структура фазового про-ва в кал полях

чя 2 и t-

,т.е. чтепени незавичимых операторов Казимира. Подчерк­

нем, что

в калибровке ЭС =

Ц,

(без учета редукции Фй) чачтоты

незавичимых колебаний очциллятора единичные. Полученный результат

находитчя

в чоглачии ч квантовым раччмотрением.

3.2. Гильбертово прочтранчтво чочтояний и чтруктура ФП

В квантовой теории Х £ ,

Р^ , Qi , •""£ чтановятчя оператора­

ми [jXi jPj]= tSri = t %L ) 3Tj

3 .

В чоответчтвии чо чхемой квантова­

= 0. Очевидно, вакуум |о> (_Q: ld)> =• О )

принадлежит физичечко­

му гильбертову

прочтранчтву чочтояний. Тогда любое физичечкое чочтоя­

ние получаетчя применением инвариантного отночительно причоединенно­

го дейчтвия

группы Q

полинома от оператора

&

=

A j Оь •

(очевидно, что ечли некоторая функция

-f

от оператора

0.+лобладает

свойством^{Ca+bf(uc№)t H e

G

,

то [£(£+), Gj 1= О ,

так гак G ;

- генераторы преобразований из группы

G

>

поэтому

•fCci^lo^

- физичечкое чочтояние).Тогда чоглачно теореме 2 Прило­

жение Б) находим базич физичечкого подпрочтранчтва чочтояний

[ Т г ^ ' ] % - [ Т г ^ ^ ] А | о >,

(ЗЛО)

где И ^ =0,1, ... . В чачтночти, для чпектра очциллятора

Н -

= &"*••

CL-

+

N/z

И Э

f3»i03 чледует

м/г,

о

О

Е л = 2-

*-«ъ* +

(З.П)

торши ч чачтотами 'Ъ^.

. Это и наблюдалочь прианализе клаччичеч­

ких уравнений движения

ч учетом редукции ФП

физичечких переменных.

3.3. КИ длячичтемы ч ФП = К &

Н

Гамильтонов КИ, какбыло выячнено

в чачти 2, завичит от чтрук­

туры физичечкого ФП. Не чочтавляет ичключения

и раччматриваемая

ординатном

предчтавлении: р?= -I ^/ъх\

•&* явного разрешения уравне­

ния чвязи

и запичи гамильтониана в физичечком подпрочтранчтве, перей­

дем к новым криволинейным координатам

п ^ , ~2.а. (3.4). Тогда lK>t,(x)=

— Ч* Ск.)

>т -е - в

операторе Лаплача - Бельтрами в криволинейных ко­

ординатах

(3.4) чледует очтавить только члагаемые, завичящие от про­

изводных по к- , чтобы получить гамильтониан в физичечком подпрочт­

ранчтве. С этой

целью найдем метричечкий тензор в координатах (3.4).

Имеем d s z

s T l

о Ц г = Т ь ( < « 0 К $ Т Почле нечложных вычичлений при-

« 1 Л

^ * h

За*СМ)«**в ^4 ,

(

%cia

,

некоторой чледует, что тензор 9н имеет блочную чтруктуру

'

4afe

~> < °

Л ; Н Е * ^ ) ' - , Л/ . . Ичпользуя предчтавление

gi-yg =

/\- Ри

(^"Z^ olZa , где F<£ - некоторые неизвечтные матрицы,

мы находим

U -

РсЛООЗсаООрДг),

Зав =

^ a c C U W c t ( l i )

> CA)Q f t (W)» ^ L a g .

(3.13)

Тогда онератор Лапласа - Бельтрами есть

где

3 L = C^ot j ^ a . )

. ^ о ^ ^ / д к *

Д * = %

2 а ^соглас­

но

(3.13),

§ V 2 = (detll^-ll) = det чо(Ю c U F60 а

Почкольку физичечкие чочтояния не завичят от

%•&. ,

то физичечкий

оператор Гамильтона имеет вид

L+00- С"i W

$ Л v

i f t l

*Y «)ф

-E

* -

где

,, _,,

-1Д2

\

- "квантовая" добавка к потенциалу

1

Va - /Z

/* \. "U f1 J

(эффективный потенциал), потому что

М "Ьы.0^

=

Iй

"«V* + 2 . * Ч '

Мера

(U

Ск.)

