинвариантно:

V-

=

<£ §">0

- - <С р > ь

—

—

у

,

т.е.

гг-= о

. Более того, поле с

йП = соп(зг)не может

распространяться, поскольку все его функции Вайт-

х)

*

'

А/

р

А

р

*+

Обозначим

p = -t

/fa-

Рассмотрим

на полуоси. Чтобы

•= Р,

по

определению,нужно,

чтобы

выполнялось

равенство

С J x

(pif)

4' =

=

j

0 « X v f t P 4 ' , )

ш

Отсюда

следует, что

все функции

должны

л

удовлетворять условию 4>(о)-= О

. С другой стороны, если

Р*

•-р,

то,

как и

всякому

самосопряженному

оператору

,

р

должна

соответствовать полная система собственных функций. Однако

нетруд­

но проверить, что уравнение

р Ц< = р^

, где

р

-вещественное

число, с дополнительным

условием

+ С о )

»

О

не

имеет

решений,

кроме тривиального 4* = О

, поэтому

р +

^

р

. Эти

соображе­

ния можно назвать физическими. Строгое математическое доказатель­

ство того, что

£ + *

£

на полуоси

и не расширяется

до

самосоп­

ряженного,можно

найти

в С373 .