структура фазового про-ва в кал полях

где X = (х^,1 •• - * w /и

Ул.- динамические переменные теории,

I -

-генераторы группы 50(л/) (вещественные антиси"метричные

матрицыMxlJ)j

[_Т^ТС .]= • ¥ С ' , , С Т С

, 4 a f e C - структурные константы

SOW). Лаг­

Xj ~> И ^ Х .

, СV

^

"

^ С г

+%) ЛТ .

(2.24)

Здесь Ц = е * р

cO a (t)T"

- элемент группы

S O (л/)

, ^ й

(t) -

произвольные функции

времени, ^ ~ ^оТ^" , _ 0 . Г

-транспонированная

матрица

SL : Д

Д

1 =

- й т Л = А . Калибровочные

преобразования

(2.24)

суть вращения Е /\/ -мерном пространстве лектора

X

. Поэтому

орби­

ты калибровочной

группы

SC(v)

есть сферы

S''~

в

конфигураци­

онном пространстве

(ft*' ( x )

. Как и в § 2.3,можно задать линию,

вдоль которой изменяется единственная физическая переменная теории.

Например, калибровочным преобразованием всегда вектор ос

можно

направить

вдоль одной

из декартовых

осей:

X t

=

Si\

4r

. Однако

эта линия качцую сферу с центром в начале координат пересекает дваж­

ды. Следовательно, для однозначного

описания системы нужно считать

состояния

Х^

=

t

и Хл = - 1 физически

тождественными,

т.е.

й П С ^ ^ Р - » ' = u > n C J 0 «

КТ 0

М У ж е

результату ведет и анализ га-

мильтонова формализма.

_

_ .

Канонические

импульсы суть

JTa. -

/^Ха.'0,

Pi

~

/boci-

- ™>. +

и •. JC •

- Гамильтониан системы имеет вид

— * - « -

-34j

d

гдь

(ло.=

t^ou ,Hj={^lijOC|*=0- вторичные связи,они находятся в ин­

волюции

(связи первого

рода [101 ) £ G a Gfe 5 -TafecQ;.Поскольку

калиб­

ровочные преобразования суть вращения вектора

X

, то единствен­

ной !•>ЧЗИУЙСКОЙ

переменной является

<х, - (.эс1)

>

О, йП t, и

Рг =.(_ЭС,р)/\,

-канонически

сопряженного

импульса,есть

соп(зг)

по соображениям,аналогичным вышеизложенным

в § 2.2 ( в данном слу­

чае также

все угловые

переменные

/V -мерной сферической

системы

координат

- нервические .поэтому наложенные друг на друга полуллос-

ти

Т , < 0

и

1 > 0

фазовой

плоскости

|R0i)® fiiCiU отождеств­

ляются). Отметим, что общим решением уравнений

связи

Qa=

О

будет

,

р =

^|Х

, поэтому в калибровке

X'L=

Sii^±

получаем

9i~°

\.-И,Ъг.,Ы

, а в

ffllO^p.,5

действует группа

~ZZ

» т.е. йП С 3

^

Р0=

con(Г)

.

мой модели, то ечтечтвенно

возникает

вопроч об определении КИ как

на фиг.ичечком ФП = cori(Т)

, так и на физичечком конфигурационном

прочтранчтве

^ £ ^ v= t°)°°i •Точнее, речь идет об указании рецепта

вычичления КИ. Отметим, что даже конечномерный гауччов

интеграл,

которым обычно аппрокчимируют КИ, не вычичляетчя явно на полуочи.

Следовательно, прочтейшее чоображение - замена облачти

интегрирования

Ф П " IR2 в (1.7) на ФП = con (х)

- не приводит к желаемому резуль­

тату, так какполучающийчя объект не определен даже для

прочтейших

чичтем: чвободная чачтица, очциллятор.