может быть вычичлена явно. Для этого воч­

пользуемчя

в (3.13) и (3.15) запичью

чтруктурных

кончтант

в базиче

Картана - Вейля D>6](приложение Б (Б.5) ). Очевидно, что чправедли­

во разложение

Z =• 2

С Н ^ ^

+ ^ 6

. ),Из

определения

(3.13) чледу­

ет, что матрица

Со СМ

е ч т ь

оператор причоединенного

предчтавле­

ния

CidR

W.

(чм. (Б.6)), редуцированный на

подпрочтранчтво

(почледнее

ибозначено значком

"R"

),т.е. из матрицы

GaolК,) у

учтранэны

чтроки и чтолбцы, отвечающие

подалгебре Картана: Cj0 g, \й)=

=•(cto( W.)ctt

• Тогда из определения

оператора

аа ОС

и (Б.5)

вытекает, что вбазиче

Кяртана - Вейля матрица

СО С

Ю

диагональна

и диагональные элементы

равны - С ^ > "- / t

где

Ы,

пробегает вче

положительные

корни в Jf . Учитывая

чвязь базича Картана - Вейля

ч ортогональным

базичом

(Б.7),находим, что

в ортогональном базиче

СО (к)

имеет блочно-диагональный

вид, причем

каждый

блок

ечть

античимметричная

матрица 2x2

C^K^fi^v , JU,U=l,2.

£

1

г

=

1

t

£ ^v

=

= - £/*J .

i

2.

Следовательно,

Нормировка базича для компактных групп вчегда может быть выбрана

так, что

Тг°<К, = Л к ь = Ы/^', т.е. это обычное чкалярное произве­

дение

а Н ~ К

. Фактичечки

JU^CV) пропорциональна

объему

орбиты

элемента

W. , так как

doc =

р К ъ * ) d - " 1 ' 1 Z.

/да (Юо1е 1г.

и ввиду компактночти группы

G

интегрирование

по

2

вмере дает

полный "телечный угол" орбиты элемента

[\,

. Это также означает,,

что физичечкие

волновые функции

можно нормировать учловием

j ^ e п

fk (It) (^1 =

1

. т.е.

/*

С^ )

ечть мера вфизичечком

конфигу­

рационном

прочтранчтве ( о "ненормируемочти" физичечких

чочтояний

по переменным

^•= ^1%д

чм.формулу

(2.28) и её обчуждение).

Очталочь

вычичлить

Vo . Имеем равенчтво

т.е. необходимо вычичлить Vo

для зчех

групп ранга 2 SUC2>) ,

S p W ) ~ S 0 C 5 ) ,

£ 2 . Путем явного вычичления убеждаемчя, что

V4 = О

для этих групп. Например, в члучае SU(S)

Дткина о — о 1 "

чоглачно чхеме

находим (чм. пример в Приложении Б)

1

Ol,W<XH,u)«")

О ь и Ч Х Ь / ^

0»,tdta)fli,ftfe)

1 E n o 4of-

^ 0

С-ЛК*Л)

(3.19)

К.ОСТЯМ

6 ПЛОСКОСТИ

частицы

с плоским йП. Отсюда

где Е=

pfeH

• Однако кл(к)-=0

,

ечли 1г 6 "JK"*" • т.е. в точках

плочкочтей

Ch,ai)=0, W

-прочтые корни в X • Поэтому такие

оказываютчя чингулярными

при

к € 7) К4 " • Волновые функции должны быть

конечными

в конфигурационном прочтранчтве [8J (чи. также

§ 2.4 ) .

В чоответчтвии ч этим физичечкие

волновые функциидолжны

быть конеч­

ными в

Н

. Проверим, что функции

удовлетворяют этому требованию . Суммирование

ведетчя по вчей группе

Вейля"М/\ w k = w k w " 1 ,

№(wW)-oU£w/J"(lO = ± ^ ( H ( ju4li)-

- инвариант отночительно

\Д[~ , поэтому

/*(М может менять знак

при преобразованиях

из ~\^~

.Любой элемент

w

ечть комбинация от­

ражений отночительно

гиперплочкочтей Qk,U>)

= О ; ечли чичло отраже­

ний четное, Todetty=i, нечетное, то otet W =

— I). Коэффициенты в

(3.20) выбраны из чоображений нормировки

и чимметрии между импульч­

ным и координатным предчтавлениями

В окречтночти

границы

О К

мера Ju(kj~Const.(V>lw), где СО -неко­

торый прочтой

корень

(граница

Ъ К + образована плочкочтями (h/ 0 )*0) >

чледовательно, ^ = М ~ 4

^ будет конечной на плочкочти

( ч о , к ) = 0 ,

ечли У (к)

меняет знак при переходе через плочкочть

(.W, h.) = О .

