6 сем / Доп задачи КМ
.pdf1
1. Спроецируйте уравнение Шредингера
i |
∂ |
|
ˆ |
ˆ |
pˆ2 |
|
∂t |
|ψ(t) = H |ψ(t) , H = |
2m |
+ U(xˆ) |
|||
на вектор состояния |x . Дайте интерпретацию каждому обозначению и поясните, во всех подробностях, откуда и что берется. Как будет выглядеть гамильтониан в этом базисе?
2. Спроецируйте уравнение Шредингера
i |
∂ |
|
ˆ |
ˆ |
pˆ2 |
|
∂t |
|ψ(t) = H |ψ(t) , H = |
2m |
+ U(xˆ) |
|||
на вектор состояния |p . Дайте интерпретацию каждому обозначению и поясните, во всех подробностях, откуда и что берется. Как будет выглядеть гамильтониан в этом базисе?
3. Решите свободное уравнение Шредингера (нестационарное) в:
1)Во всем пространстве R3;
2)В коробке с периодическим граничным условием ψ(x) = ψ(x + L)
Что такое волна де Бройля? Выпишите явный вид тока вероятности в обоих пунктах. Интерпретируйте полученный результат.
4. Получите условие полноты |
|
ˆ |
|
n |
|an an| = 1, где |an – собственное со- |
||
стояние дискретного спектра |
эрмитового оператора. |
||
|
P |
|
|
5. Что такое спектральное разложение эрмитового оператора? Как выглядит спектральное разложение оператора наблюдаемой в собственном базисе (случай дискретного спектра)? Что такое функция от оператора? Рассмотрите
ˆ − − −
оператор A = diag(1, 2, 3, 4, 5, 6, ...) – диагональную матрицу, на диагонали которой выписаны числа 1, −2, 3, −4 и т.д. Напишите спектральное разложение этого оператора. Напишите явный вид функции Хевисайда от этого оператора. Приведите пример функции от оператора из квантовой теории.
2
6.Докажите спектральные теоремы для эрмитового оператора:
1)собственные значения эрмитового оператора вещественны;
2)собственные векторы эрмитового оператора попарно ортогональны; Ограничьтесь случаем невырожденного спектра. Поясните, что такое невырожденный спектр и чем он отличается от вырожденного. Приведите примеры из квантовой теории. Почему наблюдаемым в квантовой теории ставятся в соответствие эрмитовы операторы? Дайте физическую интерпретацию.
7.Что такое матричное представление квантовой механики? Проиллюстрируйте на примере задачи о бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме (0 < x < l). Рассмотрите случаи:
1 |
i |
|ψ = e16i |15 . |
|||
|ψ = √ |
|
|1 − √ |
|
|3 , |
|
|
|
||||
22
1) |
x|ψ – ? |
|
|
2) |
¯ |
|
|
E – ? |
|
|
|
3) |
σE – ? |
|
|
4) |
волновая функция в матричном представлении – ? |
||
Поясните каждое обозначение и его физический смысл. |
|||
|
8. Спин частицы S = |
5 |
ˆ |
|
2 |
. Выпишите явный вид оператора Sz |
|
ственные значения и собственные состояния. |
|||
|
9. Спин частицы S = |
3 |
ˆ |
|
4 |
. Выпишите явный вид оператора Sz |
|
ственные значения и собственные состояния.
иего соб-
иего соб-