Почкольку

опичание в рамках КИдолжно быть эквивалентным опера­

торному подходу, то ядро оператора эволюции чичтемы чледует получить,

раторам/ \_ ЭС1,[>\]*ь$а> С й а Р Ч Л * ^а«,

. а операторы чвязей выде­

ляют физичечкое подпрочтранчтво чочтояний. В результате имеем кван­

товую задачу в координатном предчтавлении

Q р. = -.' 'ЬАх- , ^ а = _ ^ / ^ « )

~Нл-V

- (гхЧп *ЧЬЪ)%Л Е%ь*

{ 2 .2 6 а )

G a T p b = 0 -

А .

(2.266)

N-мерный оператор Лапласа

где i\(u)

-

( связь Жа

Yph= ^Pe u i a f i T CH

тривиально: TpW н е

зависят

от Уй ). Чтобы

решить явно уравнения

(2.266), нужно перейти к

Л/ -мернс*1

сферической

системе координат.

Поскольку калибровочные

преобразования

генерируются связями

' л ^ ,

следовательно,

Qa-

рТа0С = 0означает обращение

в нуль всех ком­

понент углового

момента частицы (повороты в

ft

генерируются угло­

вым моментом) ,

т.е. физическое подпространство

образовано

состояни­

ями с нулевым угловым

моментом v|Lh ( х ) —tyfc).

В физическом под­

пространстве уравнение

(2.26а)

имеет вид

[

L рг%

OtO^)

+

VC**)] 4 (г) = Е * ( г ) .

(2.27,

Здечь р =

- и 1

Уъч

Ъ

- эрмитов оператор импульча., т)-(лМ,)А.

Первые два члагаемых в правой чачти (2.27) ечть радиальная чачть

оператора Лаплача

Д (N ) в чферичечких координатах

(угловая чачть

дает нуль в применении

к

4п|, ( Х ) = Ф(г) ). Волновые функции

^

нор­

мируютчя

в чоответчтвии

чо чкалярным произведением

ния. Дейчтвительно, YpW. н е завичят от tL

, и интеграл по ним

дает бечконечный множитель. Спрашиваетчя, как трактовать этот

факт?

Здечь ечть два пути. Во-первых, "ненормируемочть" Yplt тако­

го же

рода,как

"ненормируемочть" чобчтвенного

вектора оператора им­

пульча (плочкой

волны). В чамом деле, уравнение 0^Фр ^- -L уйУат^и" О

нее нефизичечкие переменные, т.е. (lotНа d X =

i~Jo(^a. d SLN 1 <ЛЪ

— > Ъ ы Al> , где о(.2-л( -элемент телечного угла

в

iR'1' . Именно

решение

(2.29) удовлетворяло ичходному уравнению в декартовых коор­

динатах

(2.26а) в окречтночти t =

О , т.е. нужно положить t=|3C|

в (2.29) и почтавить в (2.26а) Св,

ч, 2191 .В окречтночти

t = 0

Ф 2 П

~ const • Уъ

^ ^г г 1 М ~ Const

. Тогда, ичпользуя извечтное чо­

отношение Д 1 М У ъ

=-^1Гб (*•)»

видим, что физичечкими решениями

чичтемы

(2.26) являютчя функции (2.29) ч нечетным

п* - Д п ч Н .

Решения

(2.29) ч четным

К1-=Я. ho,

должны быть отброшены, так как

они не удовлетворяют ичходному уравнению Щредингера в окречтночти

начала координат. Таким образом,

физичечкий чпектр чичтемы ечть

fcm= Am +

V A

( в чпектр одномерного очциллятора (2.29) F n =

=. Р\_ + Ух

нужно подчтавить П.«• 2 W + 1

). Тот же результат полу­

чаетчя при анализе в голоморфном предчтавлении (чм. Приложение А).