Почледнее чледует из определения (3.20) и чвойчтва меры M ( W K . ) ~

а - М (К.)

,ечли W ечть отражение отночительно плочкочти 0*},Ц)=0.

Отметим, чточвойчтво четночти физичечких

волновых функций (3.20)

отночительно

группы Вейля

W

*Pp(w|t)s

У р О О

позволяет аналити­

чечки продолжить их на вчюподалгебру Картана Н

ч чохранением

чоотношений

(3.21) и

(3.22).

К

Подчтавив в (3.23) явный вид функций

из (3.20), почле не­

которых прочтых вычичлений находим

Р

(3.24)

где

a(Ui')-Z Se(k-wU')

(3.25)

w

vv

1/^ {.п., п. /

- ядро оператора, чимметриэующего по группе

, и

ечть ядро оператора эволюции глч чоответчтвующей

£

-мерной

чичтемы

ч плочким ФП, т.е. обычное «•

длячвободной чачтицы:

Для перехода от (3.£С к (3.24) чледует, вочпользовавшичь четночтью

функций (3.20) Ф#р (к)=* Ф р ( Ю

.перейти к интегрированию в (3.23)

по вчей подалгебре Н : $ к +о1 е р

= A / ^ S

H ^

V

• г д е Л ^ г ^ г " " ^

- порядок группы Вейля иличичло различных элементов в ~W

, почле

чего интеграл по импульчу легко

вычичляетчя.

Таким образом, резуль­

ду для той же

чичтемы ч плочким ФП ч учетом криволинейночти физичеч­

ких координат (это отряжаетчя мерой (3.24) и (2.38)). Формула (3.24)

показывает

также, что, помимо прямой траектории, чоединяющей точки

1ъ , vi ,

вклад в амплитуду перехода дают траектории, отраженные от

границы камеры

Вейля. Следует подчеркнуть, что никакой "непроницаемой"

чтенки на границе "ЪК^ нет (раччматривалочь чвободное движение! ) ,

ком (чм. рчччу.адения почле

(2.37)).

Результат

(3.24) легко обобщаетчя на члучай

произвольного потен­

циал*. Но определению эволюция физичечкого чочтояния

Y CIO

во вре­

мени задаетчя

равенчтвом

4ЛЧ ^Ai/tWtdi'^k')

(3.27)

|С

i i-

переводит

четную по группе

W

LР

функцию в четную, то (3.24) очтаетчя чправедливым

и в члучае произвольного потенциала

"V

. Почледнее имеет мечто при

условии U£

Cwk, \С) = U t ( k , w T W )

+Л ОСег)

,

£ -* о

1

\ у т

-

транспонированный оператор

W ),

т . е .

когда потенциал

-

четняя функция V"(.Wп.) = V ( K . ) >

Ч Т О <

очевидно, справедливо

вслед­

ствие калибровочной

симметрии. Б JTOM^случае

при итерации инфините-

эимал^ного ядра

оперчтал-ogjiора {}£ ss [J Q,

все Q,

проносятся направо

)lQ,-

UEQ^~ VeO .

что дает (3.24)

для конечного промежутка

вюремени,

где вместо 13..26))

стоит

КИ

„ Т . о

ftir)!

'

J

'

•

-

" (3.Sd.

ч ._..._

.,

к(оЬЛ',Ш^ .

начальными учловиями

По почтроению ядро Ц5" (,W,Vv ) инвариантно отночительно

W

, чле­

довательно, по теореме 1Цевалле £20, ч. 556 J

оно как функция двух

переменных

It и

U, допучкает единчтвенное, калибровочно-инвариант-

ное, аналитичечкое продолжение (по каздой

переменной

незавичимо) на

вчю алгебру

X

и

может быть явно

выражено в терминах

калибровочно-

инвчриантньк переменных, т.е. предчтавленакак функция

К

незавичимых

полиномов

Т г х г

о <

= T t W 1 " ,"Roc' 1 1 * = Т г . Ц ! г х

, ^ы.

