ФИАН / Nefedyev_Ktp

32πi

α (1 − ε) Z

dDp

p2

dDp m2

.

P (0) = −

− (2 − ε) Z

3

(2π)D

(p2 − m2)2

(2π)D (p2 − m2)2

2

αm2

1

a2

1

a2

P (0) =

2(1 − ε)

− ln

+ 2ψ(2) − ψ(3) − (2 − ε)

− ln

+ ψ(1) .

3π

ε

4πµ2

ε

4πµ2

ψ(x)

ψ(1) = −γ,

ψ(2) = 1 − γ, ψ(3) = 1 +

1

− γ =

3

− γ,

2

2

ε → 0

1

ε

0

ε

P (0) = 0.

k

gµν − k2

,

k2

Pµν (k) = P (k2)

P (0) = 0.

kµkν

1

1

1

δ(x1 + . . . + xn − 1)

= (n

−

1)!

Z0

dx

. . .

dx

A1 . . . An

1

Z0

n [x1A1 + . . . xnAn]n

1

1

1

=

Z0

dx

A1A2

[xA1 + (1 − x)A2]2

1

1

1−x

1

= 2 Z0

dx Z0

dy

.

A1A2A3

[xA1 + yA2 + (1 − x − y)A3]3

1

d

D

p

ˆ

Sp[γµ(ˆp + m)γ (ˆp k + m)]

Pµν (k) = ie2

Z0

dx Z

ν −

,

D = 4 − 2ε.

(2π)D

[(p − kx)2 − (m2 − k2x(1 − x))]2

D

kx

1

1

ε

pµpν =

p2gµν =

1 +

p2gµν

,

D

4

2

ε

I1 = Z

dDp

p2

, I2 = Z

dDp

m2

,

(2π)D

(p2 − a2)2

(2π)D

(p2 − a2)2

a2 ≡ m2 − k2x(1 − x)

P (0) = 0

P (0)

I

=

1

2 − ε

a2I

1

1 +

ε

a2I, I

=

1

I,

8π2 2(1 − ε)

≈

8π2

16π2

1

2

2

1

a2

1

µ2

k2

I ≡

− ln

+ ψ(1) =

− γ + ln 4π + ln

− ln 1 − x(1 − x)

.

ε

4πµ2

ε

m2

m2

Λ2

1 − x(1 − x)

k2

,

I = ln

− ln

m2

m2

α

Λ2

2α

1

dxx(1 − x) ln 1 − x(1 − x)

k2

.

Π(k2) = −

ln

+

Z0

3π

m2

π

m2

ψ(αR)

αR

ψ(αR)

µ2

α0

µ2

.

ln

3π

Λ2

2 2

2

αR(µ22)

≈ 1 +

α0

µ22

αR

d(αR(x), x) = d(αR(µ1), µ2

/µ1) =

ln

= 1 +

ln x,

αR(µ2)

3π

µ2

3π

1

1

dαR

=

1 dx

α2

3π x

R

µ12

µ22

2 ∂αR(µ2)

∂αR(µ2)

∂αR(x)

αR2

µ

=

=

=

,

∂µ2

∂ ln µ2

∂ ln x

3π

α2

β(αR) =

R

+ O(αR3 ),

3π

β

β

λϕ4

e

α

Σ(p)

mR

S(p) =

Z1

= Z1SR(p), Z1−1 = 1 − Σ′(mR),

(ˆp − mR − ΣR(p) + i0)

(ˆp − mR)n n > 2

Z1

ΣR(p)

ΣR(mR) = 0

d

D

k

ˆ

Σ(2)(p) = 4πiαµ4−D

Z

γµ(ˆp − k + m0)γµ

.

(2π)D k2[(p − k)2 − m02]

dxγµ((1 − x)ˆp + m0)γµI02(D),

a2 = m2x − p2x(1 − x)

α

(−pˆ + 4m0).

4πε

mR = m0 + δm, δm ≈

3αm0

, Z1 ≈ 1 −

α

.

4πε

4πε

k

p − q

p′ − q

q

p

p

p′

(reg)

′

˜

′

R

′

, p),

= Z2γµ + Λµ

(p

, p) = Z2(γµ + Λµ(p

, p)) = Z2 µ

(p

u¯(p′)γµu(p) =