Ядро оператора эволюции чичтемы

• w

i

„.„,

где

<№;-Ut 'kt')-<*le"*V>,

значок

" ч " указывает на конечночть ФП, поопределению

ечть

(формула Фейнмана - Каца

)

.- ,

Ut c Ct,v)-ZW+E We"t

=

=7

£^Н

WW Me

e

причем

Qn~

, так как при нормировке функции (2.29) ин­

тегрируютчя по полуочи

(чм. (2.28)), а волновые функции

обычного

очциллятора

С „ НнС^)е

х Р С - УА t ) нормированы на вчю очь:

' Ь / ' ь ' £

(R

в (2.32). Сопочтавляя (2.31) и (2.32) иучитывая,

что

H n ( - t ) - ( H )

НиС^находим

- оо

(233)

(2.34)

Отчюда чледует, что эволюция любого чочтояния yj__0 \Ь)

определяетчя

где

Ye ^)-^"0Kt-)io w,

(2.36)

т.е. оператор

о

облас­

Q_ доопределяет волновую функцик. в нефизической

ти

Ц,<0

согласно

(2.36). С другой стороны,

оператор

Q

симмет-

ризует ядро оператора эволюции для аналогичной

системы с плоским 411

по

группе

2 z c

некоторой

мерой, при этом

получается

ядро

оператора

эволюции с вП — СОп(зг) . йормулы

(2.33), (2.35)

посуществу

решают

поставленную задачу, поскольку для ядра (2.32)

справедливо

стандарт­

ное представление

гамильтоновым

КИ (1.7) .

UtMb l П, *gs?«p{itfc[p* -KM}*».

где

^(о) = 'I,

, rx,Lt) ~ К,-стандартные

начальные условия

в КИ [9~],

йормула (2.33) имеет

простую

интерпретацию. Существо дела заключа­

ется в том, что,достигнув

точки X =0, частица движется в обратном нап­

равлении.Это напоминает движение пополуоси, ограниченное

непроницаемым

барьером

в нуле, когда наряду с прямой траекторией, соединяющей

точки

Ъ,

fc'вклад в амплитуду перехода дает траектория .отраженная от "стенки"

[16-1^.Разница, однако, в том, что в последнем случае

имеет место нуле­

вое граничное условие T L - 0 = ^»вследствие

чего

вклад отраженной траек­

тории берется с обратным знаком, и продолжающий

оператор

никакой"стен-

антисимметричен

по 1,1 (18]. В рассматриваемой же задаче нет

ки"в нуле, не существование остаточной калибровочной

группы Жл

эффек­

тивно вводит граничное условие видя

'Ъ^/'уь

|,_0

= О

,которое

ведет

к симметричному пообоим аргументам оператору

Q

(2.34). (Это легко

проверить напримере свободного одномерного движения, гдеволновые

функции

подчиняются условию

.Оператор

эволюции

для

этой

системы будет

иметь вид (2.33), носимметризация

будет

прово­

диться без меры, a(J

в данном случае будет

оператором эволюции для

свободной

частицы на оси без граничного условия

в нуле).

Можно

сказать

иначе: квантование

системы с йП ~

con(jr)эквивалент­

но заданию

всех амплитуд для соответствующей

системы с Ш — (ft2- , a

ловию локальной

^п-инвариантности.

В этом случае *очки

rt' и - 1 '

отвечают одному

и тому жефизическому

состоянию, поэтому

переход из

%

в

t

и m - г в

t

ечть один и тот же процечч, и чоглачно

принципу

чуперпозиции полная амплитуда этого процечча ечть чумма ам­

плитуд перехода из - Ч, в

'7-

и иъ Ъ в

t .

Очтаетчя раччмотреть члучай произвольного потенциала. Из преды­

дущего ячно, что

чправедливочть предчтавлений (2.33)-(2.35) чамо­

очевидна, ечли инфинитезимальный оператор эволюции

переводит

чет­

ную функцию

в четную. Это выполняетчя при учловии [}£

(- t£)

if J —

•= (JELrc'>

%, .

~''~')^^

0 ( б

)

, £•*• О

, т.е. ечли потенциал - четная

функция

В теориях ч калибровочной

чимметрией это требование вы­

и>л') -\

-£fa

Ut°W) Q(f, *'),

,2. „

U,(N)

отличаетчя от

(2.37) только эффективной добавкой к потенциа­

лу (ы-<)(М-ъ)/l

t 4 ,

• Изменение меры интегрирования/очевидно/чвя­

зано ч изменением меры в чкалярном

произведении

(2.26) Ъ dl-»t

'At.