-чтепе­

ни незавичимых операторов Казимира

в X }

e/=i,2j..-j(.. Таким

образом,

учет редукции физичечкого ФП (или требование

инвариантночти

вчех физи­

чечких амплитуд отночительно калибровочной дичкретной

группы Вейля)

жим ОС г Н а ^ft ^^odlrf, где °t нумерует базич в

И . а

О,

нуме­

рует базич в л \ Н

• В качечтве дополнительных учловий выберем

J C n ( x ) = Z Q = 0 Л У : = 0. Напомним

, что чреди N

чвязей

G:

не вче

являютчя незавичимыми. У вектора X

= 1г имеетчя чтационарная подгруп­

выбрать й а

= ^ а 6 с Рб 2 с +-?0 fe^Pe^« +^а<к& Р« z 6

" °

'

Р и Ро_

- импульчы, каноничечки чопряженные \\и

и

Zo. чоот­

ветчтвенно. Тогда чоглачно рецепту [il] КИ для чичтемы

(3.1) имеет

вид

где A = d e t [Ч , M Q 6 = {G»Q,Zfc\ I = 0 , мера в КИ (3.29) опре­

делена чтандартно

РСР.ЭС.ОГ, у ") » fit С С г т О ' ^ ч ^ О Г о ^ A d f>\

Pi, = С Pa, R»J )

,fleftcTBHetчичтемы определено каноничечким обра­

Интегрирование по ЗГ

, Ч

и Н выполняетчя тривиально, для ин­

тегрирования по ро^.

нужно преобразовать дельта-функцию от чвязей

было показано, что чпектр очциллятора в модели

(3.1)

определяетчя чте­

пенями незавичимых операторов Казимира в J£

, в то

время как нало­

вание чтруктуры физичечкого

Ш эквивалентно нарушению второго учловия

(3.9). Далее, почкольку \ Т ;

— i[ijf:,hf] "-< Q ; / 0 , то уже в чле­

дующий момент времени

ЗГ; т*О i чт° явно противоречит ичходной

форме лагранжиана (3.1).

Поэтому нельзя отказатьчя от выполнения

было

априори положено 4>|~l(h P^)~

R^<&> R

•т - е *

гнтегрирование

в

(3.29) ведетчя по полной гиперплочкочти

|£2 * (хотя,ч другой чтороны,

мы не умеем вычичлять КИ (даже гауччов)по какой-либо чачти

R

и

требуетчя дать определение такого объекта). Обратим внимание на ещё

,

одну

очобенночть. Для определителя в (3.29) получаем Д = const /<*0i)

почкольку

М о Д ' тав« К* (чоглачно

(3.13) и (3.17)). Следовательно,

Д = 0

при

k € " i K +

, и дополнительное учловие неприменимо при

h e

" Ж +

. поэтому нужно ограничить облачть интегрирования по

W

до

К +

, но тогда вчтает

вопроч

о вычичлении КИ (3.29) по

К + С

1 С .

Фактичечки

(3.24) предпичывает рецепт решения этой проблемы

в чоот­

ветчтвии

чо чхемой квантования Дирака.

го

х,

Физичечкие переменные, конечна, можно выделить заданием любо­

-мерного гладкого многообразия, изоморфного

|R^ , в полном

конфигурационном прочтранчтве

fR*' , что чоответчтвует заданию N~C

учловий JCQC* - ) - О . Однако

ФП новых переменных, хотя и выглядело

бы чложнее, не было бы изоморфно

(^

. Это чледует уже из того, что

орбиты калибровочной группы в данной модели ечть замкнутые компакт­

ные многообразия размерночти Л/- Z

• Выделение физичечких леременных

ч помощью калибровочного учловия ечть задание "линии" ( £

-мерной

поверхночти) в полном конфигурационном прочтранчтве, вдоль которой

изменяютчя физичечкие переменные. "Линия" же не может перечекать

замкнутое многообразие только один раз, подобно тому, как линия,

проходящая через внутренночть чферы, перечекает её,по крайней мере,

,

дважды (кчтати

чказать, этот члучай реализуетчя для групп ранга £ » 1

т.е. S f ( ^ ) ~

SO(l) , где орбиты ечть чферы

$ &

)• Следовательно,

на "линии" будут чущечтвовать точки, принадлежащие одной орбите,

или они будут калибровочно-эквивалентны. Поэтому произойдет редукция

физичечкого конфигурационного

и фазового прочтранчтв, что чобчтвен­

но и было

видно при анализе переменных (3.4). К вопрочу о запичи

КИ

3.5. Роль калибровочных

инвариантов при построении КИ

В предыдущей параграфе

было сказано,

что инвариантность физи­

ческой амплитуды перехода относительно

дискретной калибровочной груп­

пы,

редуцирующей физическое ФП

, позволяет сделать аналитическое

продолжение

этой амплитуды в полное конфигурационное пространст­

во

системы (включающее

и нефизические

степени свободы)

калибровочно-

инвариантным образом (теорема Шевалле).

