структура фазового про-ва в кал полях

С О Д Е Р Ж А Н И Е

ПредислДвие

4

1. Введение

5

2. Простые примеры

8

2.1. Частица в плоскости

8

2.2. йП полярной системы координат

14

2.3. Структура йП и квантовое описание

16

2.4. КИ для системы с йП = СОп(7Г)

18

2.5. йункции Грина в квантовой механике

24

2.6. Грассмановы переменные и калибровочная

27

симметрия

2.7. Квантовое описание грассмановых степеней

32

свобода с йП = СОп(зг)

2.6. Некоторые выводы

34

3. Модели с произвольной калибровочной группой

35

3.1. Классическая механика с произвольной

35

калибровочной группой

3.2. Гильбертово пространство состояний и

39

структура йП

3.3. КИ для системы с йП = К * ® Н

4 0

3.4. Непротиворечивость динамики и схема кванто­

45

вания Дирака

инвариантов при

3.5. Роль калибровочных

47

построении КИ

3.6. Структура физического гильбертова

51

пространства для ферми-системы

4. Структура йП полей Янга - Ниллса

53

4.1. Структура йП поля Янга - Ниллса с группой

53

SUC2)

;

4.2. Случай произвольной

группы

54

4.3. йП полей в моделях Хиггса

57

5. Некоторые следствия редукции физического йП

62

5.1. Квазиклассическое описание для системы с

62

*П » К*® Н

5.2. Спектр возбуждений квантового солитона с

66

ФП=СОП(ЗГ)

5.3. Природа бозона Хиггса

68

Приложение А

(Краткие сведения по теории групп Ли)

73

Приложение Б

80

Литература

,

83

в физике элементарных частиц во второй половине XX столетия связан с

открытием Янгом и Миллссм принщша калибровочной симметрии[I].Наверное,

правильнее будет скаэать.-его переоткрытие,поскольку сама идея была выс­

казана более

60 лет назад Вейлем и йоком (2,3*1. Несмотря на интенсив­

ное изучение

калибровочных теорий, которое привело к созданию единой

теории

электрослабых взаимодействий

\4,Ь~\ и квантовой хромодинамики

[ б ] , их динамика полна

сюрпризов

и неожиданностей. Так, на мо­

делях

с калибровочной симметрией в [7] было

показано, что часть физи­

ческих

степеней

свободы

может иметь фазовое

пространство

(йИ), отлич­

ное от привычной

плоскости, т.е. канонические координата

я и икпульс

валентные

значения

не

на

всей фазовой плоскости R = К л в К р , а

только на её

части

. Этому

аспекту динамики теорий с калибровочной

симметрией

и

посвящены

настоящие лекции.

X

Jk = I k

i,-M,.-,<

<1 Л )

где Lir LAc }.,£ {J

- лагранжиан, /У - число степеней свобода» Для

описания системы

в гамильтоновом формализме необходимо задать три ве­

щи: гамильтониан

f-| = |-| (q,^ р) как функцию координат Я . и импуль-

{кМ-1АК^ч.

ViW

(i.2)

к

структуру ФП, т . е . Дбласть дДпустимых значений кДДрдинат и им­

пульсДв. ОбычнД ФП сДвпадает Д евклидДвым прДстранствДм

J?< .®Kp =

»

Д^ . ТДгда эвДлюция вД времени задается гамильтДнДвыми уравне­

ниями движения

»-з>

i i ' U o H } , Pi-{Pi,H}.

Первое уравнение в (1.4) определяет скорость

<j,;,=

9, ^ (.р,<J.")как

функцию координат

и импульсов.

Я, -L на операторы Р ,

S,-

Квантование осуществляется заменой р^ и

, а все скобки Пуассона заменяются на коммутаторы {,!•*•-i.1,1/

в чачтночти

(Us

i)

Для описания

'лвантозой динамики существует три представления. Если

описывать эволюцию

операторов во времени, используя квантовые урав-

нзния

(1.3), то полученное представление называется гейзенберговским.

С помощью унитарного преобразования оно связано со

щредингеровским

представлением, в котором операторы не зависят

от времени, а эво­

люция

описывается уравнением Шредингера

по путям,дредаеденный йейиманом

[э! , позволяет восстановить утра­

ченное равноправие. В рамках континуального

интеграла

(КИ) ампли­

туда перехода иастицы из точки

*J,;,(o) =

%\.

в момент

времени t-О

в точку Ч, .-• Ч,; (t) B момент времени

"t

имеет вид

[9]

л( I , 7 )

где интегрирование ведется по всему йП. йункция U ^ KJ^ft) удовлет­

воряет (1.6), поэтому описание в рамках КИ эквивалентно

решению

уравнения Шредингера. Днястандартного гамильтониана H

= 2 " P t + ^ )

интеграл по импульсу

в (1.7) можно вычислить, тогда получится лагран-

жева форма КИ

ЦСМ'МТЧ^РН^А)],О

(1.8)

где

l-i- x*\.i ~ vl.%) И J ) O - стандартная мера [э]. Ш можем

применять выражение

(1.8) в качестве альтернативы

(1.6), т.е.,

задав лагранжиан,

сразу можем вычислить ядро оператора эволюции

по

(1.8).

вещей остается в силе до тех

пор, пока система

Такое положение

задается

несингулярным лагранжианом. Первое уравнение в(1.4) разре­

шимо относительно

0,^ ,если матрица

К i: = "Ь

Ь / Э ^ ' о ^ д

незырождена (clet К ji о) . В противном случае при

решении

(1.4) мы

получим соотношения вида У^ C%,?J-О>

O r i & - M < Ч несодержащие

скоростей

< ^ . Очевидно, число независимых соотношений

М

опре­

деляется

степенью

вырождения матрицы

К л

. Системы

с вырожден­

ной матрицей К-называются сингулярными, а

У а = О - первичными

связями £lOj . Для квантового описания

сингулярных систем Дираком

учета редукции йП в КИ, причем исследовались

модели как с боэев-

скими, так и с грассмановыми переменными .

Затем изуча­

лись полевые теории. Дан анализ йП полей Янга - Миллса и полей в

стандартной модели

электрослабых взаимодействий

Глэшоу-Вайнберга-

Салама. В последней

части рассмотрены некоторые физические следствия

L ( * ^ ^ ) = x(i + 3T *0-V(~z ),

(2.1)

где двумерный вектор ЭС -(Xi^i)

и скаляр

У

- динамические

пере­

менные,

-генератор вращений в плоскости QKtf

X^i,

СТэс): =• T u j ОС; 0 > j = ^ ^ ) •

V

-потенциал. Лагранжиан (2.1!

описывает нерелятивистскую

частицу

единичной

массы

в плоскости. Он

инвариантен относительно группы калибровочных преобразований

X -* е*ь (ufO х

, ч -* у - чо ,

(2.2)

где <*>- &)(£)

У

- прДизвДльная функция времени,

т . е . калибрДвДчные

преДбразДвания суть вращения двумернДгД вектДра. Как уже

ДтмечалДсь,

лДкальная симметрия ведет к связям на динамические

переменные. Дейст­

вительнД, нетруднД прДверить, чтД матрица

К

вырДждена:

К э с а =

= ТП/Ъх

"dg = О , Каа =

tfV^i

= О .

ВиднД, чтД из 3x3