Отметим, что окончательная формула

(2.38), хотя

и опичывает одномер­

эквивалентно

заданию вчех амплитуд для чоответчтвующей чичтемы ч

Ф П - IR

о требованием ^С,локальной инвариантночти вчех физи­

эСиК...л.Ь <T~w-xct„)X

—

где

I4

-знак упорядочения

во времени

операторов

ОС. С"Ь) -

= ехр(1Н-<:)ЗС(о)СХрЙН1).М0)гХ:.Прочтейшей

функцией

Грина (2.39) яв­

ляетчя "пропагатор"

J)'a'(ti t^)= 3)(V-i)-

Однако

в квантовой

меха­

нике нет понятия пропагатора в том виде, в котором

оно ечть в тео­

рии поля, почкольку

в ней отчутчтвуют отрицательные энергии, чоот­

ветчтвующие античачтицам. Тем не менее, мы будем

ичпользовать

этот термин, чтобы подчеркнуть аналогию ч теорией поля,

функция Грина Т ) (jt^- "tj.) удовлетворяет уравнению

- ^ D U O - K O

= -iSCt),

(2.40)

ечли, продолжая аналогию ч теорией поля, читать

п

-

Н 0 +

Vtnt *

где

Н 0

- очцилляторный

гамильтониан (ч единичной

чачтотой), a Vint"

-ангармоничечкая

добавка

(чамодейчтвие), и затем пренебречь

Vi.nt5 »

т.е. раччмотреть чвободный

"пропагатор". Дейчтвительно, опучкая в

(3.3?)

V ^ t

.находим

л

*

Вычичление вакуумных ожиданий удобно провечти, подчтавляя разложе­

ние ^единицы

1 =

2 о

l ^ ^ h l

между операторами, где | П > = ( п ! )

Qfh|()>

и Нч I П > = Qr\ + Ео) I "> •Т

о г

Д а

получаем [19 ]

(2.42)

э to -

i ect)ё . л

+ i-ec-t) e 4 t

Нетрудно проверить, выполняя

дифференцирование

по времени

Kt),

что

(2.42)

удовлетворяет уравнению (2.40). Для того,

чтобы сделать

аналогию

с

теорией поля более прозрачной,

найдем

фурье-образ

?

~'Mt

ЗЖ)

г

D M = \ o t t e

=

—

, £ - » 0 .

(2.43)

J

иг-

1 +ife

Видно, что полюч

"пропагатора" отвечает

"одночачтичному" возбужде­

Теперь у

операторов ОС Ofc к.у в

(2.39) нужно почтавить векторный

индекч X

&».)-» X r ^ C V ) и Т)^-*

3) £,*?.. 1„_

- Среди вчех получен­

Сичтема чодержит одну физичечкую чтепень чвободы ч

Ф11 — С 0 " W ,

В качечтве этой чтепени чвободы возьмем, например, Х ^

, т.е.

3 - j £

» bU

ЭС4 (унитарная калибровка). В квантовой теории функции

Гри­

на этой

чтепени чвободы тождечтвенны (2.39). Нетрудно заметить, что

унитарной калибровке являличь только "][„

калибровочно-инвариантные,

т.е.

физичечкие функции Грина инвариантны отночительно

преобразова­

ний

ОС Ctn')-» - ОоСОдля

каждого момента времени

" t K

незавичимо.

Очевидно, что такими функциями Грина чреди

(2.39) будут

3) ^

• в

которые каждый оператор

ОС (tn.) входит по крайней мере дважды

( в общем

члучае четное чичло раз). Такие амплитуды обозначим

3)p*" ft^...,^) .

Тогда имеет мечто чоотношение

(2.45)

Далее замечаем, что <(о\Х±

| h")> ф О

при четных

П.

, поэтому в ам­

плитуду

(2.46) входят только

чредние

вида

< a n l x j | j w > '

COM* <b,[XjXj[m>,

(2.47)

при равных энергиях чочтояний

1 й Л >

,

I»?/» >

и

In >., IWx 1

чоответчтвенно

(чущечтвенно, что

Const

Н е завичит от

m

и <? ).