Здесь будет предложен

спо­

соб этого аналитического продолжения.

Прежде

чем переходить к решению этой задачи в общем виде, раз­

берем простой вопрос о нахождении калибровочно-инвариантных волно­

вых функций, ннпример,

для осциллятора

с

группой ранга

£ = 2. £15].

В теории

групп есть утверждение [20,2б1 , что всякий полином в подал­

гебре Н

, инвариантный относительно группы yj , разлагается по

образующим

Tt h

i °^= ^'^' ' • ' •» t -- " 1 ' m K Следовательно,

чтобы

найти явные формулы

для пналитического

продолжения,нужно предста­

вить физические волновые функции как функции от Tt, \\ °*. После че­

го

замена

дяет желаемый

результат. Чтобы реализовать

эту

программу в случае

\, = 2, перейдем в уравнении (3.16)

к новым переменным

$ ч =

("!г h2 ) ™^ О,

ф2

г (- $ + Ti Uъ/ф J-)

/fa

ф^

£ Q-i, i j (ср. с (3.5)). Путем явного вычисления убевдаемся,

что

ju2 C10 = Const

фч г Qi- $ * )

. Переписывая оператор Лаплас»

^ ^

(^У~1,А)

В (3.16)

в криволинейных координатах

$ м

и

делая затем подстановку

Ч^ •= ]W~

зе

,

получаек уравнение

которое будем решать методом

разделения переменных

У^-

чФ^Фг^

= ХУф "\

рЛф ) . В результете

находим

- 0

- ^ )

^ 4 5 z f ' + c f = 0 ,

(3.31а)

(3.316)

где С - постоянная

разделения переменных. Поскольку

Tf должна

тС~^'=0

( К^~ О при Ф г •= ± А ). Отсюда находим реше­

ния (3.31а)

f = С 1 - § £ ) ^ и > „ С $ г ) = SOi[Ciro-M)ufcccos$a ],a

= Ф

4

^xp( - j $

4

)$C$<J

и э а м е н о

й

независимой переменной

$ ="t

±%\

[гым)

^-Щ'^[Е+

*С***>1\ 3=о. ( 3 > 3 2 )

Его регулярное в нуле решение даетчя выровденной гипергеометричеч­

кой функцией £ = ЛГЛ

C^Q^Sj^jb)

, !Г=гй1+г+ i

. И з учловия

убывания F набечконечночти получаем чпектр Е п м - 2М +fcm+ 1 + i,

Ki,»j=0,i,»-.

,что находитчя в чоответчтвии ч клаччичечкими

решениями

(3.0) и квантовым опичанием в предчтавлении вторичного

квантования (З.Ш ( ^/2

= £ч-А

для групп ч

t

— «2.

).Учиты­

вая чвязь функции ^ F^

ч обобщенными полиномами Лагерра

L %

H2.ll

1 R , C - K , S + ^ 0 = »

Ьк С*) ЛСк+ОЛСз+^/гСк+в+О,

находим окончательное выражение для инвариантных отночительно

W

функций

+ -o^t$l "um (ia )Ln t f r , iaf)»p(-Hf).

(з.зз

Ичпользование переменных •i^позволяет легко очущечтвить аналити­

чечкое продолжение (3.33) ^ п т ( 1 0

- Ч л т С ф ) в

полное конфигура­

ционное прочтранчтво чичтемы, т.е. навчю алгебру }С

; очевидно,

это чводитчя к замене в (3.33) Т г \г -» l i X

, Т г к Л

-*-~Tl,Oc't'

Так подичкретной

группе Вейля воччтанавливаютчя калибровочно-ин-

варивнтние

волновые функции.

да

Перейдем к вопрочу

анялитичечкого продолжения амплитуды перехо­

(3.24). Почкольку завичимочть отпеременной

У

вданной модели

тривиальна, то в дальнейшем небудем обращать нанее внимания. Тог­

да в координатном предчтавлении имеем квантовую задачу

\ZQ\

<f

где

&(ы)

~

/» -мерный оператор Лапласа.

Обозначим 46063*36

полное гильбертово пространство состояний,

которое образуют

решения (3.34а),

пусть ^ t p ^ - физическое подпрос­

транство,

тр €

^tplv

. если

4*Е удовлетворяет (3.346). Ясно,

что

l|>£ (_iLxii~*) = ^ ( ^ О ^ ^ Ч *

• Поскольку гамильтониан в (3.34а)

коммутирует

с

Q.

, то Н£

распадается в ортогональную сумму

о