Здечь

| И ^>

-базич (А.З).Из равенчтва

(2.47) немедленно чледует

чоотношение

(2.45). Приведенное раччуждение чправедливо для "чвобод­

ной"

функции

Грина, когда пренебрегаю? взаимодейчтвием

Vuit • Одна­

ко,

ввиду калибровочной

инвариантночти

V^,t= Vint (SX-Z)

и л и

Vint ~

Vint

C^OC^j) вунитарной

калибровке, чл^ны ряда теории возму­

щений

по

Vint отличаютчя от выражения для чвободной функции Грина

только наличием ь Т - произведении дополнительных

чтепеней

ОС,,

и

ОС:0С;-ЭС чоответчтвенно для

(2.46) и (2.45), т.е. раччуждение,

очнованное на равенчтве

(2.47),очтаетчя

в чиле.

Следовательно,

(2.45) чправедливо для полных функций

Грина. Это идоказывает, что

квантование чичтемы чФП =

чои С7Г)

эквивалентно квантованию чичте­

мы ч ФП = (R чдополнительным требованием

Z j ,

- калибровочной инва­

риантночти вчех физичечких аммитуд. Требование Z ,

-инвариантночти

позволяет учтановить взаимно однозначное чоответчтвие аналитичечких

чвойчтв физичечких амплитуд

вунитарной

калибровке

иявно калибро-

вочно-инвариантных амплитуд.

L - - Г (f\+

- CM)+ +) -

V(+4f),

^.48)

двухкошюнентный

комплекс-

сный спинор и Ч составляют динамические переменные

в теории^ V-потен-

цил,

Я = (о-1)

~

оператор электрического

заряда, т.е. верхняя компо­

нента спинора *|^ имеет заряд +1 , а нижняя

ф , —

-I . Эрмитово соп­

г * \

ряжение определено

следующим

образом: C s P + ^ ) + = + + S P и

9 + ^ - й * * ^ + Ч )

для любых двух

спиноров

Y

,

\Р

.Лагранжиан

(2.48) инвариантен

относительно

калибровочных

преобразований

из группы

ф_» ехрС-^Н

, % + $ + *

(2.49)

Здесь

oL ~ oL C"fc) -произвольная

функция

времени.

Обратим

внимание на следующую

особенность систем с грассмановыми

переменными

и калибровочной

группой. Спинор

yf

содержит 4 вещест­

венных грассмановых функций

времени

(4степени свободы, но ни одна

из этих функций неможет быть обращена в нуль калибровочным

преобразо­

ванием (2.49) ( в отличие от бозевского

случая),потому

что

обычная боэевская переменная, выбором которой нельзя сократить число

грассмановых

образующих

в

т

. Спрашивается,сокращает ли калибровочная

симметрия число грассмановых степеней свободы? Нике <5удет показано,

что данная система имеет только одну физическую степень свободы, при­

чем две степени свободы устраняются

связями

второго рода, всегда со­

путствующими

фериионным

степеням свободы,

и еще

одна степень

свободы

является нефизической

вследствие

калибровочной симметрии (2.49). Более

того, у единственной

физической степени

свободы йП = con Qr) ,т.е.

имеется полная

аналогия

с бозевским

случаем.

Перейдем к гамильтонову формализму. Канонические импульсы суть

Х . =

^

=

£

*

+

/31>

=

^

=

Й .

(2.50)

+

7> Y*

*

^ +

Л

как

Здесь и ниже производные

по грассмановым

переменным

понимаются

левые. Ввиду линейности

лагранжиана

(2.48) по скоростям

4* . и й ,

равенства

(2.50) дают

связи

второго

рода [l0~]

GJ"= "JT^*— £ *if^~0

,

Q

•=.7Тш+ - -х- й « = ^ \

°*>P =

&•,&

iтак как их скобка

Црассона

есть число

S

(j*

Q * Iа _ {,$<*»• С К С (

5 К И

Пуассона

в случае

грас­

смановых переменных

определяются

следуищим

образом [21]:

ЛА Л

1А Ж

+

"^А1ь.+

Ж1Ь.ч 1А.1Ь